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== Exercices deuxième série** ==
Tous ces exercices sont rudes, mais ce sont des études !
il faut en être fière ; et non pas amère
pour braver l'exercice, choisir l'instant propice
=== *Chute dans un escalier ===
Un balle chute dans un escalier (marche de largeur l , de hauteur h), avec un coefficient de restitution e . TouverTrouver la relation entre vitesse initiale horizontale Vo et e pour que la trajectoire soit une succession d'arcs de parabole égaux.
==== Solution: chute dans un escalier ====
Soit T la période du mouvement : on prendra Vo.T = a .
=== Saut en longueur ===
Exercice piègeuxpiégeux : dans un saut en longueur, on admet que le saut se décompose en acquisition d'une vitesse Vo jusqu' à la planche d'appel ; Puis action sur les cuisses pour ajouter une vitesse suplémentairesupplémentaire de module Vo : quel est l'optimum de la direction de cette vitesse ( ce n'est pas bien sûr 45° ; ni 90° comme répondent souvent des élèves étourdis.
*'''solution''' saut en longueur ====
évidemment 90° donne une vitesse Vo.sqrt(2) à 45° et donc une portée P= 2Vo²/g. Il y a mieux à faire! en fonction de l'angle A de la direction , la durée de chute sera 2Vo sinA /g et donc la portée sera : L = Vo(1+cosA)2VosinA/g =. Or P sinA. (1+cosA) est maximum pour A = 60° et donc une portée L = P sqrt(3). En fait quand on regarde les films de saut en longueur, cette analyse n'est pas la bonne. L'athlète optimisecalcule sa vitesse de course et son élan de manière à optimiser Vxo, Vyo , et la hauteur de son centre de gravité. ; et lors de la chute, il va essayer de "se ramasser " en levant au maximum les jambes et en jetant les bras d'avant en arrière : il s'est donc donné un optimum de moment cinétique aussi. L'analyse est donc plus compliquée que ce simple exercice.
* Démontrer que A=60° : 4P sin(A/2)cos^3(A/2) = 4P sqrt [ x (1-x)^3], avec x := sin²(A/2) max pour x/1 = (1-x)/3 = 1/4 (théorème de Didon) ; donc sin A/2 = 1/2
=== exerciceGassendi*** ===
Dès 1616 , les relations se gâtent entre l'Inquisition et Galilée à cause de son livre, le Messager Céleste, trop distant dude Cosmosla bibliquedoctrine de l'Eglise. Le monde scientifique se sépare progressivement en deux camps : en 1600, Bruno était mort courageusement, n'abjurant pas l'idée de la pluralité des mondes. Dorénavant , on est pour ou contre Copernic. Si la Terre tourne autour du Soleil, Ptolémée avait analysé un certain nombre d'absurdités (dont la plus évidente était que l'on aurait dû voir la parallaxe des étoiles , mais qui ne sera découverte que par Bessel, tant elle est petite!). Si la Terre pivote sur elle-même, alors à l'équateur, une pierre lancéelâchée àde 5m de haut retomberait en une seconde, à l'Ouest de environ 2*464m ! Vient alors la célèbre "démonstration" du mât, qui fait frémir (Dialogo II,171p171-195): de Salviati à Sagredo : -"je n'ai pas fait l'expérience , mais je vous ferai confesser de vive force que vous pensez que j'ai raison". Bigre, la vive force comme argument !
heureusement l'expérience sera faite par Gassendi en 1641 dans le Port de Marseille (elle est retranscrite dans le de Motu de 1641): d'une galère on laisse tomber du haut du mât un boulet : montrer qu'il tombe au pied du mât.
la réponse est "évidente" : le boulet a la vitesse Vx du bateau, donc son abscisse reste la même que celle du bateau.[[nonobstant la sphéricité de la Terre , ce qui en réalité provoque, via Coriolis, une très légère déviation , négligée ici ! ].
Tycho avait posé en 1600 la question à la mode : certes , mais qu'en serait-il d'un tir à l'équateur vers l'Est ou l'Ouest : bénéficierait-on des 464m464 m/s de pivotement de la Terre ? prenons un canon de portée 1km et une vitesse de pivot égale à 500m/s et g= 10m/s²: cela ferait 500m/s vers l'Ouest et 1500m/s vers l'Est. Rien de plus facile à expérimenter [ il est clair que couleuvrines et bombardes, cela faisait "très moderne" (Koyré p218), dans ce nouveau monde où l'artillerie avait fait la "loi des armes" ; c'en était fini des châteaux-forts]. Tartaglia avait déjà expérimenté ce fait ; et sans doute beaucoup d'autres : aucune déviation ni vers l'Est , l'Ouest ou quelque direction, quel que soit l'azimut. ET cela était bien plus probant que n'importe quelle expérience de Pierre_GassendPierre Gassendi. L'affaire était "entendue" , depuis longtemps. ▼
Mais, faussement "entendue", car, de ce fait, on a cru aussi que le pivotement uniforme , c'était aussi "comme rien". En tout cas, chez Galilée, il semble bien qu'il en soit ainsi . (Mais voir'''cela :est lefaux'''. chasseurComme avecla sonTerre fusilpivote, enon rotationaurait quidû suitvoir l'oiseauun ).léger MAISeffet celavers estl'Est faux.: Orun lacorps Terrene pivotechute ;pas onverticalement, auraitenfin doncpas dûtout voirà qq chose ?fait. ▼▲Tycho avait posé en 1600 la question à la mode : certes , mais qu'en serait-il d'un tir à l'équateur vers l'Est ou l'Ouest : bénéficierait-on des 464m/s de pivotement de la Terre ? prenons un canon de portée 1km et une vitesse de pivot égale à 500m/s et g= 10m/s²: cela ferait 500m/s vers l'Ouest et 1500m/s vers l'Est. Rien de plus facile à expérimenter [ il est clair que couleuvrines et bombardes, cela faisait "très moderne" (Koyré p218), dans ce nouveau monde où l'artillerie avait fait la "loi des armes" ; c'en était fini des châteaux-forts]. Tartaglia avait déjà expérimenté ce fait ; et sans doute beaucoup d'autres : aucune déviation ni vers l'Est , l'Ouest ou quelque direction, quel que soit l'azimut. ET cela était bien plus probant que n'importe quelle expérience de Pierre_Gassend. L'affaire était "entendue".
Tout ceci prouve les limites expérimentales de l'époque.
* '''exercice''' : On demande de discuter la réponse pour le tir vers le Nord et le Sud : vitesse pivot : 500 m/s et Vo = 500 m/s ; g =10 m/s². Puis dans un tir en retour. ▼▲Mais, faussement "entendue", car, de ce fait, on a cru aussi que le pivotement uniforme c'était aussi "comme rien". En tout cas, chez Galilée, il semble bien qu'il en soit ainsi ( voir : le chasseur avec son fusil en rotation qui suit l'oiseau ). MAIS cela est faux. Or la Terre pivote ; on aurait donc dû voir qq chose ?
Tout ceci prouve les limites expérimentales de l'époque ; il n'est pas vrai que les boulets tombent de même ; cela était bien évident pour les artilleurs de la Grosse Bertha en 1916 ; mais il faudra attendre le génie de Newton pour dire : sur le "cercle" équatorial : il y a légere déviation vers l'Ouest ; il vaut donc mieux tirer vers l'Ouest [tout cela nonobstant la résistance de l'air !].
▲* '''exercice''' : On demande de discuter la réponse pour le tir vers le Nord et le Sud : vitesse pivot :500 m/s et Vo = 500 m/s ; g =10 m/s². Puis dans un tir en retour.
*solution-exGassendi :
CommeA 500 m/s, la Terreportée estsera ronde,25 ilkm. fautOn faireconsidèrera attention!lesle écartsplan observéstangent seronthorizontal duspassant àpar la géométrieO, plus qu'àet la dynamiqueTerre ,plate. pourrait-on dire.Si l'on tire vers le Nord, la vitesse "absolue" serait Nord-Ouest avec 500m/s.sqrt(2){-1,1,1}. Pendant les 20s100s de chute, l'obus se serait déplacé de 1000m/s50km{-1,1} .sqrt(2) dans cette direction, le canon ne s'étant déplacé que de 500m.20s100s = 1000m50 km sur l'équateur : donc l'obus est enpas d'avance de latitude vers l'Ouest, simplement parce que le théorème de Pythagore n'est pas vrai sur la sphère. Tiré vesvers le Sud , même raisonnement et m résultat. En gros, on ne voit rien.
Il faut donc être plus subtil.
On le voit, ces raisonnements font abstraction de la variation de direction de '''g''' .Il faudra y revenir. Et cela est TRES intéressant et TRES instructif , et en particulier , ilon fautpeut comparer aussi avec les ellipses des missiles ...[ par exemple, expliquer de tête pourquoi la variation angulaire de g reduitréduit la déviation d'un facteur 1/3 : why 1/3 , sans calcul ? ].▼Si on tire en retour, c'est l'effet Alizé, '''déjà décrit par Copernic''' : déviation vers l'EST dans les deux cas.
▲On le voit, ces raisonnements font abstraction de la variation de direction de '''g''' .Il faudra y revenir. Et cela est TRES intéressant et TRES instructif , et en particulier , il faut comparer avec les ellipses des missiles...[ par exemple, expliquer de tête pourquoi la variation angulaire de g reduit la déviation d'un facteur 1/3 : why 1/3 , sans calcul ?
=== Exercice-funéparabole*** ===
Se reporter à la leçon chute libre verticale, et adapter le raisonnement deexercice Torricelli via le principe de Relativité :. Montrer que la courbe funiculaire est nécessairement une parabole.
* Solution-funéparabole ====
'''OP'''(t+T) = '''h'''(t) + '''OP'''(T) + '''V'''(T).t avec '''OP'''(T) = '''h'''(T) + '''OPo''' +'''Vo'''.T et '''V'''(T) = '''h''''(T) + '''Vo'''.
DevelopperDévelopper :
h(t+T) + OPo + Vo.(t+T) = h(t) + [h(T) + OPo + Vo.T ] + (h'(T)+Vo).t
<math>\vec{OP}(kT) = \vec{OP}(0) + \vec{V}(0)\cdot kT + \vec{K_0}\cdot k^2</math> .
simplement disait-il , parce que , je sais que si la vitesse augmente comme 1,3,5,7 , (2k+1) ,la SOMME vaut k².
la SOMME vaut k².
Impressionnante déduction, qui avait émerveillé Mersenne : toutes les paraboles se réduisaient à un seul et même algorithme.
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Torricelli disait (1646) qu'à chaque mesure de temps, '''la quantité de mouvement s'enfle de l'action de la force''' : il faudra 50ans50 ans pour écrire cela ainsi :
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647)-Newton(1642-1727),notation moderne|<math> \Delta\vec{P}(t) : = \vec{P}(t+\tau) - \vec{P}(t) = \vec{F}(t)\cdot \tau</math>}}
mais il est clair que des "discours" tels que celui de Torricelli, il y en eût beaucoup : déjà Bonamico , Benedetti , Beeckman disait des choses de plus en plus proches , maiset on peut considérer que celui qui le dit le mieux est Torricelli (discours à Florence à l'Académie de Florence).Malheureusement Mais entre "discours" et mise en équation, eh bien , il faudra ces 50 ans.
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