Les séries de puissances formelles sont très utiles pour résoudre des problèmes comme :
où
; n = 1, 2, 3
Combien de solutions uniques existe-t'il si ?
Avant d'attaquer ce problème, considérons le polynôme infini :
Nous voulons obtenir une forme fermée de ce polynôme infini. La forme fermée est simplement une manière d'exprimer le polynôme pour qu'il implique seulement un nombre fini d'opérations.
Donc, la forme fermée de
est
Nous pouvons les égaliser (en fait, nous ne pouvons pas. Cf. info).
Les deux expressions ne sont pas égales. C'est simplement le cas pour certaines valeurs de x (-1 < x < -1), nous pouvons faire une approximation du côté droit aussi près que possible en ajoutant un grand nombre de termes du côté gauche. Par exemple, supposons x = 1/2, le côté droit = 2; l'approximation du côté gauche en utilisant seulement 5 termes 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1,9375, qui est proche de 2, comme vous pouvez l'imaginer, en additionnant de plus en plus de termes, nous approcherons de 2.
De toute manière, nous ne ferons attention qu'aux belles propriétés algébriques et non aux valeurs numériques. À partir de maintenant, nous omettrons la condition pour que l'égalité soit vraie lorsque nous écrivons les séries de puissances.
Considérons un cas plus général :
où A et B sont des constantes.
Nous pouvons déduire la forme fermée comme suit :
L'identité suivante que l'on a déduit ci-dessus prend du temps et un effort de mémorisation.
où chaque nombre, excepté les 2 premiers (1 et 1), est la somme des deux nombres précédents. Nous disons que les nombres sont reliés si la valeur qu'un nombre prend dépend des valeurs précédentes dans la suite. La suite de Fibonacci est un exemple de relation de récurrence, elle est exprimée par :
où est le (n+ 1)ème nombre de la suite. Noter que le premier nombre dans la suite est noté . Cette relation de récurrence donnée, la question que nous voulons poser est "pouvons-nous trouver une formule pour le (n+1)ème nombre dans la suite ?". La réponse est oui, mais avant cela, regardons quelques exemples.
définit une relation de récurrence. La suite est : 1, 1, 5, 13, 41, 121, 365... Trouver une formule pour le (n+1)ème nombre dans la suite.
Solution
Soit G(z) la série de puissances de la suite, ce qui signifie que le coefficient de chaque puissance (en ordre croissant) est le nombre correspondant dans la suite. Donc, la série de puissances ressemble à
Maintenant, par une série de manipulations algébriques, nous pouvons trouver la forme fermée de la série de puissances et à partir de là, la formule pour chaque coefficient
Pour un nombre entier positif fixé n, combien de solutions existe-t'il ? Nous pouvons compter le nombre de solutions :
0 + n = n
1 + (n - 1) = n
2 + (n - 2) = n
...
n + 0 = n
Comme vous pouvez le voir, il existe (n + 1) solutions. Une autre manière de résoudre le problème est de considérer la série de puissance
Soit , i.e.
Le coefficient de dans H(z) est le nombre de solutions de .
Considérons
Soit
il s'ensuit
Maintenant, nous pouvons voir que le coefficient de zn (pour n ≥ 0) est clairement le nombre de solutions de a + b = n (a, b > 0).
Nous sommes prêts maintenant à déduire un résultat très important : soit , le nombre de solutions de . Alors, la série de puissance pour la suite est
i.e.
Dénombrer les solutions de a1 + a2 + ... + am = nmodifier
Considérons le nombre de solutions de l'équation suivante :
où ; i = 1, 2, ... m. En appliquant la méthode discutée précédemment, si est le nombre de solutions de l'équation ci-dessus lorsque n = k. La série de puissance pour est
mais qu'est-ce que ? Tant que vous n'avez pas appris l'analyse, il est difficile de déduire une formule simplement en regardant l'équation de T(z). Sans supposer de connaissance en analyse, nous considérons le problème de dénombrement suivant.
"Vous avez trois sœurs, et n (n ≥ 3) poupées. Vous décidez de donner à chacune de vos sœurs au moins une poupée. De combien de manières pouvez-vous le faire ?"
Une manière de résoudre le problème est d'aligner toutes les poupées sur la table. Puisqu'il y a n poupées, il y a (n - 1) espaces entre elles (comme vous avez 5 doigts sur chaque mains et 4 espaces entre eux). Maintenant, à partir des (n - 1) espaces disponibles, choisir 2 et mettre un diviseur dans chaque espace que vous avez choisi ! Alors, vous avez divisé les n poupées en trois parts, une pour chaque sœur. Il y a manière de le faire ! Si vous avez 4 sœurs, alors il y a manières de le faire. Si vous avez m sœurs, il y a manières de le faire.
Maintenant, considérons ; "Vous avez trois sœurs, et vous avez n poupées. Vous décidez de donner à chacune d'elles une certaine quantité de poupées (sans restriction sur la quantité donnée à chaque sœur). De combien de manières peut-on le faire ?"
Notons que nous venons de résoudre :
où ai ≥ 0; i = 1, 2, 3.
Vous pouvez résoudre le problème en alignant n + 3 poupées sur la table. Prenons deux diviseurs et choisissons 2 espaces à partir des n + 2 espaces disponibles. Maintenant que vous avez divisé n + 3 poupées en 3 parts, dont chaque part a 1 ou plus de poupées. Maintenant, reprenons 1 poupée de chaque part, et vous avez résolu le problème ! Donc, le nombre de solutions est . Plus généralement, si vous avez m sœurs et n poupées, le nombre de manières pour partager les poupées est
.
Un petit conseil, si vous avez des sœurs, donnez-leur une quantité égale de poupées, parce qu'elles sont toutes adorables.
Maintenant, comme discuté ci-dessus, le nombre de solutions de
Cette section et la section sur la *technique de dérivation* peuvent être passées si vous êtes déjà familier avec l'analyse/dérivation.
En analyse, la dérivation est une des opérations les plus importantes appliquées aux fonctions de nombres réels. Pour dériver une fonction f(x), nous évaluons simplement la limite
où signifie que nous faisons tendre h vers 0. Néanmoins, pour l'instant, nous pouvons simplement penser cela comme égalant h à 0, i.e., h = 0 à un temps approprié. Il existe plusieurs notations diverses pour le résultat de la dérivation (appelée la dérivée), par exemple
et
veulent dire la même chose. Nous posons, f'(x) est la dérivée de f(x). La dérivation est très utile pour beaucoup d'usages, mais nous n'allons pas exposer les raisons de l'invention de l'analyse, mais plutôt comment nous pouvons appliquer l'analyse à l'étude des séries de puissances.
Il devrait être clair que si
g(x) = f(x)
alors
g'(x) = f'(x)
La loi ci-dessus est importante. Si g(x) une forme réduite de f(x), alors la dérivation des deux côtés est valide pour obtenir une nouvelle série de puissances.
Aussi, si
h(x) = g(x) + f(x)
alors
h'(x) = g'(x) + f'(x)
Ceci peut être vérifié en examinant les propriétés des limites.
Nous démarrons à partir du quotient différentiel :
Par le théorème du binôme, nous avons :
Le premier xn s'annule avec le dernier, pour obtenir
Maintenant, nous mettons la constante 1/h entre parenthèses
et le résultat devient :
Résultat important
Si
alors
Comme vous pouvez le voir, la dérivation implique d'extraire la dérivée d'une fonction à travers une manipulation algébrique, et pour cette raison, cette section est algébriquement très difficile.
La dérivation appliquée aux séries de puissancesmodifier
Maintenant que nous sommes familiers avec la dérivation, nous devrions considérer :
Nous savons que
dérivons les deux côtés
par conséquent, nous pouvons conclure que
Noter que nous pouvons obtenir le résultat ci-dessus par la méthode de substitution,
en remplaçant z = x2, cela nous donne le résultat requis.
L'exemple précédent a montré que nous ne sommes pas concernés par les dérivations difficiles. Plutôt, pour obtenir les résultats d'une manière facile, nous devons seulement dériver les formes de base et appliquer la méthode de substitution. Par formes basiques, nous voulons dire les séries de puissances de la forme :
pour .
Considérons le nombre de solutions de
pour pour .
Nous savons que pour tout m, le nombre de solutions est le coefficient de :
comme discuté précédemment.
Nous démarrons à partir de :
et dérivons les deux côtés (noter que 1 = 1!)
nous dérivons de nouveau
et ainsi de suite pour (n-1) fois
nous divisons les deux côtés par (n-1)!
ceci confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
1. Une Nouvelle Compagnie a emprunté 250 000 € pour le capital initial de démarrage, et la banque prend un intérêt mensuel de 3 %. Avant la fin de chaque mois, ils envisagent de rendre x € et l'intérêt est compté le dernier jour de ce mois.
Soit la dette qui reste après n mois.
a)Définir récursivement.
b)Trouver les valeurs minimales de x.
c)Extraire la formule générale pour .
d)Ainsi, déterminer combien de mois sont nécessaires pour tout rembourser s'ils rendent 12 000 € chaque mois.
2. Un arbre binaire est un arbre où à partir de chaque nœud, on peut avoir deux nœuds. Montrer que la figure suivante est un exemple d'arbre binaire.
a)Soit le nombre d'arrangements uniques d'un arbre binaire avec n nœuds au total. Soit C(z), une série de puissances de .
(i)Définir C(z) en utilisant la récursion.
(ii)Puis, trouver la forme réduite de C(z).
b)Soit une série de puissances.
(i)En considérant la dérivée n-ième de P(x), trouver une formule pour .
(ii)En utilisant les résultats à partir de a) et b)(i) , ou autrement, déduire une formule pour for .
Conseil : Au lieu de faire une récursion pour rechercher le changement dans lorsqu'on ajoute des nœuds à la base, essayer de penser à la manière opposée, et à la direction. (Et non, sans supprime de nœuds)