Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution

L'opérateur d'évolution $U(t_{f},t_{i})$ relie l'état final $|\psi (t_{f})\rangle$ à l'état initial $|\psi (t_{i})\rangle$

$|\psi (t_{f})\rangle =U(t_{f},t_{i})\;|\psi (t_{i})\rangle$

De l'équation de Schrödinger on déduit immédiatement que l'opérateur d'évolution obéit à l'équation d'évolution

$i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{i})=H(t)U(t,t_{i})$

Mais cela ne suffit pas à caractériser cet opérateur. Il faut rajouter la condition

$U(t_{i},t_{i})=1$

Pour un hamiltonien indépendant du temps, l'opérateur d'évolution d'un état stationnaire d'énergie $E_{i}$ est

• dans le point de vue de Schrödinger $e^{-iE_{i}\times \left(t_{f}-t_{i}\right)/\hbar }$
• dans le point de vue d'interaction il vaut 1.