Calcul scientifique/Résolution de problèmes avec condition initiale

Calcul scientifique

1. Introduction
2. Résolution d'équations algébriques et transcendantes
3. Résolution de systèmes d'équations linéaires
4. Interpolation
5. Différentiation numérique
6. Intégration numérique
7. Résolution d'équations différentielles ordinaires (ODE): problèmes avec conditions initiales
8. Résolution d'équations différentielles ordinaires (ODE): problèmes avec des conditions aux limites
9. Résolution d'équation aux dérivées partielles (EDP)

Problème de Cauchy

On parle de problème de Cauchy si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)

Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif

Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ explicitement : $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})$

Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde

Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car $u_{n+1}$ est défini implicitement en fonction de $u_{n}$ : $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n+1},u_{n+1})$

En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.

Méthode de Cranck-Nicolson

Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : $u_{n+1}=u_{n}+{\frac {h}{2}}\cdot [f(t_{n},u_{n})+f(t_{n+1},u_{n+1})]$

Méthode de Heun

Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite $u_{n+1}$ comme dans la méthode d'Euler explicite $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})$ :

$u_{n+1}=u_{n}+{\frac {h}{2}}\cdot [f(t_{n},u_{n})+f(t_{n+1},u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n}))]$