Invariants intégraux/Cartan1922/005

Le fait que $\int \omega _{\delta }$ soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

${\frac {dx}{X}}={\frac {dy}{Y}}={\frac {dz}{Z}}=ds={\frac {dv_{x}}{V_{x}}}={\frac {dv_{y}}{V_{y}}}={\frac {dv_{z}}{V_{z}}}={\frac {dt}{T}}$,

où les dénominateurs sont des fonctions de $x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z},t$

Soit $I=\int _{(C)}\omega _{\delta }$ l'intégrale sur une courbe $x,y,z,t$ donnée et $I+\delta I$ l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

$\delta I=\int _{(C)}m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt+mv_{x}\delta \left(dx\right)+mv_{y}\delta \left(dy\right)+mv_{z}\delta \left(dz\right)-E\delta \left(dt\right)$

On calcule $\int _{(C)}v_{x}\delta \left(dx\right)=\int _{(C)}v_{x}d\left(\delta x\right)=v_{x}\delta x|_{(C)}-\int _{(C)}dv_{x}\delta x=-\int _{(C)}dv_{x}\delta x$ et idem pour les trois autres termes, donc

$\delta I=\int _{(C)}m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt-m\delta xdv_{x}-m\delta ydv_{y}-m\delta zdv_{z}+\delta tdE$

ou

$\delta I=\int _{(C)}\left(mdx-{\frac {\partial E}{\partial v_{x}}}dt\right)\delta v_{x}+id.+\left(-mdv_{x}-{\frac {\partial E}{\partial x}}dt\right)\delta x+id.+\left(dE-{\frac {\partial E}{\partial t}}dt\right)\delta t$

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour $\delta x,\delta y,\delta z,\delta v_{x},\delta v_{z},\delta v_{z},\delta t$ On en tire les équations du mouvement

$mdv_{x}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}dt$ ou $m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

$mdx={\frac {\partial E}{\partial v_{x}}}dt$ ou $m{\frac {dx}{dt}}=mv_{x}$

idem $y$ et $z$