Approfondissements de lycée/Fractions partielles

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Méthode des fractions partielles

Introduction

Avant de commencer, considérons ce qui suit : ${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}$

Comment pouvons-nous calculer cette somme ? Au premier coup d’œil, cela semble difficile, mais si vous y réfléchissez, vous trouverez : ${\frac {1}{4\times 5}}={\frac {5-4}{4\times 5}}={\frac {5}{4\times 5}}-{\frac {4}{4\times 5}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}$

Ainsi, le problème original peut être réécrit comme suit,

$={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}......-{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{99}}-{\frac {1}{100}}$

Donc, tous les termes excepté le premier et le dernier peuvent être annulés, et par conséquent

$=1-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$

En fait, vous avez effectué des fractions partielles ! Les fractions partielles est une méthode pour réduire les fractions compliquées qui impliquent des produits en sommes de fractions plus simples.

Méthode

Comment faisons-nous des fractions partielles ? Regardons l'exemple ci-dessous :

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}$

Factorisons le dénominateur.

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}$

Puis, nous supposons que nous pouvons le scinder en fractions comportant au dénominateur (z-1) et (z-2) respectivement. Notons leurs numérateurs a et b.

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}\equiv {\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}$

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}\equiv {\frac {a(z-2)}{(z-1)(z-2)}}+{\frac {b(z-1)}{(z-1)(z-2)}}$

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}\equiv {\frac {az-2a+bz-b}{(z-1)(z-2)}}$

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}\equiv {\frac {(a+b)z-(2a+b)}{(z-1)(z-2)}}$

$4z-5\equiv (a+b)z-(2a+b)$

Par conséquent, en faisant coïncider les coefficients des puissances de z, nous avons :

${\begin{cases}a+b=4&...(1)\\2a+b=5&...(2)\end{cases}}$

(2)-(1):a=1

Substituons a=1 en (1):b=3

Par conséquent
${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {3}{z-2}}$

(Besoin d'exercices !)

Plus sur les fractions partielles

Facteurs répétés

Lors de la dernière sections, nous avons parlé de la factorisation du dénominateur, et obtenu chaque facteur comme dénominateur de chaque terme. Mais que se passe-t'il lorsqu’il y a une répétition de facteurs ? Pouvons-nous appliquer la même méthode ? Regardons l'exemple ci-dessous :

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x-1}}$

$\equiv {\frac {A+B}{x+2}}+{\frac {C}{x-1}}$

$\equiv {\frac {(A+B)(x-1)}{(x+2)(x-1)}}+{\frac {C(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

$\equiv {\frac {(A+B)(x-1)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

$\equiv {\frac {(A+B+C)x+(2C-A-B)}{(x+2)(x-1)}}$

Un facteur est manquant ! Pouvons-nous multiplier et le dénominateur et le numérateur par ce facteur ? Non ! Parce que le numérateur est de degré 1, en multipliant avec un facteur linéaire le rendra de degré 2 ! (Vous pouvez penser : ne pouvons-nous pas établir A+B+C=0 ? Oui, mais en substituant A+B=-C, vous trouverez que ceci est impossible).

À partir de l'échec de l'exemple précédent, nous voyons que l'ancienne méthode des fractions partielles ne marche pas. Vous pouvez vous demander si nous pouvons actuellement les scinder ? Oui, mais avant d'attaquer ce problème, regardons d'un peu plus près les dénominateurs.

Considérons l'exemple suivant :
${\frac {1}{2^{3}7^{2}}}+{\frac {1}{2^{5}7}}\,$ $={\frac {2^{2}}{2^{5}7^{2}}}+{\frac {7}{2^{5}7^{2}}}\,$ $={\frac {2^{2}+7}{2^{5}7^{2}}}\,$
Nous pouvons voir que la puissance du facteur premier dans le produit du dénominateur est la puissance maximale de ce facteur premier dans tous les termes du dénominateur.

De manière similaire, soient les facteurs $P_{1},P_{2},...,P_{n}$, alors, nous avons le cas général :
${\frac {A}{P_{1}^{\alpha _{1}}P_{2}^{\alpha _{2}}...P_{n}^{\alpha _{n}}}}+{\frac {B}{P_{1}^{\beta _{1}}P_{2}^{\beta _{2}}...P_{n}^{\beta _{n}}}}+...{\frac {Z}{P_{1}^{\zeta _{1}}P_{2}^{\zeta _{2}}...P_{n}^{\zeta _{n}}}}$
Si nous les convertissons en une grande fraction, le dénominateur sera :
$P_{1}^{max(\alpha _{1},\beta _{1},...,\zeta _{1})}P_{2}^{max(\alpha _{2},\beta _{2},...,\zeta _{2})}...P_{n}^{max(\alpha _{n},\beta _{n},...,\zeta _{n})}$

Revenons à notre exemple, puisque le facteur (x+2) est de puissance 2, au moins un des termes a $(x+2)^{2}$ comme le facteur du dénominateur. Vous pouvez alors essayer comme suit :

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {A}{(x+2)^{2}}}+{\frac {B}{x-1}}$

$\equiv {\frac {A(x-1)}{(x+2)^{2}(x-1)}}+{\frac {B(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {A(x-1)+B(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {Ax-A+Bx^{2}+4Bx+4B}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {Bx^{2}+(A+4B)x+(4B-A)}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

Mais, de nouveau, nous ne pouvons pas fixer B=0, puisque cela voudrait dire que le dernier terme est 0 ! Qu'est-ce qui manque ? Pour le manipuler proprement, utilisons une table pour montrer toutes les combinaisons du dénominateur :

Combinaisons possibles du dénominateur

Puissance de (x+2)	Puissance de (x-1)	Résultat	Utilisé ?
0	0	1	Pas utile
1	0	(x+2)	Non utilisé
2	0	(x+2)^2	Utilisé
0	1	(x-1)	Utilisé
1	1	(x+2)(x-1)	Pas utile
2	1	(x+2)^2(x-1)	Pas utile

Donc, nous savons maintenant quel X/(x+2) est manquant, nous pouvons finalement obtenir la réponse :

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {A}{(x+2)^{2}}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x-1}}$

$\equiv {\frac {A(x-1)}{(x+2)^{2}(x-1)}}+{\frac {B(x+2)(x-1)}{(x+2)^{2}(x-1)}}+{\frac {C(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {A(x-1)+B(x^{2}+x-2)+C(x^{2}+4x+4)}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {(B+C)x^{2}+(A+B+4C)x-(A+2B-4C)}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

Par conséquent, en coïncidant le coefficient de la puissance de x, nous avons

Pour conclure, pour un facteur répété d'une puissance n, nous aurons n termes avec leur dénominateur étant X^n, X^(n-1), ...,X^2, X

Les travaux continuent, ne pas déranger :)

Méthode différente pour les facteurs répétés

À la différence de la méthode suggérée ci-dessus, nous pourrions utiliser une autre approche du problème. Nous pouvons d'abord exclure certains facteurs pour qu'il soit de la forme non répétée, puis effectuer les fractions partielles, et multiplier le facteur en retour, puis appliquer les fractions partielles sur les 2 fractions.

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

$\equiv {\frac {1}{x+2}}\times {\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}$

Puis, nous appliquons les fractions partielles sur la dernière partie :

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-1}}$

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A(x-1)}{(x+2)(x-1)}}+{\frac {B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {(A+B)x+(2B-A)}{(x+2)(x-1)}}$

$4x-1\equiv (A+B)x+(2B-A)$

En coïndidant les coefficients des puissances de x, nous avons

${\begin{cases}A+B=4&...(1)\\2B-A=-1&...(2)\end{cases}}$

En substituant A=4-B dans (2),

$2B-(4-B)=-1$

Ainsi B = 1 et A = 3.

Nous plaçons :

$\equiv {\frac {1}{x+2}}\times \left({\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

$\equiv {\frac {3}{(x+2)^{2}}}+{\frac {1}{(x+2)(x-1)}}$

Maintenant, nous effectuons les fractions partielle une fois de plus :

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-1}}$

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A(x-1)}{(x+2)(x-1)}}+{\frac {B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}$

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}\equiv {\frac {(A+B)x+(2B-A)}{(x+2)(x-1)}}$

$0x+1\equiv (A+B)x+(2B-A)$

En coïncidant les coefficients des puissances de x, nous avons :

${\begin{cases}A+B=0&...(1)\\2B-A=1&...(2)\end{cases}}$

Substituons A=-B dans (2), nous avons :

2B-(-B) = 1

Ainsi B=1/3 et A=-1/3

Donc finalement,

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}\equiv {\frac {3}{(x+2)^{2}}}-{\frac {1}{3(x+2)}}+{\frac {1}{3(x-1)}}$