Manuel de géométrie vectorielle/Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Le vecteur comme déplacement d'un point à un autre

Quel lien existe-t-il entre tous ces points ?

Pour aller de A à B :

• On part de A,
• puis on avance de 4 cm en direction du nord-est.

Ce trajet peut-être représenté par une flèche comme sur le dessin suivant.

Pour aller de C vers D :

• On part de C,
• puis on avance de 4 cm en direction du nord-est.

On peut répéter l'opération pour aller de E vers F ou de G vers H.

Écrivons :

• ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ le déplacement de A vers B.
• ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ le déplacement de C vers D.
• ${\overrightarrow {\rm {EF}}}$ le déplacement de E vers F.
• ${\overrightarrow {\rm {GH}}}$ le déplacement de G vers H.

On dit que ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$, ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$, ${\overrightarrow {\rm {EF}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GH}}}$ sont des vecteurs.

Plusieurs notations pour désigner le même objet

Tous ces déplacements sont identiques. À chaque fois, on peut décrire le déplacement comme avancer de 4 cm en direction du nord-est. Seul le point de départ change.

En mathématiques, quand deux objets sont égaux on utilise le signe =.

Dans le cas de nos vecteurs, on peut donc écrire

${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {CD}}}={\overrightarrow {\rm {EF}}}={\overrightarrow {\rm {GH}}}$

Ces quatre vecteurs étant égaux, on va les désigner par une lettre unique, surmontée d'une flèche pour indiquer qu'il s'agit d'un déplacement : ${\overrightarrow {u}}$.

Ainsi on peut écrire :

${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {CD}}}={\overrightarrow {\rm {EF}}}={\overrightarrow {\rm {GH}}}$

Ce vecteur ${\overrightarrow {u}}$ se représente sur le dessin indépendamment de tous points, comme le déplacement qui permet d'aller de A vers B, de C vers D…

Définition d'un vecteur

En langage courant, le vecteur ${\overrightarrow {u}}$ peut se décrire comme avancer de 4 cm en direction du nord-est.

Dans cette phrase on peut distinguer trois éléments qui permettent de reproduire à coup sûr le déplacement :

• une direction, ici l'axe sud-ouest - nord-est;
• un sens, du sud-ouest vers le nord-est;
• une longueur, 4 cm.

C'est la définition d'un vecteur :

Définition

Un vecteur du plan est défini par : une direction; un sens; une longueur. Ainsi ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ désigne le vecteur : dont la direction est celle de la droite (AB), dont le sens est celui de A vers B, et dont la longueur est celle du segment [AB]. On dit alors que A est l'origine du vecteur ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et B son extrémité.

Égalité de vecteurs

Un vecteur étant défini par sa direction, son sens et sa longueur, on a :

Propriété

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.

Vecteur nul

Il est un vecteur particulier, le vecteur nul. C'est le seul vecteur dont la longueur est nulle. Il est alors inutile de parler de sa direction et de son sens : si on avance ou recule de rien du tout, peu importe la direction choisie, on restera sur place.

Définition

On appelle vecteur nul le vecteur dont la longueur est nulle, on le note ${\overrightarrow {0}}$. Quel que soit le point A, ${\overrightarrow {\rm {AA}}}={\overrightarrow {0}}$