Invariants intégraux

Notes de lecture des "Leçons sur les invariants intégraux", Elie Cartan, 1922.Modifier

Cas du point matériel libre en coordonnées cartésiennesModifier

1Modifier

Pour un point matériel de masse   dans un potentiel  , l'action élémentaire sur un intervalle de temps   est définie par

 

différence de l'énergie cinétique   et de l'énergie potentielle   fois l'intervalle de temps.

Soient   les coordonnées orthonormales du point,   les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants   et   est l'intégrale

 

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants   et  , mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine  . On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

 

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

 

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps  , on a une coordonnée qui passe de   à   sur une trajectoire et de   à   sur l'autre. On a donc  , ce qui nous permet d'intégrer

 

Comme   est supposé nul en   et  , il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

 

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que   est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

 
 
 

2Modifier

Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation   déjà calculée, il faut rajouter le terme

 

ainsi que le terme

 

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité   est la somme de la variation de la trajectoire   et de  , et par suite

 

On peut finalement écrire

 

avec   ou

 

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

 

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme   est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

 

3Modifier

Étant donné un ensemble de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, l'intégrale

 

étendue à une courbe fermée formée de points du tube est indépendante du choix de cette courbe, elle ne dépend que du tube. Le terme intégré est quadrivecteur énergie-impulsion  .

4Modifier

  • invariant de Poincaré

Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à   constant, donc sans que l'énergie intervienne :

 
  • action de Hamilton

L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer   par  , etc. et donc l'intégrale sur cette courbe (en principe ouverte) donne

 

c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.

5Modifier

Le fait que   soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

 ,

où les dénominateurs sont des fonctions de  

Soit   l'intégrale sur une courbe   donnée et   l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

 

On calcule   et idem pour les trois autres termes, donc

 

ou

 

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour   On en tire les équations du mouvement

  ou  
  ou  

idem   et  

6Modifier

Invariants intégraux/Cartan1922/006

Cas généralModifier

7Modifier

Invariants intégraux/Cartan1922/007

Intégrales premièresModifier

28Modifier

Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant   le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

 

Une solution   est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque   a pour différentielle

 

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

 

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions   qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

 

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

 

Pour une intégrale première, on a

 

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

 

Réciproquement, si la différentielle de   est une combinaison linéaire

 

des N formes, écrivant

 

on en déduit   et  , donc que   est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

 

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme   est une combinaison linéaire des