Manuel de géométrie vectorielle/Translations
On a vu, dans le chapitre précédent, qu'un vecteur correspond à un déplacement.
En mathématiques cela correspond à une transformation du plan : la translation.
Définition
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Définition |
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La translation de vecteur est la transformation du plan qui transforme le point A en le point B tel que . On dit que B est l'image de A par la translation de vecteur . |
D'après le chapitre précédent, on peut énoncer la propriété suivante :
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Propriété |
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Si une translation transforme A en B et C en D, alors |
Image d'un point par une translation
modifierOn cherche l'image D du point C par la translation de vecteur , c'est-à-dire qu'il faut construire le point D tel que .
Égalité de vecteurs et parallélogrammes
modifierOn va maintenant chercher de manière géométrique ce que signifie l'égalité :
- Les vecteurs et ont la même direction : ce qui signifie que les droites et sont parallèles.
- Les vecteurs et ont la même longueur, ce qui signifie que .
On reconnaît là les propriétés d'un parallélogramme.
On en déduit la propriété qui permet de résumer par une égalité vectorielle le fait qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.
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Propriété |
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Il faut faire ici très attention à l'ordre des lettres.
Construction de l'image d'un point par une translation
modifierPour placer l'image D du point C par la translation de vecteur , il faut que .
Mais, en utilisant la propriété précédente, si , alors est un parallélogramme.
On peut effectuer la construction du parallélogramme à l'aide d'un compas, comme sur la figure ci-dessous.
