« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné » : différence entre les versions
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===Elec-règles===
Une capacité d'un condensateur est la fonction suivante :▼
▲*Une capacité C d'un condensateur est la fonction suivante :
à la borne A, la plaque porte la charge▼
▲à la borne A, la plaque porte la charge <math>q_A</math> (algébrique)telle que
<math>q_A = - q_B = \C U_{AB}= C (V_A - V_B)</math>. C est en farad ; 1 F= 1 volt/coulomb.
Si q est c_ , alors U est c_.
*Une auto-inductance L d'un solénoïde est la fonction suivante :
<math> U_{AB} = L \frac{dI_A}{dt}</math> . L est en henry ; 1 H = 1 volt-seconde/coulomb.
Si U est c_ , alors la dérivée de I est c_ .
*Dans des cas très spéciaux de discontinuités ou de C(t) ou de L(t) , il faut revenir sur la déFinition de ces 2 composants.
===Variables d'état ===
Théorème : tout système linéaire d'éq_dif_lin à coef_constants_réels peut en choisissant convenablement les variables d'état se ramener à :
<math> \dot X = A \cdot X</math>,
A matrice réelle, et X appelé vecteur qualifiant l'ETAT du système.
=== Résolution par Euler ===
<math>X(t) = exp(A t) \cdot X(t_0)</math>
*Critère de stabilité : det( A -p I) = 0 est un polynôme P(p) de Hurwitz.
=== Modes propres et symétries ===
Très souvent en mécanique, il s'agit d'oscillateurs couplés dont les vibrations sont somme de modes propres : un mode propre est le cas d'un vecteur d'état à évolution homothétique <math> X(t) = X_k \exp {(p_k \cdot t)}</math> , avec pk racine du polynôme de Hurwitz).
S'il y a symétrie, il existe une façon de décomposer l'espace des états en sous-espaces orthogonaux, ce qui facilite évidemment le calcul de exp(At).
* Tout est dit : se reporter au Gantmacher pour plus de précisions, ou à un livre sur les sys_lin (Gilles, Pélegrin)
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