Manuel de géométrie vectorielle/Somme et différence de vecteurs


Somme de vecteurs

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Somme de vecteurs bout à bout

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Propriété

Si A, B et C sont trois points quelconques, effectuer une translation de vecteur   suivie d'une translation de vecteur   revient à effectuer une seule translation de vecteur  .

Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles.

Relation de Chasles

 

Somme de vecteurs de même origine

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De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs.

Propriété

Si ABDC est un parallélogramme, alors  



 

Encore une fois, attention à l'ordre des lettres !


Opposé d'un vecteur

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Observons les deux vecteurs   et   sur le dessin suivant.

 

Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs   et   ont deux caractéristiques sur trois en commun :

  • Les côtés opposés du parallélogramme étant parallèles, les vecteurs   et   ont la même direction.
  • Les côtés opposés du parallélogramme étant de même longueur, les vecteurs   et   ont la même longueur.

Par contre les vecteurs   et   diffèrent par leur sens.

On dit que les vecteurs   et   sont opposés.

L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note   l'opposé du vecteur  .


 
Le vecteur   est l'opposé du vecteur  .
 

Définition

  • On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur, mais sont de sens opposés.
  • On note   l'opposé du vecteur  


Propriété

L'opposé du vecteur   est le vecteur   :
 

Différence de deux vecteurs

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On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence   de deux vecteurs   et   ?

Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.

Appliquons le même principe aux vecteurs   et  , ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.

À partir d'un point A:

  • On construit par translation de vecteur   un point B tel que  ,
  • puis on construit par translation de vecteur   un point C tel que  .


 


Le vecteur   ainsi construit est égal à  .


 


En effet d'après la relation de Chasles :

 

Et d'après la construction effectuée :

 

Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :

 

Vecteurs particuliers

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Propriété

  • Le vecteur nul est le vecteur qui ne change rien quand on l'additionne à un autre vecteur.
 
  • Quand on additionne un vecteur et son opposé, on trouve le vecteur nul.