Solution analytique à l'intersection de deux corps creux à parois épaisses

Cet article illustre, à partir d'un cas courant d'assemblage de deux tubes épais (dans le jargon des tuyauteurs, un piquage et un collecteur) d'axes orthogonaux non concourants (voir fig. 1), une méthode analytique basée sur l'utilisation des propriétés métriques des droites, plans et des coniques. Le but est de déterminer l'intersection de ces deux corps creux et épais en vue de les assembler par soudage.

Fig. 1 - Intersection de deux corps creux à parois épaisses.
Fig. 2 - Sections déterminées par un plan sécant contenant l'axe du piquage.

Pour effectuer un assemblage convenable il est nécessaire d'obtenir des caractéristiques géométriques précises de la préparation afin de permettre, quelle que soit la position de soudage :

  • Un jeu régulier entre bord à souder pour assurer un bon aspect envers,
  • Une ouverture de chanfrein suffisante pour permettre une correcte répartition des passes de soudage,
  • Un volume soudé minimum pour limiter les déformations dues au retrait transversal,
  • Des bords de chanfrein suffisamment ouverts pour éviter le manque d'accrochage et permettre, dans le cas de soudage avec production de laitier, un bon décrassage entre passes.

L'angle d'ouverture de la préparation soudage est fonction de l'expérience de chacun. Dans l'étude qui suit, les limites sont :

  • 60° pour les parties assimilable à un joint bout à bout, et
  • 45° pour les parties assimilable à un joint en angle.

De même, l'angle de chanfreinage du piquage étant évolutif tout le long de la courbe d'intersection des deux tubes, nous avons fixé un angle minimum de chanfreinage égal à 50°.

Nature des sectionsModifier

La méthode utilisée pour déterminer les caractéristiques géométriques de la préparation soudage est une application analytique de la méthode dite des plans sécants de la géométrie descriptive (ou du traçage des métaux en feuille). Un plan contenant l'axe du piquage, coupe les deux corps de manière à déterminer (voir fig. 2) :

  • Une section elliptique dans le collecteur, et
  • Une section de type bi-rectangulaire dans le piquage.
 
Fig. 3 - Schéma de principe de la méthode es plans sécants.

La méthodeModifier

Utilisation des plans sécantsModifier

Le plan sécant   contient l'axe du piquage  , sa trace horizontale fait un angle   avec   (voir fig. 3).

  • La préparation soudage est déterminée dans le repère orthonormé   contenant  


  •  


  •   avec "d" représentant la distance entre les axes piquage et collecteur, dans le jargon des tuyauteurs "d" est la désaxée.
 
Fig. 4 - Génératrice du piquage et section elliptique du collecteur.

Les points de la courbe d'intersections des deux tubes sont déterminés dans le plan sécant   c'est à dire sous la forme de l'intersection des sections ainsi obtenues (voir fig. 4) :

  • Des génératrices des cylindres intérieur, intermédiaires et extérieur du piquage, et
  • des sections elliptiques déterminées dans le collecteur.

Nota : Comme le piquage ne traverse pas le collecteur de part en part, les points d'intersections qui nous intéressent correspondent aux racines positives des équations.

ParamétrageModifier

La préparation doit évoluer dans des limites fixées par l'expérience propre et/ou le savoir faire des professionnels. Toutes variations brusques peut être source de défauts internes, d'aspect ou de profil de soudure voire de cosmétique générale. Une relation est paramétrée entre la position du plan   et l'angle d'ouverture   acceptable comme suit :

  • Pour   ou   ;


 , par exemple 45°


  • Pour   ;


 , par exemple 60°


  • Pour   ;


  , par exemple 45°


  • Pour   ;


  , par exemple 45°


Entre ces valeurs fixées par l'expérience, la loi de variation de l'angle d'ouverture est choisie, pour une transition douce, comme suit :


  • Pour   ;


 .


  • Pour   ;


 .


  • Pour   ;


 .


  • Pour   ;


 .


Calcul des points d'intersectionModifier

 
Fig. 5 - Définition des points d'intersection entre les différentes surfaces du piquage et du collecteur.

Les points naturels de l'intersection sont représentés en fig. 5 avec les conventions suivantes ;

Pour le piquage :

  •   rayon intérieur du piquage
  •   rayon extérieur du piquage
  •   Surface intérieure du piquage, et
  •   Surface extérieure du piquage,


Pour le collecteur :

  •   rayon intérieur du collecteur,
  •   rayon extérieur du collecteur,
  •   Surface intérieure du collecteur, et
  •   Surface extérieure du collecteur.


Les points d'intersection :

  • Les points de type "I" correspondent à l'intersection de la surface intérieure du piquage avec la surface intérieure du collecteur,
  • Les points de type "E" correspondent à l'intersection de la surface extérieure du piquage avec la surface intérieure du collecteur, et
  • Les points de type "N" correspondent à l'intersection de la surface extérieure du piquage avec la surface extérieure du collecteur.

Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersectionModifier

L'abscisse   du point d'intersection, voir fig. 4, est :


 , avec   soit :


  •  


La section de collecteur contenue dans le plan   est une ellipse dont les axes sont :


  avec  , son équation est :


  ;


  ;


 , en remplaçant   par sa valeur :


Préparation du piquageModifier

Mesure et contrôle de l'angle de chanfreinage du piquageModifier

 
Fig. 6 - Détermination d'un point "M" intermédiaire pour obtenir un angle de chanfreinage   dans les tolérances imposées par le concepteur.

L'équation paramétrique de la courbe d'intersection   et   permet de définir les coordonnées des points "I", "E" et "N" de la fig. 5 qui l'on désigne comme suit :

  •  
  •  
  •  

L'angle de chanfreinage   est donné, tout le long de la courbe d'intersection, par  , avec :


  et  .


L'angle entre ces deux vecteurs est donné par :


 


  •  


Lorsque l'angle de chanfreinage est trouvé hors tolérance, il existe un point   par lequel passe une génératrice dite de contact comprise entre   et   (voir Fig. 6) qui coupe   tel que   soit acceptable. Problème que l'on résoud en déterminant, dans une boucle de calcul, un point d'abscisse intermédiaire   compris entre   et  .

Coupage et chanfreinage du piquageModifier

L'extrémité du piquage est entièrement définie par les trois courbes,  ,   et  . Le tracé de la courbe de coupage correspond à la courbe   que l'on reproduit sur la peau extérieure du tube. Le coupage doit être effectué perpendiculairement au tracé.

Le tracé de la courbe   doit être reproduit sur la peau intérieure du piquage, et celui de la courbe   sur la peau extérieure.

La projection de la courbe   dans l'épaisseur se fait en portant la mesure   à même le champ découpé. On procédera au chanfreinage en délardant le piquage suivant les pentes   pour l'intérieur du piquage et   ou, selon le cas   pour l'extérieur.

Préparation du collecteurModifier

La pénétration piquage / collecteurModifier

 
Fig. 7 - Vue en coupe de la préparation soudage sur piquage et collecteur.

La fig. 7 montre une section de la préparation soudage en   quelconque, et fait apparaître le point   du collecteur.   représente la direction de chanfreinage de la pénétration dans le collecteur.

L'angle de chanfreinage   du collecteur est donné par :

  •  ,

avec ;

 


Le point "P" est un point d'intersection entre :

  • la droite passant par "E" et de vecteur directeur  ,

et

  • La section elliptique extérieure du collecteur.

L’équation d'une telle droite est donnée, sous la forme d'un déterminant, par :


  •  


de la forme  , avec :

 

et

 

Les coordonnées du point "P" s'obtiennent en égalisant l'équation de cette droite avec l'équation de l'ellipse (voir chap. "Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersection" ci dessus), en prenant "R" égal au rayon extérieur du collecteur,

 .


  •  

En posant :

 ,
 ,
 .


 


avec :

  •  

et

  •  

Coupage de la pénétrationModifier

Le découpe doit s'effectuer perpendiculairement à la peau extérieure du collecteur mais, à la différence du piquage, en suivant le tracé intérieur aux courbes "E" et "P". En effet, dans le cas d'un assemblage piquage droit, le tracé de "E" ne croise jamais le tracè de "P" cependant, dans le cas ou le piquage n'est pas droit et en fonction de l'angle d'inclinaison du piquage, les deux tracés peuvent se croiser.

Reproduction du développement du piquage sur table traçanteModifier

 
Fig. 8 - représentation du développement du piquage.

Le développement du piquage est une courbe d'équation paramétrique fonction de   dans laquelle "r" est égale au rayon extérieur du piquage. Dans le cas de la confection d'un modèle papier qui servira à reproduire le développement sur la pièce réelle, on ajoute 0,5mm au rayon extérieur :

Equation paramétrique du développement :
  •  
  •  

nota : Ce développement correspond à la partie chutée.


Les trois courbes à tracer sont :

  • La courbe de contact "E" qui détermine la coupe,
  • La courbe intérieure du piquage "I",
  • La courbe de chanfreinage "N" éloignée de la courbe de contact "E" de la valeur (voir fig. 8)  . Celle-ci doit être reportée sur la perpendiculaire à la tangente en "E" au point de coordonnées  .

En tout point de "E", la tangente est donnée par la dérivée. L'angle   que fait cette tangente avec l'axe   est :

 
Fig. 9 - Critère pour remplacer une portion de courbe par une segment de droite.
 

soit ;

 

Avec   pour tenir compte du fait que "xe" n'est pas toujours situé sur la peau extérieure.

La courbe d'équation paramétrique de "N" est donnée par :

  •  
  •  

Avec :

  •  
  •  

Optimisation du nombre de génératrices pour développer le piquageModifier

Hypothèse : Le concepteur décide d'assimiler l'arc de courbe compris entre   par un segment de droite   si les tangentes en ces deux points forment un angles au plus égal à 1°.

Le développement sera constitué (voir fig. 9) d'une succession de segments de droites de longueurs optimisées.

Cas du collecteurModifier

 
Fig. 10 - représentation de la pénétration dans le collecteur avec le point de rebroussement atténué.
 
Fig. 11 - représentation du développement du piquage avec le point de rebroussement atténué.

La pénétration est composée de deux courbes (voirt fig. 10) :

La courbe de contact  , et
La courbe de chanfreinage   éloignée de la première de la valeur  .

L'équation paramétrique de   est :

  •  
  •  

Avec "R" égal au rayon extérieur du collecteur.

Comme pour le piquage, nous calculons la dérivée de cette fonction pour obtenir la courbe de chanfreinage :

  •  
  •  

Soit :

 

Avec :

"R" égal au rayon extérieur du collecteur.
 
 

L'équation paramétrique de la courbe de chanfreinage   est :

  •  
  •  

avec :

  •  
  •  

Suppression des points de rebroussementModifier

Les points de rebroussement produisent des changements brusques de direction dans la préparation soudage, ce qui n'est pas compatible avec un soudage correct des deux éléments à assembler aussi, ces points peuvent être adouci en traçant un cercle tangent de rayon égal à la plus forte épaisseur des deux corps comme illustré aux figures 10 et 11.

Liens internesModifier