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Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion

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Éléments théoriques et pratiques


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La poutre est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux et désignant un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine).

Le présent formulaire sert à la validation de l'état limite ultime (ELU), c'est-à-dire à la vérification que la pièce n'est pas endommagée (la limite ultime n'est pas atteinte en service) :

σmax ≤ Rpe

avec

  • σmax : contrainte normale maximale (MPa) ;
  • Rpe : résistance pratique à l'extension.

On a en général

avec

  • Re : limite élastique (MPa), dont la définition dépend de la forme courbe de traction et du contexte de l'étude : ReH ou ReL pour une courbe avec limite élastique franche, Rp 0,2 % pour une courbe sans limite élastique franche, Rm pour un matériau cassant dans le domaine élastique ;
  • s : coefficient de sécurité, dépendant du contexte.

La contrainte normale maximale se calcule par

  • Mfz max : moment fléchissant maximal (en Nmm) ;
  • wz : module de flexion de la poutre (mm3).

On a

  • IGz : moment quadratique de la section droite (mm4), noté ci-après simplement I ;
  • V : valeur absolue de l'ordonnée la plus éloignée de la fibre neutre (mm),
    • pour une section à symétrie horizontale de hauteur h, V = h/2,
    • pour une section circulaire, V = R (rayon).

L'effet de l'effort tranchant est en général ignoré.

On utilise la convention des efforts à droite de la coupure.

Notation des efforts de liaison

Pour les cas de charge, on ne représente que les efforts de charge. Les efforts à la liaison A sont notés RA pour la force et MA pour le moment.

Sections

Problèmes isostatiquesModifier

Poutres bi-appuyéesModifier

La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée  , celle de l'appui de droite est appelée  . Par simplicité, on note   et  .

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
 

charge concentrée au centre (flexion trois points)

     
 

charge concentrée

 

 

   
 

charge uniforme

     
 

charge linéaire croissante q(x ) = q0x/L

 

 

   
 

couple concentré en A

     
 

couple concentré en x = a

     

Poutre consoleModifier

La poutre est encastrée à gauche et libre à droite (porte-à-faux). Les indices, le sens des effort et le sens des déformation sont omis lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. La force d'encastrement est appelée La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée  , on note   ; le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
 
charge concentrée à l'extrémité
 

 

   
 
charge concentrée
 

 

   
 

charge uniforme

 

 

   
 
charge croissante q(x ) = q0x/L
 

 

   
 
charge décroissante q(x ) = q0(1-x/L)
 

 

   
 
couple
 

 

   

Problèmes hyperstatiques de degré 1Modifier

Poutre encastrée-appuyéeModifier

La poutre est encastrée en A et appuyée en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée  , celle de l'appui de droite est appelée  . Par simplicité, on note   et  . Le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
 

charge concentrée au milieu

 

 
 

   
 

charge concentrée en x = a

 

 
 

   
 

charge uniforme

 

 
 

   
 

charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

 

 
 

   
 

charge triangulaire symétrique

 

 
 

   
 

couple en B

 

 

   
 

couple en x = a

 

 

   

Poutre continue à deux travées égalesModifier

La poutre est appuyée sur trois appuis répartis symétriquement. La force l'appui de gauche sur la poutre est appelée  , celle de l'appui central est appelée   et celle de l'appui de droite est appelée  . Par simplicité, on note  ,   et  .

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
 

charge concentrée au milieu d'une travée

 

 
 

   
 

charge uniforme sur une travée

 

 
 

   
 

charge concentrée au milieu de chaque travée

 

 

   
 

charge uniforme sur toute la poutre

 

 

   

Problèmes hyperstatiques de degré 3Modifier

Poutre bi-encastréeModifier

La poutre est encastrée en A et en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée  , celle de l'appui de droite est appelée  . Par simplicité, on note   et  . Les moments d'encastrement sont notés MA et MB.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
 

charge concentrée au centre

 

 

   
 

charge excentrée (p. ex. charge roulante)

 

 
 
 

   
 

charge uniforme

 

 

   

 

Voir aussiModifier