Manuel de géométrie vectorielle/Translations

On a vu, dans le chapitre précédent, qu'un vecteur correspond à un déplacement.

En mathématiques cela correspond à une transformation du plan : la translation.

Définition modifier

Définition

La translation de vecteur   est la transformation du plan qui transforme le point A en le point B tel que  .

On dit que B est l'image de A par la translation de vecteur  .


D'après le chapitre précédent, on peut énoncer la propriété suivante :

Propriété

Si une translation transforme A en B et C en D, alors  


Image d'un point par une translation modifier

On cherche l'image D du point C par la translation de vecteur  , c'est-à-dire qu'il faut construire le point D tel que  .

 

Égalité de vecteurs et parallélogrammes modifier

On va maintenant chercher de manière géométrique ce que signifie l'égalité   :

  • Les vecteurs   et   ont la même direction : ce qui signifie que les droites   et   sont parallèles.
  • Les vecteurs   et   ont la même longueur, ce qui signifie que  .


 


On reconnaît là les propriétés d'un parallélogramme.

On en déduit la propriété qui permet de résumer par une égalité vectorielle le fait qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.

Propriété

  • Si   alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
  • Si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, alors  .


 

Il faut faire ici très attention à l'ordre des lettres.


  Testez vos nouvelles connaissances sur les vecteurs et les translations !

Construction de l'image d'un point par une translation modifier

Pour placer l'image D du point C par la translation de vecteur  , il faut que  .

Mais, en utilisant la propriété précédente, si  , alors   est un parallélogramme.

 


On peut effectuer la construction du parallélogramme à l'aide d'un compas, comme sur la figure ci-dessous.