Approfondissements de lycée/Matrices

Approfondissements de lycée

IntroductionModifier

En mathématiques, une matrice n'est pas une simulation informatique géante - à la place (et plus utilement) c'est un tableau de nombres. La théorie des matrices nous aide à résoudre des systèmes d'équations d'une manière relativement facile. Par exemple, le système d'équations :

 
 

possède la solution x = 7 et y = 3. C'est très facile à résoudre. Mais avez-vous essayé de résoudre un système d'équations à quatre variables ? C.a.d.

 

Ce simple problème prendra, à une personne douée en arithmétique, un long moment pour le résoudre en utilisant les substitutions et les éliminations. La théorie des matrices nous fournit, avec des algorithmes pour résoudre ces systèmes d'équations, une manière de déterminer rapidement si une solution unique existe.

Les matrices sont très compactes et commodes pour la représentation sur papier; l'équation matricielle correspondante au problème ci-dessus donne :

 

Les ordinateurs sont très doués avec les tableaux de nombres. En représentant les systèmes d'équations comme des matrices, cela les rend réellement plus facile à calculer.

Exemples de matricesModifier

Les exemples qui suivent sont toutes des matrices :

       

Maintenant, nous voyons ce que signifie "une matrice est simplement un tableau de nombres". La première matrice possède 4 lignes et 4 colonnes, donc nous l'appelons une matrice 4 x 4 (4 par 4); la deuxième et la troisième possèdent chacune 4 lignes et 1 colonne, dont nous les appelons des matrices 4 x 1 (4 par 1). Comme montré ici, les matrices peuvent être de différentes tailles. Ces tailles prennent le nom de dimensions. La forme d'une matrice est le nom pour les dimensions de celle-ci (m par n, où m est le nombre de lignes et n le nombre de colonnes). Voici quelques exemples supplémentaires de matrices :

Un exemple de matrice 3 x 3 :
 
Un exemple de matrice 5 x 4 :
 
Un exemple de matrice 1 x 6 :
 

ElémentsModifier

Un élément d'une matrice est un nombre particulier à l'intérieur de la matrice, et est localisé avec une paire de nombres. C.a.d. soit la matrice suivante notée par A, où symboliquement :

 

l'entrée (2,2) de A est 5; l'entrée (1,1) de A est 1, l'entrée (3,3) de A est 9 et l'entrée (3,2) de A est 8. L'entrée (i,j) de A est généralement notée   et l'entrée (i,j) d'une matrice B est généralement notée   et ainsi de suite.

RésuméModifier

  • Une matrice est un tableau de nombres.
  • Une matrice m x n possède m lignes et n colonnes.
  • La forme d'une matrice est déterminée par son nombre de lignes et de colonnes.
  • Le (i,j)ème élément d'une matrice est localisé dans la ième ligne et la jème colonne.
  • Moyen mnémotechnique: le licol (lien passé aux chevaux) rappelle que la matrice X*Y possède X LIgnes et Y COLonnes

Addition matricielle & Multiplication par un scalaireModifier

Les matrices peuvent être ajoutées ensemble. Mais seulement celles qui ont la même forme peuvent être ajoutées. Ceci est très naturel. C.a.d.

 
 

puis

 
 

De manière similaire, les matrices peuvent être multipliées par un scalaire, un nombre ou une grandeur qui peut être décrit sans direction (c.a.d. ouest, nord), à la différence d'un vecteur (qui est aussi un type spécial de matrices). Vous n'avez pas à vous soucier des définitions ici, simplement se souvenir qu'un scalaire est un nombre.

 

dans ce cas, la valeur scalaire est 5. En général, s x A, où s est un scalaire et A un matrice, nous multiplions chaque entrée de A par s. C'est aussi simple que ça.

Multiplication matricielleModifier

Les matrices peuvent être multipliées ensemble, et la multiplication des matrices est réellement ce dont nous voulons nous occuper dans ce chapitre. Par souci de simplicité, nous nous occuperons de matrices à deux colonnes et deux lignes. Commençons avec un exemple :

 

alors

 

De manière similaire, si :

 

alors

 

Une matrice d'une seule ligne est appelée un vecteur ligne, de manière similaire, une matrice d'une seule colonne est appelée un vecteur colonne. Losque nous multiplions un vecteur ligne A, avec un vecteur colonne B, nous multiplions l'élément de la première colonne de A par l'élément de la première ligne de B et ajoutons le produit à la deuxième colonne de A et la deuxième ligne de B et ainsi de suite. Plus généralement, nous multiplions   par   (où i parcours de 1 à n, le nombre de lignes/colonnes) et ajoutons tous les produits. Symboliquement :

  (pour plus d'information sur le signe  , voir Signe de sommation)
n est le nombre de lignes/colonnes.
En mots : le produit d'un vecteur colonne et d'un vecteur ligne est la somme du produti de l'article 1,i à partir du vecteur ligne et i,1 à partir du vecteur colonne où i est à partir de 1 à la largeur/hauteur de ces vecteurs.

Note : Le produit de matrices est aussi une matrice. Le produit d'un vecteur ligne et d'un vecteur colonne est une matrice 1 x 1, et non un scalaire.

ExercicesModifier

Multiplier :

 
 
 
 
 

Multiplication de matrices non-vectoriellesModifier

Supposons  A, B et C sont des matrices. Nous multiplions la ième ligne de A avec la jème colonne de B comme si elles étaient des matrices vectorielles. Le nombre résultant est l'élément (i,j)ème de C. Symboliquement :

 

Exemple 1Modifier

Evaluer AB = C et BA = D, où

 

et

 

Solution

 
 
 
 

i.e.

 


 
 
 
 

i.e.

 

Exemple 2Modifier

Evaluer AB et BA où

 
 

Solution

 
 

Exemple 3Modifier

Evaluer AB et BA où

 
 

Solution

 
 

Exemple 4Modifier

Evaluer la multiplication suivante :

 

Solution

Noter que :

 

est une matrice 2 x 1 et

 

est une matrice 1 x 2. Donc, la multiplication a un sens et le produit devrait être une matrice 2 x 2.

 

Exemple 5Modifier

Evaluer la multiplication suivante :

 

Solution

 

Exemple 6Modifier

Evaluer la multiplication suivante :

 

Solution  

Note : La multiplication de matrices n'est généralement pas commutative, i.e. généralement  .

Matrices diagonalesModifier

Une matrice diagonale est une matrice avec des entrées égales à zéro partout excepté sur la diagonale. Multiplier les matrices diagonales est réellement très pratique, puisque vous n'avez seulement qu'à multiplier les entrées diagonales entre-elles.

Exemples

Les matrices qui suivent sont toutes diagonales  

Exemple 1  

Exemple 2  

Les exemples ci-dessus montrent que si D est une matrice diagonale alors   est très facile à calculer, tout ce que nous avons à faire est d'élever à la puissance k les entrées diagonales de la matrice. Ceci sera un fait très utile plus tard, lorsque nous apprendrons comment calculer le nème nombre de Fibonacci en utilisant les matrices.

ExercicesModifier

1. Etablir les dimensions de C

a)  
b)  

2. Evaluer. Noter svp que dans la multiplication matricielle (AB)C = A(BC) i.e. l'ordre dans lequel vous faites les multiplications ne pose pas de problème (démontré plus tard).

a)
 
b)
 

3. Exécuter les multiplications suivantes :

 
 

Que remarquez-vous ?

L'identité et les lois de multiplicationModifier

Si vous avez fait les exercices ci-dessus, vous avez remarqué que :

 

est une matrice très spéciale. Elle est appelée la matrice identité 2 x 2. Une matrice identité est une matrice carrée, dont les entrées diagonales sont toutes égales à 1 et les autres entrées égales à zéro. La matrice identité I, possède les propriétés suivantes très spéciales

  1.  
  2.  

Nous ne préciseront pas généralement la forme de l'identité parceque cela est évident dans le contexte, et dans ce chapitre, nous ne traiterons que des matrices identité 2 x 2. Dans l'ensemble des nombres réels, le nombre 1 satisfait : r x 1 = r = 1 x r, donc, il est clair que la matrice identité est analogue à "1".

Associativité et distributivité Soit A, B, et C des matrices.

L'associativité signifie

(AB)C = A(BC)

c'est à dire que l'ordre dans lequel sont multipliées les matrices n'est pas important, parce que le résultat final que vous obtenez est le même, indépendamment de l'ordre dans lequel les multiplications ont été faites.

La distributivité signifie

A(B + C) = AB + AC

et

(A + B)C = AC + BC

Note : La propriété de commutativité des nombres réels (i.e. ab = ba), ne peut pas être portée dans le monde des matrices.

Persuadez-vous vous-mêmeModifier

Pour toutes les matrices 2 x 2 A, B et C. Et I la matrice identité.

1. Persuadez-vous vous-même que dans le cas 2 x 2 :

 

et  

2. Persuadez-vous vous-même que dans le cas 2 x 2 :

 

3. Persuadez-vous vous-même que :

 

en général. Quand y a t'il AB = BA ? Nommez au moins un cas.

Noter que tout ce qu'il y a ci-dessus est vrai pour toutes les matrices (pour toute dimension/forme).

Déterminant et inversesModifier

Nous considérerons le système d'équations :

  (1)
  (2)

où a, b, c, d,   et   sont des constantes. Nous voulons déterminer les conditions nécessaires pour que (1) et (2) aient une solution unique pour x et y. Nous effectuons :

soit (1') = (1) x c
soit (2') = (2) x a

i.e.

  (1')
  (2')

Maintenant

soit (3) = (2') - (1')
  (3)

Maintenant, y peut être uniquement déterminé si et seulement si  . Donc, la condition nécessaire pour que (1) et (2) aient une unique solution dépend des quatre coefficients de x et y. Nous appelons ce nombre (ad - bc) le déterminant, parce qu'il nous indique s'il existe une unique solution pour un système d'équations à deux inconnues. En résumé

si   alors il n'existe pas de solution unique.
si   alors il existe une solution unique.

Note : Unique : si le déterminant est zéro, il ne signifie pas nécessairement qu'il n'y a pas de solutions pour ce système d'équations ! Considérons :

 
 

le système d'équation ci-dessus possède un déterminant égal à zéro, mais il existe évidemment une solution, x = y = 1. En fait il existe une infinité de solutions ! Considérons aussi :

 
 

le système d'équations ci-dessus possède un déterminant égal à zéro, et il n'existe pas de solutions.

Déterminant d'une matrice

Nous définissons le déterminant d'une matrice 2 x 2

 

est

 

Inverses

Il n'est peut-être pas très clair, à ce niveau, quel est l'usage de det(A). Mais il est intimement connecté avec l'idée d'un inverse. Considérons dans l'ensemble des nombres réels un nombre b, il possède un inverse  , i.e.  . Nous savons que   n'existe pas lorsque b = 0.

Dans le monde des matrices, une matrice A peut ou ne peut pas avoir un inverse, cela dépend de la valeur du déterminant det(A) ! Comment cela se passe ? Supposons que A (connue) possède un inverse B (i.e. AB = I = BA). Donc, nous voulons trouver B. Supposons de plus que

 

et

 

nous devons résoudre un système de quatre équations pour obtenir les valeurs de w, x, y et z en termes de a, b, c, d et det(A).

aw + by = 1
cw + dy = 0
ax + bz = 0
cx + dz = 1

il est crucial que vous essayez de résoudre les équations vous-même. La réponse requise est

 

Ici, nous supposions que A possède un inverse, mais ceci n'a pas de sens si det(A) = 0, comme nous ne pouvons pas diviser par zéro. Donc   (l'inverse de A) existe si et seulement si  .

Résumé

Si AB = BA = I, alors nous disons que B est l'inverse de A. Nous notons l'inverse de A par  . L'inverse d'une matrice 2 x 2 (si elle existe)

 

est

 

où det(A) est le déterminant de A.

Résolution de systèmes d'équationsModifier

Supposons que nous avons à résoudre :

 
 

Soit

 
 
 

Nous pouvons traduire cela en forme matricielle

 

i.e

 

Si le déterminant de A n'est pas zéro, alors nous pouvons pré-multiplier les deux côtés par  , l'inverse de A

 

i.e.

 

ce qui implique que x et y sont uniques.

ExemplesModifier

Trouver l'inverse de A, s'il existe

a)  
b)  
c)  
d)  

Solutions

a)  
b)  
c) Pas de solution, comme det(A) = 3ab - 3ab = 0
d)  

ExercicesModifier

1. Trouver le déterminant de

 . En utilisant le déterminant de A, décider s'il existe une unique solution pour le système d'équations suivant
 

2. Supposons que

C = AB

montrer que

det(C) = det(A)det(B)

pour le cas 2 x 2. Note : c'est vrai pour tous les cas

3. Montrer que si vous permutez les lignes de A pour obtenir A', alors det(A) = -det(A')

4. En utilisant le résultat de 2)

a) Démontrer que si :

 

alors det(A) = det(B)

b) Démontrer que si :

 

pour un certain entier positif k, alors det(A) = 0.

c) Supposons que

 

et

 

démontrer que vous pouvez toujours ou non trouver un entier positif m tel que

 

5. a) Calculer  , c'est à dire multiplier A par elle-même 5 fois, où

 

b) Trouver l'inverse de P où

 

c) Vérifier que

 

d) Calculer   en utilisant en partie (b) et (c).

f) Calculer  

*Relations de récurrence linéaire revisitées*Modifier

Nous avons déjà discuté des relations de récurrence linéaire dans le chapitre Dénombrement et séries de puissances. Nous les étudierons de nouveau en utilisant les matrices. Considérons les nombres de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

où chaque nombre est la somme des deux nombres précédents. Soit   le (n + 1)ème nombre de Fibonacci, nous pouvons écrire :

 

En fait, beaucoup de relations de récurrence linéaire peuvent être exprimées sous forme matricielle, c.a.d.

 
 
 

peut être exprimée comme

 

et par conséquent

 

Donc si nous savions comment calculer les puissances de matrices rapidement, alors nous pourrions extraire instantanément le (n + 1)ème nombre de Fibonacci.

Calculer les puissances rapidementModifier

Considérons

 
 
 

Quelque chose d'intéressant se passe lorsque vous multipliez A par soit   ou   (Essayez-le). En fait,

 

et

 .

Généralement pour une matrice B, si un vecteur   (la matrice avec toutes les entrées égales à zéro) telles que

 

pour un certain scalaire  , alors   est appelé un vecteur propre de B et   la valeur propre de B (correspondante à w).

Ceci est une particularité des matrices qui peut être exploitée pour calculer les puissances facilement. Ici, en utilisant A, x et y comme précédemment, nous écrivons les deux parties de l'information ensemble sous forme matricielle :

 

ou écrite complètement sous forme numérique

 

vous êtes encouragés à vérifier si cela est correct. Ce que nous avons fait, c'est la fusion de   et   en une matrice en utilisant chaque vecteur comme une colonne, puis nous l'avons multiplié par une matrice diagonale dont les entrées sont les valeurs propres de chaque vecteur propre correspondant.

Comment exploiter cette forme matricielle pour calculer les puissances de A rapidement ? Nous requérons une simple mais ingénieuse étape -- post-multiplier (i.e. multiplier à partir de la droite) les deux côtés par l'inverse de

 

Nous avons

 

Maintenant, pour calculer  , nous devons seulement faire

 
 

mais multiplier par l'inverse pour donner I, donc, nous somme avec

 

qui est très facile à calculer puisque les puissances d'une matrice diagonale sont faciles à calculer (simplement élever à la puissance chaque entrée).

Exemple 1Modifier

Calculer  A est donnée ci-dessus.

Solution Nous faisons

 
 
 

Exemple 2Modifier

Soit

 

et ses vecteurs propres sont

  et  

Calculer   directement (facultatif), et de nouveau en utilisant la méthode ci-dessus.

Solution Nous devons d'abord déterminer ses valeurs propres. Nous effectuons

 

donc la valeur propre correspondante à

 

est 1.

De manière similaire,

 

donc, l'autre valeur propre est 3.

Maintenant, nous les écrivons sous la forme :

 

maintenant, revenons à B

 

Maintenant

 
en multipliant le côté droit, nous obtenons

 

Résumé -- calculer les puissances de matrices rapidementModifier

Les vecteurs propres d'une matrice A sont donnés

  1. Calculer les valeurs propres (si elles ne sont pas données)
  2. Ecrire A sous la forme  , où D est une matrice diagonale des valeurs propres, et P les vecteurs propres en colonnes
  3. Calculer   en utilisant l'équivalence du côté droit

ExercicesModifier

1. Les vecteurs propres de

 

sont

  et  

calculer  

2. Les vecteurs propres de

 

sont

  et  

calculer  

3. Les vecteurs propres de

 

sont

  and  

calculer  

Vecteur propre et valeur propreModifier

Nous savons à partir de la section précédente que si les vecteurs propres d'une matrice sont donnés, nous pouvons trouver les valeurs propres correspondantes, et ainsi, nous pouvons calculer ses puissances rapidement. Le dernier obstacle réside dans la recherche des vecteurs propres sans savoir ce qu'ils sont.

Un vecteur propre   d'une matrice A et sa valeur propre correspondante   sont reliés par l'expression correspondante :

 

 0 est la matrice zéro (toutes les entrées sont égales à zéro). Nous pouvons assurément supposer que A est donné, donc il existe deux inconnues --   et  . Comme nous avons qu'une seule équation, nous avons besoin d'éliminer une inconnue :

 
 
 

La matrice (A -  I) NE DOIT PAS ETRE un inverse, parceque sinon   = 0. Par conséquent  . Supposons

 

alors

 
 

Maintenant, nous voyons que   est un polynôme en   et  . Nous sommes déjà bien entraînés à la résolution de polynômes quadratiques, donc il est facile d'extraire les valeurs de  . Une fois que nous avons extrait les valeurs de  , nous pouvons extraire   (voir les exemples). Si

 

pour un certain   et un certain  , alors   est appelé la valeur propre de A et   le vecteur propre de A et correspondant à  .

Exemple 1Modifier

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de

 

puis trouver D et P tel que  .

Solution

Nous voulons trouver   et   tel que

 

nous effectuons

 
  (**)
 
 
 
 
 
 

Maintenant, pour chaque valeur propre, nous obtiendrons un vecteur propre correspondant différent. Donc, nous considérons le cas   et   séparément.

Considérons d'abord  , à partir de (**) nous obtenons

 

i.e.

 

  puisque  , nous savons qu'il n'y a pas une solution unique à la question ci-dessus. Mais nous notons que :

 

pour tout nombre réel t est une solution, et nous choisissons t = 1 pour notre solution parceque c'est le plus simple. Par conséquent

 

est le vecteur propre correspondant à  . (***)

De manière similaire, si  , à partir de (**) nous obtenons

 

i.e.

 

  nous notons que :

 

tout nombre réel t est une solution, comme précédemment, nous choisissons t = 1 pour notre solution. Par conséquent

  est le vecteur propre correspondant à  . (****)

Nous résummons le résultat de (***) et (****), nous avons

 
 

nous combinons les résultats dans

 

et donc

 

Exemple 2Modifier

a) Diagonaliser A, i.e trouver P (inversible) et B (diagonale) tel que AP = PB
b) Calculer  
 

Solution a) Nous résolvons  , où   est une constante et x un vecteur colonne. D'abord

 
 

puisque  , nous avons

 

i.e.

 



 



 

Pour  ,

 


 

Clairement :

 

est une solution. Notez que nous n'acceptons pas x = 0 comme une solution, parceque nous supposons  . Notons également que

 

pour une certaine constante t est aussi une solution. Vraiment, nous pouvions utiliser x = y = 2, 3 ou 4 comme une solution, mais d'un côté pratique, nous choisissons le plus simple i.e. x = y = 1.

Pour  ,

 


 

Clairement

 

est une solution.

Par conséquent

 

est une solution et

 

est aussi une solution.

b)
 


 


 


 

Exemple 3Modifier

Résoudre la relation de récurrence linéaire

 

Solution

 

Nous devons diagonaliser

 

nous effectuons :

 

nous obtenons

 

Pour  

 
 

Pour  

 
 

Par conséquent

 

Maintenant

 
 
 

Par conséquent

 
 

i.e

 

ExercicesModifier

1. Calculer  

 

2. Calculer  

 

3. Résoudre les relations de récurrence suivantes

 
 
 

Projet -- Matrices élémentairesModifier

Dans toute cette section,  

1. Les matrices ci-dessous sont appelées matrices élémentaires. Comment ces matrices ci-dessous diffèrent-elles de la matrice identité I, décrivons chacune d'elles.

  •  
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire

2. Dans chacun des cas, calculons B puis décrivons comment B est différente de A

  •  
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire
  •   où f est un scalaire

3. La matrice   possède un déterminant différent de zéro. Nous pouvons décomposer la matrice en produits de matrices élémentaires en pré-multipliant l'identité :

 

Maintenant, supposons  , A peut-elle être exprimée comme le produit de matrices élémentaires et de l'identité ?

4. a) Montrer que chaque matrice élémentaire possède un inverse. Astuce : utiliser le déterminant.

b) Démontrer que chaque matrice inversible (une matrice qui a un inverse) est le produit de certaines matrices élémentaires pré-multipliant l'identité.

5. La transposée d'une matrice C est la matrice   où la ième ligne de C est la ième colonne de  . Démontrer en utilisant les matrices élémentaires que

 

pour des matrices arbitraires D et E.

6. Montrer que chaque matrice inversible est aussi le produit de certaines matrices élémentaires post-multipliant l'identité.

7. Qu'en est'il des matrices non-inversibles ? Que pouvez-vous dire à propos d'elles ?

Ensemble de problèmesModifier

1. Zhuo a décidé d'écrire un message à Julie en utilisant un cryptage matriciel. Il a substitué chaque lettre de l'alphabet par un nombre :

A par 0
B par 1
C par 2
...
Z par 25,

puis, il a écrit son message dans une matrice 2 x 4 comme cela :

 ,

maintenant, il pré-multiplie son message secret X avec une matrice pour obtenir le résultat

 .

Quel était le message de Zhuo pour Julie ?


2. Une matrice 2 x 2 A possède la propriété suivante

 

et  .

Quel est l'inverse de A ?

3. Soit

 ,

et soit K = I + J. Montrer que  .

4. Trouver A tel que :  

...plus à venir. Contribuez, s'il vous plait avec de bons problèmes.