Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Développement perturbatif

Pour un hamiltonien $H(t)=H_{0}+V(t)$, l'opérateur d'évolution peut se développer en série

$U(t_{f},t_{i})=U_{0}(t_{f},t_{i})+\sum _{n=1}^{\infty }U^{(n)}(t_{f},t_{i})$

avec

$U_{0}(t_{f},t_{i})=e^{-iH_{0}\times (t_{f},t_{i})/\hbar }$

et

${\begin{matrix}U^{(n)}(t_{f},t_{i})&=&\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{i}\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \ldots \leq \theta _{n}\leq t_{f}}d\theta _{1}d\theta _{2}\ldots d\theta _{n}\times \\&\times &U_{0}(t_{f},\theta _{n})V(\theta _{n})U_{0}(\theta _{n},\theta _{n-1})\ldots V(\theta _{2})U_{0}(\theta _{2},\theta _{1})V(\theta _{1})U_{0}(\theta _{1},t_{i})\end{matrix}}$

Ce dernier terme correspond à $n+1$ opérateurs d'évolution non perturbés séparés par des perturbations $V$.

Dans le point de vue d'interaction, l'opérateur $U_{0}$ devient l'opérateur unité, et l'on a

${\tilde {U}}(t_{f},t_{i})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde {U}}^{(n)}(t_{f},t_{i})$

avec

${\tilde {U}}^{(n)}(t_{f},t_{i})=\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{i}\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \ldots \leq \theta _{n}\leq t_{f}}d\theta _{1}d\theta _{2}\ldots d\theta _{n}\times {\tilde {V}}(\theta _{n})\ldots {\tilde {V}}(\theta _{2}){\tilde {V}}(\theta _{1})$

Matriciellemement,

${\tilde {U}}_{fi}=\delta _{fi}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde {U}}_{fi}^{(n)}$

avec

${\tilde {U}}_{fi}=\langle \phi _{f}|{\tilde {U}}(t_{f},t_{i})|\phi _{i}\rangle$

et

${\tilde {U}}_{fi}^{(n)}=\langle \phi _{f}|{\tilde {U}}^{(n)}(t_{f},t_{i})|\phi _{i}\rangle$