Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0)

La droite dans le plan euclidien

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Vecteur normal à une droite

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Soit   un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

 

et   un point spécifique de (D), On a :

 

En retranchant (2) à (1) on obtient :

 

En notant  , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

 

La droite d'équation   est donc orthogonale au vecteur  . Le vecteur   est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

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Soit un point   et un vecteur   non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par   et orthogonale à  , si et seulement si  :

 

La droite (D), passant par   et orthogonale à  , a donc pour équation :

 

Distance algébrique d'un point M(x, y) à une droite d'équation ux + vy + h = 0

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Soit H le projeté de   sur (D) avec   orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  , on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

 

En valeur absolue:

 .

Droite et pente

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Pour v non nul, la droite (D) d'équation   possède une équation sous la forme   avec

 

et

 

La pente d'une droite est le réel

 

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).

Équation normale d'une droite

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Dans le repère  ,notons   un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle  . On note d'autre part   la distance entre l'origine O du repère et la droite (D).

L'équation (1) s'écrit :

 

Angles de deux droites

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Soit (D) et (D') deux droites d'équations

 
 

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

 

La droite dans l'espace euclidien

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Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

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Cas où la droite est définie par un point M0 et un vecteur   non nul

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La distance MH est donnée par

 

Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans

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Le plan Q perpendiculaire à P1 appartient au faisceau de plans P1 + λP2 = 0.

Le plan Q sera perpendiculaire à P1 pour  .

Soit H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P1, Q et (D). On en déduit   .

On calculera   et   comme détaillé au chapitre « Distance algébrique d'un point à un plan » ci dessous.

Droites orthogonales à un plan

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Le plan étant défini par l'équation  , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur  . Une droite (D) passant par le point   et perpendiculaire à   a pour équations :

 

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

 

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

 

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

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Soient la droite (D0) passant par   et de direction le vecteur   et (D1) la droite passant par   et de direction  .

Si les vecteurs   et   sont indépendants, le volume du solide construit sur   est égal à  . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

 .

L'aire de la base du solide est donnée par

  tel que  

La distance entre les deux droites est alors égale à  .

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite (D0).

Le plan dans l'espace euclidien

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Vecteur orthogonal à un plan

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Soit M(x, y, z) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

 

Pour   un point spécifique de P on obtient :

 

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

 

En notant  , le vecteur de composantes  , on exprime (1bis) comme suit :

 

Le plan P d'équation   est donc orthogonal au vecteur   et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

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Soit un point   et un vecteur   non nul. Le point M appartient au plan P, passant par   et orthogonal à  , si et seulement si  :

 

Le plan P, passant par   et orthogonal à  , a donc pour équation : :

 

Angles de deux plans

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Soient P et P' deux plans d'équations

 
 

L'angle géométrique   est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux  

 

Plans perpendiculaires

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Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux   et   sont orthogonaux. Ce qui implique

 

Distance algébrique d'un point M(x, y, z) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0

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Soit H la projeté de   sur P avec   orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur  , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

 

En valeur absolue:

 

.

Équation de plan et déterminant

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Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

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Soient un point   et deux vecteurs   et   non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan P passant par   et de directions   et   si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que  . Cette égalité exprime que  ,   et \vec \mathrm{V}_2</math> sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

 

Son équation est :

 

que l'on peut écrire sous la forme  

Plan défini par deux points et un vecteur

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Soient deux points   et   et un vecteur   non colinéaire à  .

Le point M appartient au plan passant par  ,   et de direction   si et seulement si les trois vecteurs :  sont coplanaires, donc :

 

Son équation est :

 

Plan défini par trois points non alignés

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Soient  , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est

 

Voir aussi

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