« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions
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Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.
=== Les
Soit un système <math>S</math> dont l'espace des états est <math>\R</math> et <math>F</math> son flot, c'est à dire une fonction de <math>\R</math> dans <math>\R</math>
Les points d'équilibre de <math>S</math> sont les points <math>x</math> tels que <math>F(x)=0</math>
Soit <math>dF</math> la différentielle de <math>F</math> en un point d'équilibre <math>x_0</math>
<math>dF(dx)=F'(x_0)dx</math>
Si on pose <math>\Delta x=x-x_0</math> on a
<math>(\Delta x)'=x'=F(x)=F(x_0+\Delta x) \approx F(x_0) + dF(\Delta x) = F'(x_0) \Delta x</math>
quand <math>\Delta x</math> n'est pas trop grand.
On est donc conduit à l'équation différentielle <math>x'=F'(x_0) x</math>
Sa solution générale est <math>x(t)=x(0) e^{F'(x_0)t}</math>
C'est une croissance exponentielle quand <math>F'(x_0)>0</math> et une décroissance exponentielle quand <math>F'(x_0)<0</math>
Si <math>F'(x_0)>0</math> un écart <math>\Delta x</math> à l'équilibre varie en grandissant, le point <math>x_0</math> est donc un équilibre instable.
Si <math>F'(x_0)<0</math> un écart <math>\Delta x</math> à l'équilibre varie en diminuant, le point <math>x_0</math> est donc un équilibre stable.
=== Les oscillations harmoniques ===
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