Invariants intégraux

Notes de lecture des "Leçons sur les invariants intégraux", Elie Cartan, 1922.

Cas du point matériel libre en coordonnées cartésiennes

1

Pour un point matériel de masse $m$ dans un potentiel $V$, l'action élémentaire sur un intervalle de temps $dt$ est définie par

$dS=\left(T-V\right)dt$

différence de l'énergie cinétique $T$ et de l'énergie potentielle $V$ fois l'intervalle de temps.

Soient $x,y,z$ les coordonnées orthonormales du point, ${\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}$ les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$ est l'intégrale

$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)\right)dt$

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$, mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine $x(t)+\delta x(t),y(t)+\delta y(t),z(t)+\delta z(t)$. On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

$0=\delta x(t_{0})=\delta y(t_{0})=\delta z(t_{0})=\delta x(t_{1})=\delta y(t_{1})=\delta z(t_{1})$

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

$\delta S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m\left({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial V}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial V}{\partial z}}\delta z\right)dt$

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps $dt$, on a une coordonnée qui passe de $x$ à $x+{\dot {x}}dt$ sur une trajectoire et de $x+\delta x$ à $x+\delta x+{\dot {x}}dt+{\frac {d\left(\delta x\right)}{dt}}dt$ sur l'autre. On a donc $\delta {\dot {x}}={\frac {d\left(\delta x\right)}{dt}}$, ce qui nous permet d'intégrer

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}\delta {\dot {x}}dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}d\left(\delta x\right)={\dot {x}}\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\ddot {x}}\delta xdt$

Comme $\delta x$ est supposé nul en $t_{0}$ et $t_{1}$, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

$\delta S=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left(m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)\delta x+\left(m{\ddot {y}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)\delta y+\left(m{\ddot {z}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)\delta z\right)dt$

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que $\delta S$ est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

$m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}$

$m{\ddot {z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}$

2

Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation $\delta S$ déjà calculée, il faut rajouter le terme

$\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {z}}_{1}^{2}\right)-V_{1}\right)\delta t_{1}-\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}\right)-V_{0}\right)\delta t_{0}$

ainsi que le terme

$m\left({\dot {x}}\delta x+{\dot {y}}\delta y+{\dot {z}}\delta z\right)|_{t_{0}}^{t_{1}}$

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité $\delta x_{1}$ est la somme de la variation de la trajectoire $\delta x|_{t_{1}}$ et de ${\dot {x}}_{1}\delta t_{1}$, et par suite

${\dot {x}}\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}={\dot {x}}_{1}\left(\delta x_{1}-{\dot {x}}_{1}\delta t_{1}\right)-{\dot {x}}_{0}\left(\delta x_{0}-{\dot {x}}_{0}\delta t_{0}\right)$

On peut finalement écrire

$\delta S=\omega _{\delta }|_{0}^{1}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left(m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)\delta x+\left(m{\ddot {y}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)\delta y+\left(m{\ddot {z}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)\delta z\right)dt$

avec $\omega _{\delta }=m{\dot {x}}\left(\delta x-{\dot {x}}\delta t\right)+m{\dot {y}}\left(\delta y-{\dot {y}}\delta t\right)+m{\dot {z}}\left(\delta z-{\dot {z}}\delta t\right)+\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V\right)\delta t$ ou

$\omega _{\delta }=m{\dot {x}}\delta x+m{\dot {y}}\delta y+m{\dot {z}}\delta z-\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+V\right)\delta t$

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

$\delta S=\omega _{\delta }|_{1}-\omega _{\delta }|_{0}$

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme $\delta S$ est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

$\int _{1}\omega _{\delta }=\int _{0}\omega _{\delta }$

3

Étant donné un ensemble de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, l'intégrale

$\int \omega _{\delta }=\int -Edt+mv_{x}dx+mv_{y}dy+mv_{z}dz$

étendue à une courbe fermée formée de points du tube est indépendante du choix de cette courbe, elle ne dépend que du tube. Le terme intégré est quadrivecteur énergie-impulsion $\left(-E,{\dot {\mathbf {r} }}\right)$.

4

• invariant de Poincaré

Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à $t$ constant, donc sans que l'énergie intervienne :

$\int m\left(v_{x}dx+v_{y}dy+v_{z}dz\right)$

• action de Hamilton

L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer $dx$ par $v_{x}dt$, etc. et donc l'intégrale sur cette courbe (en principe ouverte) donne

$\int \left({\frac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)-V\right)\delta t$

c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.

5

Le fait que $\int \omega _{\delta }$ soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

${\frac {dx}{X}}={\frac {dy}{Y}}={\frac {dz}{Z}}=ds={\frac {dv_{x}}{V_{x}}}={\frac {dv_{y}}{V_{y}}}={\frac {dv_{z}}{V_{z}}}={\frac {dt}{T}}$,

où les dénominateurs sont des fonctions de $x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z},t$

Soit $I=\int _{(C)}\omega _{\delta }$ l'intégrale sur une courbe $x,y,z,t$ donnée et $I+\delta I$ l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

$\delta I=\int _{(C)}m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt+mv_{x}\delta \left(dx\right)+mv_{y}\delta \left(dy\right)+mv_{z}\delta \left(dz\right)-E\delta \left(dt\right)$

On calcule $\int _{(C)}v_{x}\delta \left(dx\right)=\int _{(C)}v_{x}d\left(\delta x\right)=v_{x}\delta x|_{(C)}-\int _{(C)}dv_{x}\delta x=-\int _{(C)}dv_{x}\delta x$ et idem pour les trois autres termes, donc

$\delta I=\int _{(C)}m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt-m\delta xdv_{x}-m\delta ydv_{y}-m\delta zdv_{z}+\delta tdE$

ou

$\delta I=\int _{(C)}\left(mdx-{\frac {\partial E}{\partial v_{x}}}dt\right)\delta v_{x}+id.+\left(-mdv_{x}-{\frac {\partial E}{\partial x}}dt\right)\delta x+id.+\left(dE-{\frac {\partial E}{\partial t}}dt\right)\delta t$

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour $\delta x,\delta y,\delta z,\delta v_{x},\delta v_{z},\delta v_{z},\delta t$ On en tire les équations du mouvement

$mdv_{x}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}dt$ ou $m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

$mdx={\frac {\partial E}{\partial v_{x}}}dt$ ou $m{\frac {dx}{dt}}=mv_{x}$

idem $y$ et $z$

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Invariants intégraux/Cartan1922/006

Cas général

7

Invariants intégraux/Cartan1922/007

Intégrales premières

28

Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant $\mathbf {q}$ le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

${\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,t)$

Une solution $\mathbf {q} =\mathbf {q} _{S}(t)$ est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque $f(\mathbf {q} ,t)$ a pour différentielle

$df=\left(\nabla f\right)\cdot d\mathbf {q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}dt$

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

$df=\left(\left(\nabla f\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)dt$

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions $u(\mathbf {q} ,t)$ qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

$\left(\nabla u\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

$df=\left(\nabla f\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)+\left(\left(\nabla f\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)dt$

Pour une intégrale première, on a

$du=\left(\nabla u\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

$dq_{1}-Q_{1}dt,dq_{2}-Q_{2}dt,\ldots ,dq_{N}-Q_{N}dt$

Réciproquement, si la différentielle de $v$ est une combinaison linéaire

$dv=\mathbf {c} \cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

des N formes, écrivant

$dv=\left(\nabla v\right)\cdot d\mathbf {q} +{\frac {\partial v}{\partial t}}dt$

on en déduit $\mathbf {c} =\nabla v$ et $\left(\nabla v\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$, donc que $v$ est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

$du_{j}=\left(\nabla u_{j}\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme $dq_{i}-Q_{i}dt$ est une combinaison linéaire des $du_{j}$