« Le noyau atomique/Le modèle en couche du noyau » : différence entre les versions
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: <math>n(p) dp = \frac{4 \pi}{h^3} V p^2 dp</math>
===L'énergie et l'impulsion de Fermi===
À partir de cette équation, le modèle de Fermi donne diverses expressions. La première est celle qui donne l'énergie d'un nucléon en fonction de l'état qu'il occupe. Vous savez que les particules dans le noyau atomique ne peuvent pas avoir une énergie arbitraire. Leur énergie évolue par paliers, par niveaux d'énergie quantifiés. A zéro absolu, le premier nucléon occupe le premier palier, le second occupe le second palier, et ainsi de suite. Le modèle du gaz de Fermi donne la différence d'énergie entre le palier le plus bas, et celui occupé par la énième particule, pour un noyau de N particules non-interagissantes. Cette différence est appelée, par abus de langage, l''''énergie de Fermi'''. Les calculs nous donnent une approximation de cette énergie de Fermi, qui vaut :
: <math>E_F = \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{3 \pi^2 A}{V} \right)^{2/3}</math>
L'énergie de Fermi est par définition une énergie cinétique : l'énergie cinétique que possède le énième nucléon dans un gaz de Fermi. Par défaut, le premier palier correspond à une particule sans impulsion, qui n'a que de l'énergie potentielle. Mais les niveaux au-dessus ne sont pas dans ce cas. En effet, le potentiel est le même dans tous le gaz, ce qui fait que l'énergie potentielle est la même pour toutes les particules. L'énergie de Fermi pour chaque palier ne peut être qu'une énergie cinétique. Aussi paradoxal que cela puisse paraitre, les particules d'un gaz de Fermi bougent quand même au zéro absolu ! On peut calculer l'impulsion de la énième particule en utilisant la formule de l'énergie cinétique, ce qui donne l''''impulsion de Fermi''' :▼
: <math>p_F(A) = \sqrt{2 m E_F(A)}</math>▼
La vitesse qui correspond à cette impulsion, la '''vitesse de Fermi'''', vaut :▼
: <math>v_F(A) = \sqrt{p_F(A)}{m} = \frac{\sqrt{2 m E_F(A)}}{m}</math>▼
On peut aussi définir la température de Fermi, qui vaut :▼
: <math>T_F(A) = \frac{E_F(A)}{k_B}</math>▼
===L'énergie et l'impulsion moyenne===
Précisons que l'énergie de Fermi est celle du énième nucléon, à une constante près. L'énergie du énième nucléon est égale à :
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: <math><E> = E_0 + \frac{3}{5} E_F(A)</math>
L'énergie moyenne par nucléon est donc assez grande, de l'ordre de
: <math>p_{moyenne}(A) = \frac{3}{4} p_F(A)</math>▼
===Le lien avec le modèle de la goutte liquide===
L'énergie de Fermi pour les protons vaut :
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Le premier terme est le terme de volume dans le modèle de la goutte liquide, alors que le second est le terme de symétrie.
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▲L'énergie de Fermi est par définition une énergie cinétique : l'énergie cinétique que possède le énième nucléon dans un gaz de Fermi. Par défaut, le premier palier correspond à une particule sans impulsion, qui n'a que de l'énergie potentielle. Mais les niveaux au-dessus ne sont pas dans ce cas. En effet, le potentiel est le même dans tous le gaz, ce qui fait que l'énergie potentielle est la même pour toutes les particules. L'énergie de Fermi pour chaque palier ne peut être qu'une énergie cinétique. Aussi paradoxal que cela puisse paraitre, les particules d'un gaz de Fermi bougent quand même au zéro absolu ! On peut calculer l'impulsion de la énième particule en utilisant la formule de l'énergie cinétique, ce qui donne l''''impulsion de Fermi''' :
▲: <math>p_F(A) = \sqrt{2 m E_F(A)}</math>
▲La vitesse qui correspond à cette impulsion, la '''vitesse de Fermi'''', vaut :
▲: <math>v_F(A) = \sqrt{p_F(A)}{m} = \frac{\sqrt{2 m E_F(A)}}{m}</math>
▲On peut aussi définir la température de Fermi, qui vaut :
▲: <math>T_F(A) = \frac{E_F(A)}{k_B}</math>
▲Là encore, on peut calculer l'impulsion moyenne par nucléon, qui est égale à approximativement :
▲: <math>p_{moyenne}(A) = \frac{3}{4} p_F(A)</math>
Le modèle achoppe sur certains points. Déjà, les paliers ne sont pas les mêmes pour les protons et les neutrons, alors que le modèle prédit le contraire. Le fait est que le potentiel est supposé le même pour les protons et neutrons, ce qui n'est pas le cas. Les protons sont soumis à l'interaction électrostatique et subissent donc un potentiel plus important que les neutrons.
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