« Approfondissements de lycée/Premiers » : différence entre les versions

# 2187 Si cela prend trop de temps, il existe une manière rapide.

 

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Il existe une manière ''facile'' de décomposer un nombre en facteurs premiers. En appliquant simplement la méthode décrite ci-dessus (en utilisant un ordinateur). Mais la méthode ci-dessus est trop lente pour les grands nombres : essayer de décomposer un nombre avec des milliers de chiffres prendrait plus de temps que l'age actuel de l'univers. Mais existe-t'il une manière ''rapide'' ? Ou plus précisément, existe-t'il une manière ''efficiente'' ? Cela se peut, mais personne ne l'a encore trouvée. Certains des schémas de cryptologie les plus largement utilisés aujourd'hui (tel que le RSA) utilisent le fait que nous ne pouvons pas décomposer des grands nombres en facteurs premiers rapidement. Si une telle méthode est trouvée, 90 % des transactions sur internet seront non sécurisées. Donc, s'il vous arrive de découvrir une telle méthode, ne soyez pas trop empressé de la publier, consultez votre ministère de sécurité nationale avant !

:''Essayez quelques nombres vous-mêmes.''

 

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Un scientifique éminent d'informatique a dit un jour "L'itération est humaine, la récursivité, divine." Mais que veux dire ''récursivité'' ? Avant cela, qu'est-ce que l'''itération'' ?

On peut maintenant conclure que ''y'' n'est pas divisible par aucun des nombres premiers formant ''n'', puisque ''y'' diffère d'un multiple de chacun des nombres premiers par exactement 1. Puisque ''y'' n'est pas divisible par aucun nombre premier, ''y'' doit être soit un nombre premier, ou ses facteurs premiers doivent tous être plus grands que ''n'', une contradiction de la proposition originale qui énonce que ''n'' est le plus grand nombre premier ! Par conséquent, on peut déclarer que la proposition originale est incorrecte, et ainsi, qu'il existe une infinité de nombres premiers.

 

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Considérons la progression arithmétique

pour ''p'' &equiv; 1 (mod 4)

 

1. La question 10 de l'ensemble des problèmes a montré que

:<math>\sqrt{-1} \equiv \sqrt{p-1} \pmod{p}</math>