Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse/Démonstration

On a défini (Cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse $\left(g^{-1}\right)^{ij}$ comme étant l'inverse de $g_{ij}$. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante $\left(g^{-1}\right)_{ij}=g_{ik}g_{jl}\left(g^{-1}\right)^{kl}=g_{ik}g_{jl}\left(g^{-1}\right)^{lk}=g_{ik}\delta _{j}^{k}=g_{ij}.$ Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.