Manuel de géométrie vectorielle/Somme et différence de vecteurs

Somme de vecteurs

Somme de vecteurs bout à bout

Propriété

Si A, B et C sont trois points quelconques, effectuer une translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ suivie d'une translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {BC}}}$ revient à effectuer une seule translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$.

Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles.

Relation de Chasles

${\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}}={\overrightarrow {\rm {AC}}}$

Somme de vecteurs de même origine

De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs.

Propriété

Si ABDC est un parallélogramme, alors ${\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {\rm {AD}}}$

Encore une fois, attention à l'ordre des lettres !

Opposé d'un vecteur

Observons les deux vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sur le dessin suivant.

Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont deux caractéristiques sur trois en commun :

• Les côtés opposés du parallélogramme étant parallèles, les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont la même direction.
• Les côtés opposés du parallélogramme étant de même longueur, les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont la même longueur.

Par contre les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ diffèrent par leur sens.

On dit que les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sont opposés.

L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note $-{\overrightarrow {u}}$ l'opposé du vecteur ${\overrightarrow {u}}$.

Le vecteur ${\overrightarrow {v}}$ est l'opposé du vecteur ${\overrightarrow {u}}$.

${\overrightarrow {v}}=-{\overrightarrow {u}}$

Définition

On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur, mais sont de sens opposés. On note $-{\overrightarrow {u}}$ l'opposé du vecteur ${\overrightarrow {u}}$

Propriété

L'opposé du vecteur ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ est le vecteur ${\overrightarrow {\rm {BA}}}$ : $-{\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {BA}}}$

Différence de deux vecteurs

On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ de deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ ?

Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.

Appliquons le même principe aux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$, ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.

À partir d'un point A:

• On construit par translation de vecteur ${\vec {u}}$ un point B tel que ${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\vec {u}}$,
• puis on construit par translation de vecteur $-{\vec {v}}$ un point C tel que ${\overrightarrow {\rm {BC}}}=-{\vec {v}}$.

Le vecteur ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$ ainsi construit est égal à ${\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}$.

En effet d'après la relation de Chasles :

${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}}$

Et d'après la construction effectuée :

${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {u}}+(-{\overrightarrow {v}})$

Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :

${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}$

Vecteurs particuliers

Propriété

Le vecteur nul est le vecteur qui ne change rien quand on l'additionne à un autre vecteur. ${\overrightarrow {\rm {AA}}}={\vec {0}}$ Quand on additionne un vecteur et son opposé, on trouve le vecteur nul. ${\overrightarrow {\rm {AB}}}+(-{\overrightarrow {\rm {AB}}})={\vec {0}}$