« Cosmologie/L'évolution des perturbations avant le découplage » : différence entre les versions

Prenons maintenant une perturbation dont la taille est supérieure à la longueur de Jeans, où la gravité l'emporte sur la pression. Il n'y a qu'une seule solution à cette équation différentielle, qui est de la forme :

 

 

On voit que cette solution est la somme de deux solutions particulières :

 

 

Dit autrement, toute structure d'une taille supérieure au rayon de Jeans va soit s'effondrer sur elle-même sous l'effet de sa propre gravité, soit gonfler à cause de l'expansion.

Cette équation différentielle n'a aucun coefficient dépendant des coordonnées spatiales, sans compter qu'il n'y a pas de dérivées par rapport à ces coordonnées. Seul le terme <math>\delta</math> dépend des coordonnées spatiales. Dans ce cas, on est assuré par les lois mathématiques que la solution est égale au produit de delta par un terme indépendant des coordonnées spatiales. Par contre, ce terme dépend du temps, vu que les dérivées et les coefficients dépendent du temps. On a donc une solution de la forme :

 

 

L'équation a précisément deux solutions qui ont une croissance ou décroissance linéaire. Mais la solution décroissante peut être oubliée et l'on peut se concentrer sur la solution croissante. Celle-ci nous dit qu'après le découplage, les inhomogénéités gonflent au même rythme que l'expansion. En coordonnées comobile, leur forme est restée figée après le découplage, sans aucune modification autres que celles liées à l'expansion.

En injectant cette solution croissante, l'équation originale devient :

 

 

 

 

 

: <math>\frac{\partial^2 D(t)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial D(t)}{\partial t} - 4 \pi G \rho_m \cdot D(t) = 0</math>