« Formulaire de mécanique » : différence entre les versions
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→Aspect énergétique : TeX 2 |
→Oscillateur : TeX 3 |
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Ligne 123 :
=== Oscillateur [[harmonique]] (sans amortissement) ===
[[Equation différentielle]] de la forme : <math> \frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2}+\omega_0^2x=0</math>▼
*[[Équation différentielle]] de la forme :
[[Pulsation]] propre : <math>\omega_0=</math> ; [[Période]] propre: <math>T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}</math>▼
▲
* [[Pulsation]] propre :
*:<math>\omega_0=\frac{k}{m}</math>
*[[Période]] propre:
▲
* Solution sous la forme :
Les constantes ''A'' et ''B'' sont déterminées par les conditions initiales.▼
=== Oscillateur avec facteur d'[[amortissement]] ''λ'' ===
▲Solution sous la forme: <math>x(t)=A \cos(\omega_0 t)+B \sin(\omega_0 t)</math>
* [[Équation différentielle]] de la forme :
▲Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
*:<math>\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0 </math>
* Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] :▼
**:<math>x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]</math> (régime pseudo-périodique)
::Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math>▼
▲Trois cas selon la valeur du [[discriminant]] de l'[[équation caractéristique]] :
**:<math>
**<math>\Delta>0</math>, soit <math>\lambda>\omega_0</math>, alors
*Dans chaque cas, les constantes ''A'' et ''B'' sont déterminées par les conditions initiales.▼
▲Pseudo-pulsation : <math>\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}</math> ; Pseudo-période : <math>T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}</math>
▲<math>\ast</math> si <math>\Delta=0</math> soit <math>\lambda=\omega_0</math>, alors <math>x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}</math> (régime critique)
▲Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
== Liens internes ==
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