Théorème de Thalès (E-M)

Exercices de mathématiques

Sommaire

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs connaissant un parallélisme ou de prouver un parallélisme connaissant des longueurs.

Voir le Cours de mathématiques de Wikilivres sur le théorème de Thalès.

Les basiques

Calculer une longueur

• Exercice 1

On considère un triangle ABC tel que AB = 5, BC = 6 et CA = 7. On place sur le segment [BC] un point M tel que BM = 4. La parallèle à (AC) passant par M rencontre (BA) en N. Calculer BN, AN et MN.

Solution

La première étape consiste toujours à faire une figure et à la renseigner.

Puis on repère les triangles en situation de Thalès et on vérifie les conditions d'application du théorème :

Les points B, M, C sont alignés , les points B, N, A sont alignés, les droites (MN) et (AC) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BMN et BCA.

${\frac {BM}{BC}}={\frac {BN}{BA}}={\frac {MN}{CA}}$

On remplace par les valeurs connues

${\frac {4}{6}}={\frac {BN}{5}}={\frac {MN}{7}}$

Quand, dans une égalité, 3 des longueurs sont connues, on peut en déduire la quatrième par le produit en croix

${\frac {4}{6}}={\frac {BN}{5}}$ donc $6BN=4\times 5\,$ donc $BN={\frac {4\times 5}{6}}={\frac {10}{3}}$

On vérifie sur la figure que le résultat est plausible

${\frac {4}{6}}={\frac {MN}{7}}$ donc $6MN=4\times 7\,$ donc $MN={\frac {4\times 7}{6}}={\frac {14}{3}}$

On renseigne au fur et à mesure la figure. Elle permet de déterminer AN

$AN=BA-BN=5-{\frac {10}{3}}={\frac {15}{3}}-{\frac {10}{3}}={\frac {5}{3}}$

• Exercice 2

On considère un triangle TIC tel que TI = 5, IC = 8 et CT = 4. On place sur la demi-droite [TI) un point O tel que TO = 7 . La parallèle à (IC) passant par O rencontre (CT) en S. Calculer TS, CS et OS.

Solution

Les points T, I, O sont alignés , les points T, C, S sont alignés, les droites (IC) et (OS) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles TIC et TOS.

${\frac {TI}{TO}}={\frac {TC}{TS}}={\frac {IC}{OS}}$

On remplace par les valeurs connues

${\frac {5}{7}}={\frac {4}{TS}}={\frac {8}{OS}}$

${\frac {5}{7}}={\frac {4}{TS}}$ donc $5TS=4\times 7\,$ donc $TS={\frac {28}{5}}$

${\frac {5}{7}}={\frac {8}{OS}}$ donc $5OS=8\times 7\,$ donc $OS={\frac {56}{5}}$

$CS=TS-TC={\frac {28}{5}}-4={\frac {21}{5}}-{\frac {20}{5}}={\frac {8}{5}}$

Ces exercices se déclinent à l'infini, en changeant le nom des points, les distances proposées et la configuration. La correction est automatique car il suffit de vérifier sur la figure construite la valeur trouvée pour la longueur.

Vérifier un parallélisme

• Exercice 1

On considère un triangle MNP tel que MN = 7, NP=5, PM = 8. On place sur le segment [NP] un point A tel que NA = 1,25 et sur le segment [PM] un point U tel que PU=6. Les droites (AU) et (MN) sont-elles parallèles ?

Solution

Construire une figure

Les points P, A, N sont alignés dans cet ordre. Les points P, U, M sont alignés dans cet ordre. Si on prouve que

${\frac {PA}{PN}}={\frac {PU}{PM}}$

on pourra affirmer que les droites (AU) et (NM) sont parallèles. Or

PA = PN - AN = 5 - 1,25 = 3,75

PN = 5, PU = 6, PM = 8

Vérifions si

${\frac {3,75}{5}}={\frac {6}{8}}$

en effectuant les produits en croix:

$6\times 5=30$

$3,75\times 8=30$

donc ${\frac {3,75}{5}}={\frac {6}{8}}$

donc ${\frac {PA}{PN}}={\frac {PU}{PM}}$

donc les droites (AU) et (NM) sont parallèles.

• Exercice 2

Les segments [AB] et [CD] se coupent en O. On sait que AB= 4, CD=6, AO=1 et DO=4,5

1. Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ?

2. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

Solution

Construire une figure

1.

Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre. Les points D, O, C sont alignés dans cet ordre. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles si et seulement si

${\frac {OA}{OB}}={\frac {OD}{OC}}$

OA = 1, OB = 4 - 1 = 3, OD = 4,5 et OC = 6 - 4,5 = 1,5

Vérifions si

${\frac {1}{3}}={\frac {4,5}{1,5}}$

en effectuant les produits en croix:

$1,5\times 1=1,5$

$3\times 4,5=13,5$

Les produits sont différents donc ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {4,5}{1,5}}$

donc ${\frac {OA}{OB}}\neq {\frac {OD}{OC}}$

donc les droites (AD) et (BC) ne sont pas parallèles.

2.

Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre. Les points D, O, C sont alignés dans cet ordre. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles si et seulement si

${\frac {OA}{OB}}={\frac {OC}{OD}}$

OA = 1, OB = 3, OD = 4,5 et OC = 1,5

Vérifions si

${\frac {1}{3}}={\frac {1,5}{4,5}}$

en effectuant les produits en croix:

$4,5\times 1=4,5$

$3\times 1,5=4,5$

donc ${\frac {1}{3}}={\frac {1,5}{4,5}}$

donc ${\frac {OA}{OB}}={\frac {OC}{OD}}$

donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Prendre une fraction de segment avec une règle non graduée et un compas

• Exercice 1

Comment prendre les deux tiers d'un segment [AB] ?

Solution

On construit un point arbitraire $M_{1}$. Sur la demi-droite ($AM_{1}$), avec un compas, on reporte deux fois la longueur $AM_{1}$ pour construire $M_{2}$ puis $M_{3}$. Par construction, on a :

${\frac {AM_{2}}{AM_{3}}}={\frac {2}{3}}$

On mène par $M_{2}$ une parallèle à ($BM_{3}$) qui rencontre le segment [AB] en C.

Les points A, C et B sont alignés. Les points A, $M_{2}$ et $M_{3}$ sont alignés. La droite ($CM_{2}$) est parallèle à la droite ($BM_{3}$). On peut donc appliquer le théorème de Thalès :

${\frac {AM_{2}}{AM_{3}}}={\frac {AC}{AB}}={\frac {2}{3}}$

${\frac {AC}{AB}}={\frac {2}{3}}$ donc $AC={2 \over 3}AB$

Les élaborés

Il s'agit d'utiliser la configuration de Thalès dans les deux sens, c'est-à-dire exploiter un parallélisme pour trouver des égalités de rapport et exploiter des égalités de rapport pour prouver un parallélisme. On trouvera aussi des exercices où il faut prouver le parallélisme par d'autres méthodes avant d'appliquer le théorème de Thalès. Enfin, on travaillera aussi avec des égalités de rapport où l'inconnue apparaît deux fois. Enfin, dans les exercices de recherche, il s'agit d'une démonstration générale dans laquelle aucune des distances ne sont connues.

• Exercice 1

On considère trois droites ($d_{1}$), ($d_{2}$) et ($d_{3}$) concourantes en O. A est un point de ($d_{1}$) et OA = 3. B est un point de ($d_{2}$) et OB = 4. C est un point de ($d_{3}$) et OC = 5. D est un point de la demi-droite [OA) et OD=5. La parallèle à (AB) passant par D coupe ($d_{2}$) en E. La parallèle à (BC) passant par E coupe ($d_{3}$) en F.

1. Calculer OE et OF.

2. Montrer que les droites (AC) et (DF) sont parallèles.

Solution

Faire une figure

1.

Les points O, A et D sont alignés dans cet ordre. Les points O, B et E sont alignés. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles (OAB) et (ODE).

Les points O, B et E sont alignés dans cet ordre.

${OA \over OD}={OB \over OE}$

En remplaçant, on obtient :

${3 \over 5}={4 \over OE}\,$ donc $3OE=5\times 4$ donc $OE={20 \over 3}$

Même raisonnement dans les triangles (OBC) et (OEF)

Les points O, C et F sont alignés dans cet ordre.

${OB \over OE}={OC \over OF}$

En remplaçant, on obtient :

${4 \over 20/3}={5 \over OF}$ donc $4OF=5\times {20 \over 3}$ donc $OF={25 \over 3}$

2.

Les points O, A et D sont alignés dans cet ordre. Les points O, C et F sont alignés dans cet ordre. Les droites (AC) et (DF) seront parallèles si et seulement si

${\frac {OA}{OD}}={\frac {OC}{OF}}$

OA = 3, OD = 5, OC = 5 et OF = 25/3

Vérifions si

${\frac {3}{5}}={\frac {5}{25/3}}$

en effectuant les produits en croix:

$3\times 25/3=25$

$5\times 5=25$

les produits sont égaux donc ${\frac {3}{5}}={\frac {5}{25/3}}$

donc ${\frac {OA}{OD}}={\frac {OC}{OF}}$

donc les droites (AC) et (DF) sont parallèles.

• Exercice 2

Dans la figure jointe, (C) est un cercle de centre O, de rayon 5 et de diamètre [AB].

La droite ($d_{1}$) est la médiatrice du segment [OA], la droite ($d_{2}$) est une tangente au cercle au point B.

Le point M est un point commun à la droite ($d_{1}$) et au cercle (C). La droite (OM) rencontre la droite ($d_{2}$) en N.

1. Montrer que les droites ($d_{1}$) et ($d_{2}$) sont parallèles.

2. Calculer la longueur ON.

Solution

1.

La droite ($d_{1}$) est la médiatrice du segment [OA], donc elle passe par I milieu de [OA] et est perpendiculaire à [OA] donc à (AB).

La droite ($d_{2}$) est une tangente au cercle au point B donc elle est perpendiculaire au rayon [OB] donc à (AB).

Dans le plan, deux droites perpendiculaire à une même droite sont parallèles donc ($d_{1}$) et ($d_{2}$) sont parallèles.

2.

Les points M, O et N sont alignés. Les points I, O et B sont alignés. Les droites (MI) et (NB) sont parallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles (OMI) et (ONB)

${\frac {ON}{OM}}={\frac {OB}{OI}}$

On remplace sachant que OM = 5, OB = 5, OI = 2,5

${\frac {ON}{5}}={\frac {5}{2,5}}$ donc $2,5\times ON=5\times 5\,$ donc $ON={25 \over 2,5}=10$

• Exercice 3 (nécessite le Théorème de Pythagore et Théorème de Thalès anglosaxon)

On considère un segment [AB] tel que AB=7. Soit M un point du segment [AB] tel que AM=2. On trace les cercles ($C_{1}$) et ($C_{2}$) de diamètres [AM] et [MB]. Le point P est un point du cercle ($C_{2}$) tel que BP=2. La droite (PM) recoupe le cercle ($C_{1}$) en N.

1. Prouver que les droites (BP) et (AN) sont parallèles.

2. Calculer la distance AN.

3. Calculer les distances MP et MN.

Solution

1.

Le triangle MBP s'inscrit dans un cercle de diamètre [MB]. D'après le théorème de Thalès (cercle), le triangle est rectangle en P. De même, le triangle AMN est rectangle en N. Les droites (BP) et (AN) perpendiculaires toutes deux à (NP) sont donc parallèles.

2.

Les points N, M, P sont alignés, les points A, M, B sont alignés et les droites (NA) et (PB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles (NMA) et (PMB):

${\frac {MA}{MB}}={\frac {MN}{MP}}={\frac {NA}{PB}}$

On remplace par les valeurs connues

${\frac {2}{5}}={\frac {NA}{2}}$

donc $5\times NA=2\times 2$ donc $NA={\frac {4}{5}}$

3.

Les triangles MPB et MNA sont rectangles en P et N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore

$MP^{2}+PB^{2}=MB^{2}$ donc $MP^{2}+4=25$ donc $MP^{2}=21$ et $MP={\sqrt {21}}$

On peut calculer NM en utilisant le théorème de Pythagore ou le théorème de Thalès. Il faut reprendre les égalités de rapport précédentes et remplacer :

${\frac {2}{5}}={\frac {NM}{\sqrt {21}}}$ donc $5NM=2{\sqrt {21}}$ et $NM={\frac {2}{5}}{\sqrt {21}}$

• Exercice 4

On considère deux segments [AB] et [CD] sécants en O tels que AB=4, CD=7 et OA=1.

1. Calculer OC pour que les droites (AC) et (BD) soient parallèles.

2. Calculer OC pour que les droites (AD) et (BC) soient parallèles.

Solution

Faire un schéma

1.

Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre. Les points C, O, D sont alignés dans cet ordre.

OA = 1 et AB = 4 donc OB = 3

on note x la longueur OC. On a alors

OC = x et CD = 7 donc OD = 7 - x

Les droites (AC) et (BD) sont parallèles si et seulement si

${\frac {OA}{OB}}={\frac {OC}{OD}}$.

On remplace:

${\frac {1}{3}}={\frac {x}{7-x}}$

On résout par un produit en croix :

$3x=1(7-x)$

$3x=7-x$

$4x=7$ donc $x={\frac {7}{4}}$

2.

Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre. Les points D, O, C sont alignés dans cet ordre.

OA = 1 et AB = 4 donc OB = 3

on note x la longueur OC. On a alors

OC = x et CD = 7 donc OD = 7 - x

Les droites (AD) et (BC) sont parallèles si et seulement si

${\frac {OA}{OB}}={\frac {OD}{OC}}$.

On remplace:

${\frac {1}{3}}={\frac {7-x}{x}}$

On résout par un produit en croix :

$3(7-x)=x$

$21-3x=x$

$21=4x$ donc $x={\frac {21}{4}}$

• Exercice 5

Dans la figure jointe, ($C_{1}$) et ($C_{2}$) sont deux cercles de centres $O_{1}$ et $O_{2}$ de rayons $r_{1}=2$ et $r_{2}=5$ et tangents extérieurement en A. La droite (d) est une tangente commune aux deux cercles, elle touche ($C_{1}$) en $T_{1}$ et ($C_{2}$) en $T_{2}$. Les droites ($T_{1}T_{2}$) et ($O_{1}O_{2}$) se rencontrent en M.

1. Montrer que les droites ($O_{1}T_{1}$) et ($O_{2}T_{2}$) sont parallèles.

2. Calculer $O_{1}M$.

Solution

1.

Une tangente en A à un cercle de centre O est toujours perpendiculaire au rayon [OA]. Ici la tangente commune est donc perpendiculaire au rayon [$O_{1}T_{1}$] et au rayon [$O_{2}T_{2}$]. Les droites ($O_{1}T_{1}$) et ($O_{2}T_{2}$) sont donc perpendiculaires à une même droite, elles sont donc parallèles.

2.

Les points M, $T_{1}$, $T_{2}$ sont alignés. Les points M, $O_{1}$, $O_{2}$ sont alignés. Les droites ($O_{1}T_{1}$) et ($O_{2}T_{2}$) sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles $MO_{1}T_{1}$ et $MO_{2}T_{2}$.

${\frac {MO_{1}}{MO_{2}}}={\frac {MT_{1}}{MT_{2}}}={\frac {O_{1}T_{1}}{O_{2}T_{2}}}$

Malheureusement, ici, on ne connaît que les grandeurs $O_{1}T_{1}=2$ et $O_{2}T_{2}=5$. On pose donc $MO_{1}=x$. Il vient alors $MO_{2}=x+7$. On peut alors remplacer

${\frac {x}{x+7}}={\frac {2}{5}}$

Que l'on résout par produit en croix :

$5x=2x+14$

$3x=14$

$x={\frac {14}{3}}$

donc $MO_{1}=14/3$

• Exercice 6 (recherche)

On considère un parallélogramme (ABCD). Soit R un point de la diagonale [AC]. La parallèle à (AB) menée par R rencontre (AD) en M et (BC) en P. La parallèle à (AD) menée par R rencontre (AB) en N et (CD) en Q.

Montrer que (MN) // (BD) //(PQ).

Le quadrilatère (MNPQ) est-il un trapèze ? un parallélogramme ?

Solution

1.a.

Les points Q, R, N sont alignés dans cet ordre. Les points P, R, M sont alignés dans cet ordre. Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles si et seulement si

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RN}{RQ}}$

Or les triangles RAM et RCP sont en situation de Thalès. En effet, les points A, R et C sont alignés, les points M, R et P sont alignés et les droites (AM) et (CP) sont parallèles donc :

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RA}{RC}}$

De même les triangles RAN et RCQ sont en situation de Thalès. En effet, les points A, R et C sont alignés, les points N, R et Q sont alignés et les droites (AN) et (CQ) sont parallèles donc :

${\frac {RA}{RC}}={\frac {RN}{RQ}}$

par transitivité, on peut écrire que

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RN}{RQ}}$

Ce qui prouve que les droites ($MN$) et (PQ) sont parallèles.

1.b.

Les points A, N, B sont alignés dans cet ordre. Les points A, M, D sont alignés dans cet ordre. Les droites (MN) et (BD) sont parallèles si et seulement si

${\frac {AN}{AB}}={\frac {AM}{AD}}$

Or les triangles ANR et ABC sont en situation de Thalès. En effet, les points A, N et B sont alignés, les points A, R et C sont alignés et les droites (NR) et (BC) sont parallèles donc :

${\frac {AN}{AB}}={\frac {AR}{AC}}$

De même les triangles ARM et ACD sont en situation de Thalès. En effet, les points A, R et C sont alignés, les points A, M et D sont alignés et les droites (RM) et (CD) sont parallèles donc :

${\frac {AR}{AC}}={\frac {AM}{AD}}$

par transitivité, on peut écrire que

${\frac {AN}{AB}}={\frac {AM}{AD}}$

Ce qui prouve que les droites (MN) et (BD) sont parallèles.

2.

Puisque les droites (MN) et (PQ) sont parallèles, le quadrilatère (MNPQ) est un trapèze.

Si (MNPQ) était un parallélogramme, alors ses diagonales se couperaient en leur milieu. Le point R serait alors le milieu de [MR]. On aurait alors RM = RP. En remplaçant dans le rapport :

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RA}{RC}}$

on obtiendrait

$1={\frac {RA}{RC}}$

Ce qui signifierait que R serait le milieu de [AC]

Donc, si R n'est pas au milieu de [AC], le quadrilatère n'est pas un parallèlogramme

Si R est milieu de [AC],

l'égalité

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RA}{RC}}$

montre que ${\frac {RM}{RP}}=1$ donc que R est milieu de [MP]

l'égalité

${\frac {RM}{RP}}={\frac {RN}{RQ}}$

montre alors que que ${\frac {RN}{RQ}}=1$ donc que R est milieu de [NQ].

Les diagonales se coupent bien en leur milieu et le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

• Exercice 7(recherche)

Si (ABC) est un triangle, peut-on augmenter les longueurs AB et AC d'une unité et construire ainsi un triangle (AB'C') en situation de Thalès avec le triangle (ABC) ?

Solution

On va noter AB = b et AC = c.

Les points A, B, B’ sont alignés dans cet ordre. les points ACC’ sont alignés dans cet ordre. Les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles si et seulement si

${\frac {AB}{AB'}}={\frac {AC}{AC'}}$

En remplaçant par les expressions littérales, les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles si et seulement si

${\frac {b}{b+1}}={\frac {c}{c+1}}$

En effectuant le produit en croix, les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles si et seulement si

b(c + 1) = c(b + 1)

En développant et en simplifiant par bc, les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles si et seulement si

b = c

donc les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles si et seulement si le triangle ABC est isocèle de sommet A