Invariants intégraux/Cartan1922/002

Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation $\delta S$ déjà calculée, il faut rajouter le terme

$\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {z}}_{1}^{2}\right)-V_{1}\right)\delta t_{1}-\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}\right)-V_{0}\right)\delta t_{0}$

ainsi que le terme

$m\left({\dot {x}}\delta x+{\dot {y}}\delta y+{\dot {z}}\delta z\right)|_{t_{0}}^{t_{1}}$

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité $\delta x_{1}$ est la somme de la variation de la trajectoire $\delta x|_{t_{1}}$ et de ${\dot {x}}_{1}\delta t_{1}$, et par suite

${\dot {x}}\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}={\dot {x}}_{1}\left(\delta x_{1}-{\dot {x}}_{1}\delta t_{1}\right)-{\dot {x}}_{0}\left(\delta x_{0}-{\dot {x}}_{0}\delta t_{0}\right)$

On peut finalement écrire

$\delta S=\omega _{\delta }|_{0}^{1}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left(m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)\delta x+\left(m{\ddot {y}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)\delta y+\left(m{\ddot {z}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)\delta z\right)dt$

avec $\omega _{\delta }=m{\dot {x}}\left(\delta x-{\dot {x}}\delta t\right)+m{\dot {y}}\left(\delta y-{\dot {y}}\delta t\right)+m{\dot {z}}\left(\delta z-{\dot {z}}\delta t\right)+\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V\right)\delta t$ ou

$\omega _{\delta }=m{\dot {x}}\delta x+m{\dot {y}}\delta y+m{\dot {z}}\delta z-\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+V\right)\delta t$

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

$\delta S=\omega _{\delta }|_{1}-\omega _{\delta }|_{0}$

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme $\delta S$ est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

$\int _{1}\omega _{\delta }=\int _{0}\omega _{\delta }$