« Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
(répétition répétitive) et (constante qui bouge n'est pas une constante) |
|||
Ligne 1 :
Dans le chapitres précédent, nous avions éliminé la pression des équations, afin de les rendre plus simples. Il faut dire que résoudre ces équations avec la pression est compliqué, mais c'est faisable en utilisant un formalisme mathématique précis. Celui-ci est le formalisme de la transformée de Fourier. Et quitte à introduire ce formalisme, autant parler plus en détail de la manière de modéliser le champ de densité, qui a un lien très fort avec le formalisme de Fourier. Faisons donc une petite parenthèse sur le sujet.
Nous sommes parti du principe que la distribution de la densité <math>\delta(x,t)</math> nous était inconnue. Nous supposions simplement qu'elle existe, mais sans en savoir plus sur ses propriétés. Et il est vrai que dans le cas général, on ne peut rien dire sur la distribution des perturbations. Par contre, on peut en donner quelques propriétés statistiques plus ou moins pertinentes. Ce champ de densité, peu importe sa forme exacte, a une densité moyenne, une certaine dispersion autour de cette moyenne, et ainsi de suite. Dans ce chapitre, nous allons voir diverses mesures statistiques du champ de densité et voir comment elles se marient avec les équations du chapitre précédent.
==La fonction de corrélation==
Ligne 17 :
: <math>P(x,y) = \left( \overline{n} \cdot dV \right)^2</math>
Mais cela ne vaut que si les positions des galaxies sont totalement indépendantes, ce qui n'est pas garanti. Dans les faits, il est possible qu'il y
: <math>P(x,y) = \left( \overline{n} \cdot dV \right)^2 \left[ 1 + \epsilon(x,y) \right]</math>, où <math>\epsilon(x,y)</math> est la '''fonction de corrélation'''.
Ligne 33 :
: <math><\rho(x) \rho(y)> = \overline{\rho}^2 \left[ 1 + \epsilon( | x - y | ) \right]</math>
Ce qui peut
: <math><\rho(x) \rho(y)> = \overline{\rho}^2 \left[ 1 + \epsilon(d) \right]</math>, avec r la distance entre les deux points x et y.
Sous cette hypothèse, le calcul de la densité moyenne est assez simple. Il suffit de prendre la moyenne spatiale de la densité. La corrélation moyenne entre deux points peut se calculer en prenant un grand
: <math>\epsilon(d) \approx k \cdot d^{- \gamma}</math>, avec <math>\gamma \approx 1,8</math>.
Ligne 43 :
==La transformée de Fourier du champ de densité==
Outre la fonction de corrélation, on peut aussi utiliser le formalisme dit des séries de Fourier. Pour rappel, le terme <math>\delta(x,t)</math> est une fonction qui associe une perturbation de densité à tout endroit de l'espace et à chaque instant. On dit aussi que cette fonction décrit un champ de densité. Or, il existe un théorème qui nous dit que tout champ peut être décomposée en champs périodiques semblables à des cosinus ou sinus.
[[File:Fig 07b.png|centre|vignette|upright=2.0|Illustration des séries de Fourier.]]
Ligne 51 :
Décrire le champ de densité avec des séries de Fourier permet de définir le '''spectre de puissance''' du champ de densité. Il donne l'ensemble des amplitudes de chaque onde sinusoïdale et s'obtient avec la transformée de Fourier. Dit autrement, il donne l'amplitude de chaque perturbation en fonction de la taille (de sa longueur d'onde). Dans le cas qui nous intéresse, la longueur d'onde correspond à la taille d'une perturbation périodique. Le spectre de puissance donne donc l'intensité de la surdensité en fonction de sa taille et est donc une fonction du type :
: <math>P(k) = ...</math>, avec <math>k</math> le nombre d'
Le spectre de puissance et la fonction de corrélation sont reliés l'un à l'autre, par la relation suivante :
Ligne 57 :
:<math>P(k) = \frac{k^3}{2 \pi^2} \int \epsilon(r) {\mathrm d}^3 {\mathbf x}</math>.
Qui peut aussi
: <math>P(k) = 2 \pi \int_0^{\infty} r^2 \cdot \frac{\sin kr}{kr} \cdot \epsilon(r) dr</math>
Ligne 65 :
====Les spectres en loi de puissance et le spectre de Harrison-Zeldovitch====
Dans le cas général,
: <math>P(k) = A \cdot k^n</math>
Ligne 87 :
: <math>P(k,t) = D(t)^2 \cdot P_0(k)</math>
En clair, avec l'expansion, le spectre de puissance évolue, mais cette évolution est prévisible. Il est simplement multiplié par une
====Les défauts des spectres en loi de puissance====
|