Programmation Octave/Algèbre linéaire
Opération sur les vecteurs Modifier
On peut calculer la norme d'un vecteur grâce à la commande "norm()" :
octave> x = [2 3 1 1 1]; octave> n = norm(x) n = 4
La commande "dot(x,y)" calcul le produit scalaire de deux vecteurs :
octave> y = [-1 1 2] y = -1 1 2 octave> x = [1 1 1] x = 1 1 1 octave>z = dot(x,y) z = 2
La commande "cross(x,y)'" calcul le produit vectoriel de vecteur en trois dimensions :
octave> z = cross(x,y) z = 1 -3 2
Opérations sur les matrices Modifier
Nous avons déjà vu que nous pouvions multiplier des matrices et calculer leurs transposées. Mais Octave permet aussi de les élever à une puissance :
octave> A = [-1 2;2 0] A = -1 2 2 0 octave>B = A^4 B = 29 -18 -18 20
La commande "rank()" calcul le rang d'une matrice :
octave> r = rank(A) r = 2
La commande "trace" permet d'obtenir la trace d'une matrice :
octave> t = trace(A) t = -1
On peut aussi, grâce à la commande "expm()", calculer l'exponentielle de la matrice :
octave> E = expm(A) E = 0.36788 7.38906 7.38906 1.00000
Matrices particulières Modifier
Octave fournit plusieurs fonctions pour créer des matrices particulières.
Matrice nulle Modifier
Pour créer une matrice nulle, il faut se servir de la fonction "zeros" :
octave> null = zeros(5, 3) null = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matrice identité Modifier
La fonction "eye" crée une matrice identité.
octave:13> I = eye(3) I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matrice diagonale Modifier
La fonction "diag()" crée des matrices diagonales, sur-diagonales ou sous-diagonales à partir d'un vecteur :
octave>A = diag([1 2 3],0) A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 octave>A = diag([1 2 3],2) A = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 octave>A= diag([1 2 3],-1) A = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0
Matrice aléatoire Modifier
La fonction "rand()" crée une matrice dont les coefficients sont des nombres choisis aléatoirement entre 0 et 1 :
octave> rand(2,3) ans = 0.871644 0.651894 0.563654 0.076660 0.790505 0.275381
Matrice de Hilbert Modifier
La fonction "hilb()" permet de créer une matrice de Hilbert :
octave> hilb(3) ans = 1.00000 0.50000 0.33333 0.50000 0.33333 0.25000 0.33333 0.25000 0.20000
Autre matrices particulières Modifier
Octave propose beaucoup de commandes pour créer des matrices spéciales :
- hankel (Matrice de Hankel).
- invhilb (Inverse de la Matrice de Hilbert),
- sylvester_matrix (Matrice de Sylvester),
- toeplitz (Matrice de Toeplitz),
- vander (Matrice de Vandermonde).
Calcul du déterminant Modifier
Pour calculer un determinant il suffit d'utiliser la commande "det()" :
octave> A = [1 -1 3; 4 -3 1; 2 -3 1] A = 1 -1 3 4 -3 1 2 -3 1 octave> d = det(A) d = -16
Valeurs propres et vecteurs propres Modifier
Avant d'aborder le calcul de valeurs propres et vecteurs propres, il faut savoir qu'on peut manipuler les vecteurs et les matrices composante par composante :
octave> A = [2 -1; -1 1] A = 2 -1 -1 1
octave> a11 = A(1,1) a11 = 2
On peut même utiliser le vecteur d'une matrice grâce au caractère ":" :
octave:18> a2 = A(:,2) a2 = -1 1
Donc la commande "eig" permet de calculer les vecteurs et valeurs propres d'une matrice :
octave> [vecteursp , valeursp] = eig(A) vecteursp = -0.52573 -0.85065 -0.85065 0.52573 valeursp = 0.38197 0.00000 0.00000 2.61803
Les coefficients diagonaux de la matrice valeursp sont les valeurs propres. On peut vérifier que le calcul est juste :
octave> x=A*vecteursp(:,1) x = -0.20081 -0.32492 octave> y = valeursp(1,1)*vecteursp(:,1) y = -0.20081 -0.32492
Décomposition de matrice Modifier
Nous avons déjà vu la décomposition de Cholesky et LU d'une matrice dans le chapitre précédent, mais Octave permet d'effectuer d'autres décomposition. Par exemple on peut utiliser la décomposition QR :
octave> A = [1 -1 2; 3 -2 1; -3 2 1] A = 1 -1 2 3 -2 1 -3 2 1 octave> [q r] = qr(A) q = -2.2942e-01 9.7333e-01 7.6411e-17 -6.8825e-01 -1.6222e-01 7.0711e-01 6.8825e-01 1.6222e-01 7.0711e-01 r = -4.35890 2.98240 -0.45883 0.00000 -0.32444 1.94666 0.00000 0.00000 1.41421
Ensuite on vérifie que :
octave:8>B = q*r B = 1.00000 -1.00000 2.00000 3.00000 -2.00000 1.00000 -3.00000 2.00000 1.00000
On peut de même effectuer plusieurs autres décompositions grâve aux fonctions :
qz(decomposition QZ),qzhess(decomposition de Hessenberg),schur(decomposition de Schur),svd(décomposition de la valeur singulière),houshkrylov