« Formulaire de mécanique » : différence entre les versions

(→‎Oscillateur : TeX 3)
 
=== Oscillateur [[harmonique]] (sans amortissement) ===
[[Equation différentielle]] de la forme : <math> \frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+\omega_0^2x=0</math>
 
*[[Équation différentielle]] de la forme :
[[Pulsation]] propre : <math>\omega_0=</math> ; [[Période]] propre: <math>T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}</math>
[[Equation différentielle]] de la forme *: <math> \frac{\text{d}^2 xu}{\text{d} t^2}+\omega_0^2x2 u=0</math>.
* [[Pulsation]] propre :
*:<math>\omega_0=\frac{k}{m}</math>
*[[Période]] propre:
[[Pulsation]] propre *: <math>\omega_0=</math> ; [[Période]] propre: <math>T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}</math>
* Solution sous la forme :
Solution sous la forme*: <math>xu(t)=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t)</math>.
Les constantes ''A'' et ''B'' sont déterminées par les conditions initiales.
 
=== Oscillateur avec facteur d'[[amortissement]] ''λ'' ===
Solution sous la forme: <math>x(t)=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t)</math>
 
* [[Équation différentielle]] de la forme :
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
*:<math>\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0 </math>
 
* Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] :
 
=== Oscillateur avec facteur d'[[amortissement]] *:<math>\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)</math> ===
[[Equation différentielle]] de la forme :** <math>\frac{\text{d}^2Delta<0</math>, x}{\text{d}soit t^2}+2<math>\lambda\frac{\text{d} x}{\text{d} t}+<\omega_0^2x=0 </math>, alors
**:<math>x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]</math> (régime pseudo-périodique)
 
::Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math>
Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] :
<math>\ast</math> si **<math>\Delta=0</math>, soit <math>\lambda=\omega_0</math>, alors <math>x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}</math> (régime critique)
 
**:<math>\Deltax(t)=4(\lambdaAt+B)e^2{-\omega_0^2)lambda t}</math> (régime critique)
**<math>\Delta>0</math>, soit <math>\lambda>\omega_0</math>, alors
 
<math>\ast</math> si <math>\Delta<0</math> soit <math>\lambda<\omega_0</math>, alors **:<math>x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\left[A sqrt{\cos(lambda^2-\Omega omega_0^2}.t)}+B Be^{-\sin(sqrt{\Omega lambda^2-\omega_0^2}.t})\right]</math> (régime pseudo-périodiqueapériodique)
*Dans chaque cas, les constantes ''A'' et ''B'' sont déterminées par les conditions initiales.
 
Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math>
 
<math>\ast</math> si <math>\Delta=0</math> soit <math>\lambda=\omega_0</math>, alors <math>x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}</math> (régime critique)
 
<math>\ast</math> si <math>\Delta>0</math> soit <math>\lambda>\omega_0</math>, alors <math>x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})</math> (régime apériodique)
 
Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
 
== Liens internes ==
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