« Cosmologie/Les équations de Friedmann pour un univers plat et sans constante cosmologique » : différence entre les versions
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: ''Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable <math>x</math> comme ceci : <math>x'</math>. Même chose pour la dérivée seconde, notée <math>x''</math>. De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps''. En clair, <math>x' = \frac{d x}{dt}</math> et <math>x'' = \frac{d^2 x}{dt^2}</math>.
Résoudre l'équation du fluide de Friedmann n'est pas très complexe, mais demande quand même quelques astuces mathématiques. Une solution pour simplifier les calculs consiste à réduire le nombre d'inconnues à un seule. Au lieu de travailler avec la pression et
Généralement, on postule que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. La relation entre pression et densité est donc de la forme :
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==Le modèle cosmologique dominé par la matière==
Le cas de l'univers qui ne contient que de la matière, sans rayonnement, ni constante cosmologique est le second cas que nous allons aborder. Dans ce modèle, la matière est un gaz parfait dont les particules sont des galaxies ou des amas de galaxies. Cette hypothèse est crédible dans le sens où les amas de galaxies sont relativement éloignés et interagissent peu. Comme autre simplification, nous allons prendre le cas d'une matière froide, au zéro absolu. Cette autre hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : seul 10% de la matière sert à fabriquer
Avec cette hypothèse, les équation de Friedmann deviennent les suivantes :
Ligne 187 :
{{démonstration | contenu =
Partons de la première équation de Friedmann et simplifions-la en ne tenant en compte que de la matière :
: <math>H(a)^2 = H_0^2 (\Omega_m a^{-3})</math>
Ligne 314 :
Dans le cas présent, on a <math>n = \frac{1}{2}</math>.
Nous avons vu les modèles cosmologiques basés sur des loi de puissance dans le chapitre "''[[../Une introduction aux modèles cosmologiques/]]''", ce qui fait que l'on va réutiliser les résultats de ce chapitre directement.
===Le calcul du facteur de Hubble===
Ligne 322 :
: <math>H = \frac{1}{2} \frac{1}{t}</math>
L'équation nous dit que le facteur de Hubble
===La détermination de l'âge de l’univers===
Ligne 337 :
: <math>H^2 = \frac{H_0^2}{a^4}</math>
En simplifiant par <math>a^2</math>
: <math>\frac{da^2}{dt^2} = \frac{H_0^2}{a^2}</math>
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