Différences entre les versions de « Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations »

(répétition répétitive) et (constante qui bouge n'est pas une constante)
((répétition répétitive) et (constante qui bouge n'est pas une constante))
 
Dans le chapitres précédent, nous avions éliminé la pression des équations, afin de les rendre plus simples. Il faut dire que résoudre ces équations avec la pression est compliqué, mais c'est faisable en utilisant un formalisme mathématique précis. Celui-ci est le formalisme de la transformée de Fourier. Et quitte à introduire ce formalisme, autant parler plus en détail de la manière de modéliser le champ de densité, qui a un lien très fort avec le formalisme de Fourier. Faisons donc une petite parenthèse sur le sujet.
 
Nous sommes parti du principe que la distribution de la densité <math>\delta(x,t)</math> nous était inconnue. Nous supposions simplement qu'elle existe, mais sans en savoir plus sur ses propriétés. Et il est vrai que dans le cas général, on ne peut rien dire sur la distribution des perturbations. Par contre, on peut en donner quelques propriétés statistiques plus ou moins pertinentes. Ce champ de densité, peu importe sa forme exacte, a une densité moyenne, une certaine dispersion autour de cette moyenne, et ainsi de suite. Dans ce chapitre, nous allons voir diverses mesures statistiques du champ de densité et voir comment elles se marient avec les équations du chapitre précédent.
 
==La fonction de corrélation==
: <math>P(x,y) = \left( \overline{n} \cdot dV \right)^2</math>
 
Mais cela ne vaut que si les positions des galaxies sont totalement indépendantes, ce qui n'est pas garanti. Dans les faits, il est possible qu'il y aieait une relation dans la distribution des galaxies qui fait que si on observe une galaxie en x, alors sa présence en y est plus probable, en fonction des positions x et y. On doit donc tenir compte de telles corrélations. La formule exacte, qui en tient compte, est la suivante :
 
: <math>P(x,y) = \left( \overline{n} \cdot dV \right)^2 \left[ 1 + \epsilon(x,y) \right]</math>, où <math>\epsilon(x,y)</math> est la '''fonction de corrélation'''.
: <math><\rho(x) \rho(y)> = \overline{\rho}^2 \left[ 1 + \epsilon( | x - y | ) \right]</math>
 
Ce qui peut ds'écrire comme suit :
 
: <math><\rho(x) \rho(y)> = \overline{\rho}^2 \left[ 1 + \epsilon(d) \right]</math>, avec r la distance entre les deux points x et y.
 
Sous cette hypothèse, le calcul de la densité moyenne est assez simple. Il suffit de prendre la moyenne spatiale de la densité. La corrélation moyenne entre deux points peut se calculer en prenant un grand ombrenombre de points x et y et en calculant la corrélation pour chaque paire de points. Il suffit de faire la moyenne des corrélations obtenues, pour obtenir la corrélation moyenne. les mesures semblent montrer que la fonction de corrélation suit une loi de puissance de la forme suivante :
 
: <math>\epsilon(d) \approx k \cdot d^{- \gamma}</math>, avec <math>\gamma \approx 1,8</math>.
==La transformée de Fourier du champ de densité==
 
Outre la fonction de corrélation, on peut aussi utiliser le formalisme dit des séries de Fourier. Pour rappel, le terme <math>\delta(x,t)</math> est une fonction qui associe une perturbation de densité à tout endroit de l'espace et à chaque instant. On dit aussi que cette fonction décrit un champ de densité. Or, il existe un théorème qui nous dit que tout champ peut être décomposée en champs périodiques semblables à des cosinus ou sinus. CesFormellement, ces champs périodiques sont des formellement des ondes de forme cosinusoïdales ou sinusoïdales. Dans notre cas, la forme de ces ondes est l'équivalent en trois dimension d'un sinus/cosinus. En additionnant un certain nombre (potentiellement infini) de ces ondes de base, pondérées par un coefficient, on peut obtenir n'importe quellequel champ résultant. C'est ce qu'on appelle la '''transformée de Fourier''' des fonctions continues. Le champ de densité ne fait pas exception et on peut utiliser ce théorème pour décomposer le champ de densité en une somme d'ondes.
 
[[File:Fig 07b.png|centre|vignette|upright=2.0|Illustration des séries de Fourier.]]
Décrire le champ de densité avec des séries de Fourier permet de définir le '''spectre de puissance''' du champ de densité. Il donne l'ensemble des amplitudes de chaque onde sinusoïdale et s'obtient avec la transformée de Fourier. Dit autrement, il donne l'amplitude de chaque perturbation en fonction de la taille (de sa longueur d'onde). Dans le cas qui nous intéresse, la longueur d'onde correspond à la taille d'une perturbation périodique. Le spectre de puissance donne donc l'intensité de la surdensité en fonction de sa taille et est donc une fonction du type :
 
: <math>P(k) = ...</math>, avec <math>k</math> le nombre d'ondeondes qui est défini par <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
Le spectre de puissance et la fonction de corrélation sont reliés l'un à l'autre, par la relation suivante :
:<math>P(k) = \frac{k^3}{2 \pi^2} \int \epsilon(r) {\mathrm d}^3 {\mathbf x}</math>.
 
Qui peut aussi ds'écrire comme suit :
 
: <math>P(k) = 2 \pi \int_0^{\infty} r^2 \cdot \frac{\sin kr}{kr} \cdot \epsilon(r) dr</math>
====Les spectres en loi de puissance et le spectre de Harrison-Zeldovitch====
 
Dans le cas général, connaitreconnaître le spectre de puissance n'est pas suffisant pour décrire complètement le champ de densité, du moins d'un point de vue statistique. Il en est de même avec la fonction de corrélation qui est elle aussi un résumé imparfait de la distribution. Cependant, il existe des distributions statistiques pour lesquelles la connaissance du spectre de puissance et/ou de la fonction de corrélation suffit à décrire totalement les propriétés statistiques du champ décrit. Ce sont les '''champs aléatoires gaussiens''', pour lesquels la densité suit une distribution gaussienne (la fameuse courbe en cloche). Et ce sont ces gaussiennes qui sont utilisées pour modéliser le champ de densité cosmologique, faute de mieux. Le spectre de puissance de tels champs aléatoires gaussiens suit une loi de puissance de la forme :
 
: <math>P(k) = A \cdot k^n</math>
: <math>P(k,t) = D(t)^2 \cdot P_0(k)</math>
 
En clair, avec l'expansion, le spectre de puissance évolue, mais cette évolution est prévisible. Il est simplement multiplié par une constante multiplicativevaleur qui dépend du carré du temps écoulé. Cela veut dire deux choses. Premièrement, le spectre de puissance est décalé avec le temps. Deuxièmement, les amplitudes sont réduites par un coefficient multiplicatif dépendant du temps. Du moins, c'est le cas pour les structures qui suivent cette loi d'évolution.
 
====Les défauts des spectres en loi de puissance====