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La causalité dans ce cas implique les relations de dispersion dites de Bayard-Bode , identiques à celles de Kramers-Kronig en électromagnétisme .
 
Une page spéciale y est consacrée ( elle est plus complète que celle intitulée : Relation de Dispersion.): cette page considérée comme page-volante est "rapatriée" ici, ci-dessous :
 
Électrocinétique/Relation de causalité de Bayard-Bode :
 
 
 
*En [[Électrocinétique]] des filtres linéaires permanents, la '''causalité''' implique, sur la fonction de transfert G, complexe, analytique - c'est à dire que G(<math>\omega</math>) = G*(<math>-\omega</math>), des relations entre sa partie réelle R (paire)et sa partie imaginaire X (impaire), appelées : relations de '''Bayard-Bode'''(1945):
 
 
*<math>\frac{\pi}{2}\cdot [R(\omega)- R(\infty)] = - \int_0^{\infty}dw \cdot \frac {w \cdot X(w)- \omega \cdot X(\omega)}{w^2- \omega^2}</math>
[[Média:Exemple.ogg]]
 
*<math>\frac{\pi}{2}\cdot [\frac{X(\omega)}{\omega}- 0] = + \int_0^{\infty}dw \cdot \frac { R(w)- R(\omega)}{w^2- \omega^2}</math>
 
*En [[Optique]], le même genre de relations s'appellent : relations de '''Kramers-Kronig'''(1926) : si il y a dispersion, alors il y a absorption.
*En Physique théorique, la théorie de la '''matrice S''' ( S pour scattering) reprend ce thème.
 
===Définition d'un filtre linéaire permanent ===
 
Un système de transmission électrique transforme un signal d'entrée réel e(t) en un signal de sortie réel s(t).
Il est appelé filtre linéaire si la relation s(t) = L e(t) est linéaire :
 
* e(t) et s(t) peuvent être considérés comme éléments d'un espace_vectoriel (sur R )
*L(e1 + e2) = L(e1) + L(e2)
*L( k.e) = k. L(e)
 
Les physiciens appellent souvent cette définition : "principe de superposition" ( d' Helmholtz).Et L est appelé opérateur linéaire de l'espace des e(t) vers l'espace des s(t).
 
¤¤¤
 
Le système est dit '''permanent''' si il est invariant par choix de la date de départ :
 
si à e(t) correspond s(t) , alors à e(t-to) correspond s(t-to).
Appelons l'opération de translation temporelle T(to)== T , on a donc :
L[T(e(t))]= L(e(t-to)) = s(t-to) = T(s(t)) = T[L(e(t))] pour tout e(t) :soit L.T = T.L
 
on dit que l'opérateur L et le groupe des opérateurs T(to) commutent.
 
===Rôle des entrées sinusoïdales===
Un signal réel sinusoidal d'amplitude A , de pulsation <math>\omega</math>, <math>E(t) = A cos(\omega t + \phi)= Re ( A e^{i\phi}\cdot e^{i \omega t})</math> est dit d'amplitude complexe E = A exp i <math>\phi</math>.
Ces signaux jouent un rôle très important à cause du théorème de Fourier : tout signal périodique peut se décomposer en une SOMME de signaux sinusoidaux des harmoniques de la pulsation .
 
On raisonne désormais avec les amplitudes complexes de signaux de pulsation <math>\omega</math>
 
===Fonction de Transfert G(<math>\omega</math>)===
 
Considérons donc les fonctions <math>E(t) = A e^{i\phi}\cdot e^{i \omega t}</math>, dites de pulsation <math>\omega</math>
 
La propriété capitale de l'exponentielle est que :
E(t-t2) = T(t2)E(t) = exp(-i <math>\omega t_2</math>). E(t) = [E(-t2)].E(t) !
 
Autrement dit, les fonctions E(t) sont fonctions propres des opérateurs T(to)avec pour valeur propre E(-to).
Comme L et le groupe T(to) commute , on se doute que E(t) sera fonction propre de L . En effet,
 
S(t + t2) = L ( E(t+t2)) = E(t) . L(E(t2) : gardant t2 fixe , on voit que S(t) est donc fonction sinusoïdale proportionnelle à E(t) au coefficient L(E(t2)) pris en t2=0 , appelé G(<math>\omega</math>)
 
Soit encore : S(t) == L ( E(t) ) = G(<math>\omega</math>). E(t)
 
'''G(<math>\omega)</math>''' s'appelle la '''fonction de transfert complexe'''.
 
'''Pour des raisons de causalité , elle va jouir de propriétés particulières, ce qui est l'objet de l'article'''.
 
===Un exemple simple, le filtre passe-bas RC ===
 
l'équation s(t) = L e(t) est celle du "potentiomètre R et 1/Cp " soit :
RC s'(t) + s(t) = e(t).
 
Soit avec les fonctions E(t) et S(t) :
 
[RC i<math>\omega</math> + 1 ]S(t) = E(t)
 
soit <math>G(\omega) = \frac{1 }{1 + RCp }</math> en notant p == i<math>\omega</math>
 
{Remarque sur la notation : certains auteurs préfèrent noter G(p)==G( i<math>\omega</math>), ceci étant souvent lié à la notation utilisée en [[Automatique]] et à la Transformée de Laplace ; ici on essaiera de travailler avec la Transformée de Fourier, plus accessible à ceux qui connaissent mal la théorie des fonctions analytiques}.
 
|G|^2 s'appelle spectre de puissance ; |G| spectre d'amplitude ; arg G = déphasage : tracées en diagramme log-log , les graphes s'appellent diagrammes de Bode du filtre.(tracer les figures)
 
Dans le cas précis , on voit qu'aux hautes fréquences |G| est tout petit (et phi = -Pi/2) ; aux basses fréquences , G est voisin de 1 : le circuit est dit passe-bas . On peut même aux basses fréquences introduire une petite remarque supplémentaire : 1/(1+ RCp) =~ 1- RCp , c'à d que à e(t) correspond une sortie s(t) voisine de e(t-RC) : le circuit se comporte comme un fidèle transducteur du signal d'entrée, '''MAIS avec un léger retard RC'''.
 
*la '''causalité''' :
Elle implique "raisonnablement" que le signal de sortie s(t) ne puisse pas "précéder" l'entrée e(t). Pour être plus précis, appelons Y(t) la fonction de Heaviside : nulle pour t négatif, égale à 1 pour t positif ( en réalité exp-t/<math>\tau</math>, mais avec <math>\tau </math> immensément grand devant les échelles de temps t à considérer ).
 
*On ne considèrera que les systèmes d'entrée "à support positif" : ''' e(t) = Y(t).e(t)'''.
*causalité-électrocinétique veut dire : si ''' e(t) = Y(t).e(t)''', alors '''s(t) = Y(t).s(t)'''
*On ne veut pas entrer ici dans des discussions philosophiques sur la causalité en philosophie. La causalité-électrocinétique est ici simplement un '''mot''' pour traduire l'implication-mathématique précédente (que sa véracité soit contredite expérimentalement est un autre problème).
====Vérification des relations de Bayard-Bode====
Afin de nous préparer aux calculs ultérieurs, vérifions ici les deux relations de Bayard-Bode :
 
Appelons R(<math>\omega</math>) + i X(<math>\omega</math> = G(<math>\omega</math>), les parties réelle et imaginaire
 
Les relations lient de manière non locale en fréquence , les variations de R et de X :
 
*<math>\frac{\pi}{2}\cdot [R(\omega)- R(\infty)] = - \int_0^{\infty}dw \cdot \frac {w \cdot X(w)- \omega \cdot X(\omega)}{w^2- \omega^2}</math>
[[Média:Exemple.ogg]]
 
*<math>\frac{\pi}{2}\cdot [\frac{X(\omega)}{\omega}- 0] = + \int_0^{\infty}dw \cdot \frac { R(w)- R(\omega)}{w^2- \omega^2}</math>
 
Nous démontrerons ces formules un peu plus loin ; remarquons simplement ici l'HOMOGENEITE et le fait que R est paire et X est impaire.
 
'''Vérifions''' la seconde dans le cas présent : R = 1/D avec D(<math>\omega</math>) = 1 + (RC<math>\omega</math>)^2 et X = -RC<math>\omega</math>/D
Donc l'intégrandum vaut après simplification : - 1/D(w) . 1/D(<math>\omega</math>) et l'intégrale de 1/D(w) donne bien : RC. <math>\pi</math>/2.
 
On laisse au lecteur la vérification de la première égalité de Bayard-Bode.
 
====Autre écriture des relations de Bayard-Bode====
 
Souvent en électrocinétique, on préfère travailler avec l'amplitude et la phase . On raisonne alors sur Ln G = Ln A +i <math>\phi</math>.
 
On obtient alors, par exemple, <math>\phi(\omega)</math> en fonction de (Ln A) via la formule :
 
<math> \phi(\omega) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dA(w)}{A(w)} \cdot Ln | \frac{w+\omega}{w-\omega}|</math>
 
===Bibliographie===
*Jackson : Electrodynamique classique, Dunod(2001)
*Bode : Network analysis and feedback Amplifier, VanNostrand ( 1945).
*Arnal : signaux et circuits, Dunod(1970)
*Hassani : mathematical physics , Springer (2000)
*Greiner : Classical electrodynamics,p393 , Springer (1998)
 
=Faire-part=
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