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'''Solution'''
WeNous aimvoulons to findtrouver <math>\overrightarrow{x}\,</math> andet &<math>\lambda;\,</math> suchtel thatque
:A<math>A \overrightarrow{x}</math> = &\lambda;<math> \overrightarrow{x}\,</math>
nous effectuons
we proceed
:<math>
\begin{pmatrix}
</math> (**)
:<math>det(A - &\lambda; I) =\,</math>
:<math>0 = (-4 - &\lambda;)(7 - &\lambda;) + 30\,</math>
:<math>0 = -28 - 3&\lambda; + &\lambda;<sup>^2</sup> + 30\,</math>
:<math>0 = &\lambda;<sup>^2</sup> - 3&\lambda; + 2\,</math>
:<math>0 = (&\lambda; - 1)(&\lambda; - 2)\,</math>
:&<math>\lambda; = 1, 2\,</math>
Maintenant, pour chaque valeur propre, nous obtiendrons un vecteur propre correspondant différent. Donc, nous considérons le cas <math>\lambda = 1\,</math> et <math>\lambda = 2\,</math> séparément.
Now for each eigenvalue we will get a different corresponding eigenvector. So we consider the case λ = 1 and λ = 2 separately.
ConsiderConsidérons firstd'abord &<math>\lambda; = 1\,</math>, à partir fromde (**) wenous getobtenons
:<math>
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
sincepuisque <math>det(A - &\lambda; I) = 0\,</math>, wenous knowsavons thatqu'il theren'y isa nopas une solution ''unique'' solutionà tola thequestion above equationci-dessus. ButMais nous wenotons noteque that:
:<math>x =
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
forpour anytout realnombre numberréel ''t'' isest aune solution, andet wenous choosechoisissons t = 1 aspour ournotre solution becauseparceque itc'sest thele simpliestplus simple. ThereforePar conséquent
:<math>x =
\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
isest thele eigenvectorvecteur correspondingpropre tocorrespondant &à <math>\lambda; = 1\,</math>. (***)
Similarly, if λ = 2, from (**) we get
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