Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Équation intégrale

Écrivant l'habiltonien sous la forme

$H(t)=H_{0}+V(t)$

l'opérateur d'évolution obéit à l'équation

$U(t_{i},t_{f})=U_{0}(t_{i},t_{f})+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt\;U_{0}(t_{f},t)V(t)U(t,t_{i})$

où

$U_{0}(t_{i},t_{f})=e^{-iH_{0}\times (t_{f}-t_{i})/\hbar }$

est l'opérateur d'évolution du système d'hamiltonien $H_{0}$ indépendant du temps (démonstration).