Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Dérivée partielle

Partant de la définition du tenseur métrique

$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$

on calcule sa dérivée partielle

$g_{ij,l}=\mathbf {e} _{i,l}\cdot \mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j,l}$

qui s'exprime au moyen du symbole de Christoffel

$g_{ij,l}=\Gamma _{j|li}+\Gamma _{i|lj}=g_{jm}\Gamma _{li}^{m}+g_{im}\Gamma _{lj}^{m}$