Invariants intégraux/Cartan1922/004

• invariant de Poincaré

Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à $t$ constant, donc sans que l'énergie intervienne :

$\int m\left(v_{x}dx+v_{y}dy+v_{z}dz\right)$

• action de Hamilton

L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer $dx$ par $v_{x}dt$, etc. et donc l'intégrale sur cette courbe (en principe ouverte) donne

$\int \left({\frac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)-V\right)\delta t$

c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.