Systèmes dynamiques et équations différentielles

(en cours d'écriture. Ce livre sera illustré par des figures et des animations en cours de réalisation.)

La théorie des systèmes dynamiques est comme une boule de cristal. C'est la science qui nous montre l'avenir et le passé à partir du présent.

Les lois du mouvementModifier

Les systèmes dynamiques à temps discretModifier

La définition d'un système dynamique à temps discret est très simple. Il suffit d'avoir un ensemble   des états du système et une fonction   de   dans  , définie sur   tout entier. Le couple   définit un système dynamique   à temps discret.   est aussi appelé l'espace des états de   et   détermine sa loi du mouvement : si   est dans l'état   à l'instant   alors il sera dans l'état   à l'instant  

La connaissance de   et de l'état présent   de   suffit pour déterminer complètement tous ses états ultérieurs, donc tout son avenir :   et plus généralement   pour tout entier  .

Pour connaître le passé à partir du présent il faut que la fonction   soit inversible, c'est à dire qu'elle admette une fonction inverse   telle que   si et seulement si  

On a alors :

  et plus généralement   pour tout  

Posons par définition   et  

Lorsque   est inversible, on a donc pour tout entier   positif, négatif ou nul  

La connaissance de   et de l'état présent   du système suffit donc pour déterminer complètement son mouvement, depuis l'infini dans le passé jusqu'à l'infini dans l'avenir.

La trajectoire du système est l'ensemble des états par lesquels il passe, c'est l'ensemble des   pour tous les   éléments de   égal à    est l'ensemble de tous les entiers.

La suite doublement infinie des états   pour tout entier   détermine le mouvement complet du système. Elle est comme une partition écrite d'avance et le mouvement du système est sa musique. On l'appelle la trajectoire paramétrée par le temps du système. C'est une fonction   de   (le temps discret) dans l'espace   des états du système.

La connaissance de   et de l'état présent   du système suffit pour déterminer sa trajectoire paramétrée par le temps :   pour tout  

Pour les systèmes dynamiques à temps discret, le temps, c'est à dire l'ensemble des instants, est représenté par l'ensemble   de tous les entiers. C'est bien sûr une représentation du temps très artificielle, mais elle s'impose assez naturellement pour certains systèmes dont les états sont repérés tous les ans, ou tous les mois, ou tous les jours. Si par exemple on étudie les variations d'une population animale qui a une période annuelle de reproduction au printemps, il peut suffire de la compter chaque année juste avant la période de reproduction.

La suite montrera que les systèmes dynamiques à temps continu peuvent toujours être étudiés à partir de systèmes à temps discret qui les représentent. C'est pourquoi les systèmes à temps discret, malgré le caractère artificiel de leur représentation du temps, sont fondamentaux pour toute la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations différentielles ordinairesModifier

Les équations différentielles ordinaires permettent de définir les systèmes dynamiques à temps continu les plus élémentaires, c'est à dire ceux dont les états peuvent être déterminés par un nombre fini de nombres réels.

Pour les systèmes dynamiques à temps continu, le temps est représenté naturellement par l'ensemble   de tous les nombres réels. Il suffit de choisir un instant initial, daté par le nombre  , et une unité de temps, la seconde ou l'année par exemple, pour que tous les instants du temps soient chacun datés par un unique nombre réel.

Si   est un entier, un n-uplet de nombres réels est une suite finie   de   nombres réels.

Un 1-uplet de nombres réels est simplement un nombre réel  

Un 2-uplet est un couple  

Un 3-uplet est un triplet  

L'ensemble de tous les n-uplets de nombres réels est appelé  

Les équations différentielles ordinaires sont les lois du mouvement des systèmes dynamiques à temps continu dont les états sont représentés par des éléments de  

Elles déterminent pour chaque état d'un système les vitesses de variation des grandeurs qui le définissent :

  •   est le cas le plus simple. Le mouvement d'un système   est alors représenté par une fonction   de   (le temps) dans   (l'espace des états). On suppose que   est une fonction partout dérivable, c'est à dire que sa dérivée   autrement dit sa vitesse instantanée de variation, est définie pour tout  
Pour définir la loi du mouvement de   on a besoin d'une fonction   de   dans   qui détermine   à partir de  
 
C'est une équation différentielle ordinaire. On l'appelle la loi du mouvement de  
Par exemple, si  , on obtient   ou plus simplement  
C'est l'une des équations différentielles ordinaires les plus simples. Elle est la loi d'une croissance exponentielle.
  • Pour   le mouvement d'un système   est représenté par une fonction   de   (le temps) dans   (l'espace des états). Une telle fonction peut toujours être définie par deux fonctions   et   de   dans   :  
On suppose que   et   sont toutes les deux partout dérivables.
Pour définir la loi du mouvement de   on a besoin de deux fonctions   et   de   dans   qui déterminent   et   à partir de   et  
 
 
Ces deux équations forment un système d'équations différentielles ordinaires. Ensemble elles définissent la loi du mouvement de  
Par exemple, si   et   on obtient :
 
 
ou plus simplement :
 
 
  est une constante positive.
Ce système d'équations différentielles ordinaires est la loi du mouvement d'un oscillateur harmonique.
  • Dans le cas général, le mouvement d'un système   est décrit par une fonction de   dans   donc par   fonctions   de   dans  
  représente l'état du système à l'instant  
Pour définir la loi du mouvement, on a besoin de   fonctions   de   dans   et d'un système de   équations différentielles ordinaires :
 
 
 
 
Pour simplifier les notations, on note :
 
 
 
Le système de   équations différentielles ordinaires peut alors être écrit avec une seule équation :
 
  est une fonction de   dans  

Les solutions des systèmes d'équations différentielles ordinairesModifier

Les inconnues d'une équation sont en général des nombres. Les solutions de l'équation sont alors tous les nombres pour lesquels elle est vraie. Les inconnues d'un système de   équations différentielles ordinaires sont des fonctions de   dans  . Les solutions d'un système de   équations différentielles ordinaires sont toutes les fonction de   dans   pour lesquelles les équations différentielles sont vraies.

Les solutions d'un système d'équations différentielles ordinaires sont les trajectoires paramétrées par le temps d'un système dynamique dont il est la loi du mouvement. Ce sont des fonctions   de   (le temps) dans l'espace   des états.

La recherche de solutions par intégrationModifier

Si on connaît l'état initial   d'un système   et sa loi du mouvement

 

on peut calculer approximativement son mouvement en procédant par étapes successives.

On choisit un intervalle de temps   petit. Petit veut dire ici que la vitesse   ne doit pas varier de façon appréciable pendant une si courte durée.

On calcule d'abord   à partir de  

 

De façon générale on calcule   à partir de  

 

Si on choisit   suffisamment petit, la trajectoire peut être ainsi calculée avec une grande précision.

Soit   et posons    est un entier assez grand.

Si quand   tend vers l'infini, donc quand   tend vers zéro, la somme des   pour tous les    est un entier et   telle qu'elle est calculée approximativement ci-dessus, tend vers une limite, on s'attend à ce que cette limite soit l'intégrale entre   et   de    est une fonction de   dans   telle que  

Quand on a trouvé une solution   d'un système d'équations différentielles, on dit qu'on a intégré le système. On a alors :

 

Pour trouver les solutions des équations différentielles ordinaires, il n'est en général pas suffisant de connaître des primitives, parce que la fonction   n'est pas connue d'avance, on sait seulement qu'elle est telle que   mais   est inconnue.

Les systèmes de points matérielsModifier

La position d'un point matériel dans un espace à d dimensions est repérée par d nombres réels, donc par un élément de   (en général d=1, 2 ou 3). Mais la position ne suffit pas pour déterminer l'état instantané du point. Il faut aussi prendre en compte sa vitesse, donc d nombres réels supplémentaires. Faut-il aussi prendre en compte son accélération pour déterminer son état instantané ? Non, parce que l'accélération n'est pas indépendante de la position et de la vitesse. Dès qu'on connaît les positions et les vitesses de tous les points matériels d'un système, on connaît les forces qu'ils exercent les uns sur les autres et donc leurs accélérations. On en conclut que 2d coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un point matériel dans un espace à d dimensions et que 2nd coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions :

L'espace des états d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions est  

Soit   le vecteur position du  -ème point d'un système de   points matériels et   son vecteur vitesse. L'état du système est déterminé par les   vecteurs :

 

Sa loi du mouvement est déterminée par les équations différentielles :

 

 

pour tous les   de   à  

  est une fonction de   dans   qui détermine l'accélération du  -ème point matériel.

Et si la loi du mouvement varie ?Modifier

Pour que la loi du mouvement ne varie pas, il faut que le système soit isolé, ou qu'il soit placé dans des conditions extérieures constantes, ou qu'il ne soit pas affecté par les variations extérieures. Si l'environnement varie et s'il influence le système étudié, il n'y a pas de raison que la loi du mouvement soit constante.

Si le système et son environnement interagissent, il faut les considérer comme deux parties d'un système plus complet et étudier leur dynamique commune. Mais si l'environnement agit sur le système étudié sans être affecté par lui en retour, ses variations peuvent être connues d'avance. On est alors conduit à étudier une dynamique dépendante du temps, c'est à dire dépendante des variations prévues de l'environnement. Dans ce cas, la loi du mouvement est définie avec une fonction   de   dans  

 

  représente le temps.

Une dynamique dépendante du temps peut toujours être redéfinie comme une dynamique indépendante du temps. Il suffit d'agrandir l'espace des états   en ajoutant une nouvelle variable   pour laquelle on impose   quel que soit  

La fonction   de   dans   définie par

 

représente la même dynamique que   mais elle est indépendante du temps. La nouvelle variable   mesure le passage du temps. Elle sert à incorporer la mesure du temps à l'intérieur du système.

Déterminisme et lois de causalitéModifier

Une loi de causalité, ou loi de cause à effet, est de la forme : si les causes C sont réunies alors les effets D se produiront.

Une loi du mouvement, ou loi dynamique, peut avoir une forme à temps discret : si le système est dans l'état   à l'instant   alors il sera dans l'état   à l'instant  ,

ou une forme à temps continu : si le système est dans l'état   à l'instant   alors sa vitesse   à cet instant est  

Les lois du mouvement sont un cas particulier des lois de causalité. La cause C est l'état initial   du système et l'effet D son état ultérieur   ou sa vitesse  

Les lois de causalité sont des lois déterministes au sens où les effets sont déterminés par les causes, mais la théorie des système dynamiques définit le déterminisme en un sens plus fort : tous les états ultérieurs du système doivent être déterminés par son état présent, et même ses états antérieurs, lorsque sa dynamique est inversible.

Un système dynamique est déterministe au sens fort où sa trajectoire paramétrée par le temps est déterminée par son état présent.

Le déterminisme des systèmes dynamiques permet de justifier le déterminisme des lois de causalité. Pour justifier la loi qui enchaîne les effets D aux causes C, il suffit de prouver que pour toutes les trajectoires paramétrées par le temps pour lesquelles les causes C se produisent, les effets D se produisent également.

Prédiction dynamique et prédiction causaleModifier

Pour faire une prédiction dynamique, il faut connaître avec précision l'état présent du système et sa loi du mouvement. Il suffit alors d'itérer les équations du mouvement, lorsque le temps est discret, ou de les intégrer, lorsque le temps est continu, pour prédire les états ultérieurs du système. Mais en général les systèmes sont trop complexes pour que leurs états présents et leurs lois du mouvement soient connus avec précision.

Pour faire une prédiction causale, il suffit de connaître des causes présentes et des lois de causalité qui permettent d'enchaîner des effets à ces causes. Il n'est pas nécessaire de calculer avec précision tous les états de système, il suffit de raisonner logiquement sur les causes et les effets qui nous intéressent.

La prédiction causale est beaucoup mieux adaptée à notre ignorance des réalités complexes. Elle est d'un usage beaucoup plus souple que la prédiction dynamique. On ne cherche pas à connaître la réalité avec précision ou dans tous ses détails. On se concentre sur un petit nombre de causes et d'effets qui semblent importants.

La prédiction causale est d'usage général, tandis que les applications de la prédiction dynamique sont beaucoup plus limitées. Mais la prédiction dynamique est quand même plus fondamentale, parce qu'elle sert, au moins en principe, à justifier la prédiction causale.


Compléments mathématiquesModifier

Les flotsModifier

Un flot   dans   est une fonction de   dans   suffisamment régulière (continue, dérivable...).

On peut le considérer comme un champ de vecteurs : à chaque point   de   est attaché le vecteur  


 


Tous ces vecteurs peuvent être considérés comme les vitesses d'un fluide. Le champ de vecteurs représente ainsi l'écoulement d'un fluide dans   (pour que ce soit un vrai fluide, il faut bien sûr n=3). C'est pourquoi on peut l'appeler un flot.

Un flot   dans   détermine un système dynamique : son espace des états est   et sa loi du mouvement est  

Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas :


 


Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.

Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états. On peut la représenter en dessinant une suite de petites flèches sur une ligne de courant, séparées par des intervalles de temps réguliers, comme si le Petit Poucet les avaient tracées derrière lui :


 


Mais l'une des représentations les plus riches d'enseignements est tout simplement de montrer le mouvement de ce fluide mathématique :

 

Les applications linéaires de   dans  Modifier

  • Les applications linéaires de   dans   sont toutes les fonctions de   dans   définies par   
Elles sont représentées dans   par des droites qui passent par l'origine. Toutes les droites qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf l'axe vertical.
  • Les applications linéaires de   dans   sont toutes les fonctions de   dans   définies par   
Elles sont représentées dans   par des plans qui passent par l'origine. Tous les plans qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf s'ils sont verticaux.
  • Les applications linéaires de   dans   sont toutes les fonctions de   dans   définies par   
  •   applications linéaires   de   dans   pour   de   à   définissent une application linéaire   de   dans   si on pose  
On peut définir   avec la matrice   des coefficients   qui déterminent les  
 
 

Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de   dans   présentées un peu plus loin, sont des applications linéaires de   dans  

Les dérivées partielles d'une fonction de   dans  Modifier

Pour une fonction   de   dans   il y a une seule direction de variation pour la variable qui permet de mesurer la différence entre   et  . En chaque point   il y a donc un seul nombre dérivé  

Pour une fonction   de   dans  , il y a deux directions de variations, une pour chaque variable. On peut calculer :

 

et

 

On peut donc calculer deux nombres dérivés, que l'on note   (lire "dé rond f sur dé rond x en x y") et  

 

 

On les appelle les dérivées partielles de   au point  

Pour une fonction   de   dans   on peut calculer   nombres dérivés, donc autant de dérivées partielles :

 

pour   de   à  

Les différentielles d'une fonction de   dans  Modifier

  • La différentielle   d'une fonction   de   dans   au point   est l'application linéaire de   dans   qui s'approche le plus de la variation de   au voisinage de  
Pour tout  
Lorsque   est assez petit  
Pour ne pas alourdir la notation, on ne précise pas que   dépend du point   où on dérive  
La tangente à la courbe qui représente   au point d'abscisse   est représentée par la fonction qui à   associe  
  • La différentielle   d'une fonction   de   dans   au point   est l'application linéaire de   dans   qui s'approche le plus de la variation de   au voisinage de  
Pour tous les  
Comme   dépend implicitement du point   où on dérive on note plus simplement :
 
ou même :
 
Lorsque   et   sont assez petits  
Le plan tangent à la surface qui représente   au point à la verticale de   est représenté par la fonction qui à   associe  
  • La différentielle   d'une fonction   de   dans   au point   est l'application linéaire de   dans   qui s'approche le plus de la variation de   au voisinage de  
Pour tous les  
Lorsque les   sont assez petits  
  • La différentielle   d'une fonction   de   dans   au point   est l'application linéaire de   dans   qui s'approche le plus de la variation de   au voisinage de  
Soit   une fonction de   dans   définie par   où les   sont   fonctions de   dans  
Alors
 

L'existence et l'unicité d'une solution d'un système d'équations différentielles ordinairesModifier

Les mouvements au voisinage d'un équilibreModifier

Un flot est presque linéaire au voisinage d'un équilibreModifier

Soit   le flot dans   d'un système dynamique  

Les points d'équilibre de   sont les points de   où il est immobile  

Comme   les points d'équilibre de   sont les points   où son flot s'annule :

 

Au voisinage d'un point d'équilibre  , le flot   est peu différent de sa différentielle   en ce point :

 

si   est assez petit.

La différentielle de   en   est une fonction de   dans  , elle est donc aussi un flot. Mais c'est un flot en général plus facile à étudier que   parce qu'il est défini par une application linéaire de   dans  

Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.

Les équilibres dans un espace d'états à une dimensionModifier

Soit un système   dont l'espace des états est   et   son flot, c'est à dire une fonction de   dans  

Les points d'équilibre de   sont les points   tels que  

Soit   la différentielle de   en un point d'équilibre  

 

Soit   une fonction de   dans   qui représente une trajectoire paramétrée par le temps, donc   quel que soit  

Si on pose   on a

 

quand   n'est pas trop grand.

On est donc conduit à l'équation différentielle  

Sa solution générale est  

C'est une croissance exponentielle quand   et une décroissance exponentielle quand  

Si   un écart   à l'équilibre varie en grandissant, le point   est donc un équilibre instable.

Si   un écart   à l'équilibre varie en diminuant, le point   est donc un équilibre stable.

Si   on ne peut pas conclure. Il faut étudier   plus précisément. La différentielle   ne suffit pas pour caractériser le point d'équilibre.

Voici deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre stable :


 


Et deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre instable :


 

Les oscillations harmoniquesModifier

Soit   le flot dans   défini par    est une constante positive.

  définit le système d'équations différentielles  

 

 

  est un flot linéaire et son unique point d'équilibre est  

Ce flot peut être représenté par un champ de vecteurs :



La solution générale du système d'équations différentielles défini par   est

 

 

On peut représenter ces solutions par des trajectoires paramétrées :



ou par un fluide en mouvement :

Les équilibres dans un espace d'états à deux dimensionsModifier

Les équilibres dans un espace d'états à n dimensionsModifier

Les attracteursModifier

Les mouvements chaotiquesModifier

 

 

Catastrophes et bifurcationsModifier

Les milieux continusModifier

L'espace de états et les trajectoires d'un milieu continuModifier

Les lois du mouvement d'un milieu continu sont des équations aux dérivées partiellesModifier

Le déterminisme des mouvements aléatoiresModifier

BibliographieModifier