En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.
Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v ) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w ) est différent de (0, 0, 0)
La droite dans le plan euclidien
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Soit
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y)}
(
1
)
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle (1)\qquad ux+vy+h=0\,}
et
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})}
(
2
)
u
x
0
+
v
y
0
+
h
=
0
{\displaystyle (2)\qquad ux_{0}+vy_{0}+h=0\,}
En retranchant (2) à (1) on obtient :
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,}
En notant
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u, v ), on exprime (1) comme suit :
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0}
La droite d'équation
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+h=0}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
modifier
Soit un point
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y)}
N
→
(
u
v
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0}
La droite (D), passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,}
x , y ) à une droite d'équation ux + vy + h = 0
modifier
Soit H le projeté de
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y)}
H
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {HM} }}}
La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur
N
→
(
u
v
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}
d
a
(
H
,
M
)
=
u
x
+
v
y
+
h
u
2
+
v
2
{\displaystyle d_{a}(\mathrm {H} ,\mathrm {M} )={\frac {ux+vy+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}
En valeur absolue:
‖
H
M
→
‖
=
|
u
x
+
v
y
+
h
|
u
2
+
v
2
{\displaystyle \|{\overrightarrow {\mathrm {HM} }}\|={\frac {|ux+vy+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}
.
Pour v non nul, la droite (D) d'équation
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+h=0}
m
x
+
b
=
y
{\displaystyle mx+b=y}
m
=
−
u
v
{\displaystyle m=-{\frac {u}{v}}}
et
b
=
−
h
v
{\displaystyle b=-{\frac {h}{v}}}
La pente d'une droite est le réel
m
=
tan
(
α
)
{\displaystyle m=\tan(\alpha )\,}
L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).
Dans le repère
(
O
,
ı
→
,
ȷ
→
)
{\displaystyle \scriptstyle (\mathrm {O} ,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}
N
→
(
cos
φ
,
sin
φ
)
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}
(
ı
→
,
N
→
)
{\displaystyle \scriptstyle ({\vec {\imath }},{\vec {\mathrm {N} }})}
p
{\displaystyle p}
L'équation (1) s'écrit :
x
cos
φ
+
y
sin
φ
−
p
=
0
{\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0}
Soit (D) et (D') deux droites d'équations
(
D
)
:
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle (\mathrm {D} ):ux+vy+h=0\,}
(
D
′
)
:
u
′
x
+
v
′
y
+
h
′
=
0
{\displaystyle (\mathrm {D'} ):u'x+v'y+h'=0\,}
L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :
tan
(
D
,
D
′
)
=
tan
(
N
→
,
N
′
→
)
=
u
v
′
−
u
′
v
u
u
′
+
v
v
′
{\displaystyle \tan(\mathrm {D} ,\mathrm {D'} )=\tan({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} '}})={\frac {uv'-u'v}{uu'+vv'}}}
modifier
modifier
0 et un vecteur
V
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}}
modifier
La distance MH est donnée par
M
H
=
‖
M
M
0
→
∧
V
→
‖
‖
V
→
‖
{\displaystyle \mathrm {MH} ={\frac {\|{\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}\|}{\|{\vec {\mathrm {V} }}\|}}}
modifier
P
1
=
u
1
x
+
v
1
y
+
w
1
z
+
h
1
=
0
{\displaystyle \mathrm {P} _{1}=u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,}
P
2
=
u
2
x
+
v
2
y
+
w
2
z
+
h
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {P} _{2}=u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,}
Le plan Q perpendiculaire à P1 appartient au faisceau de plans P1 + λP2 = 0.
Le plan Q sera perpendiculaire à P1 pour
λ
=
−
(
u
1
2
+
v
1
2
+
w
1
2
)
u
1
u
2
+
v
1
v
2
+
w
1
w
2
{\displaystyle \lambda ={\frac {-(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2})}{u_{1}u_{2}+v_{1}v_{2}+w_{1}w_{2}}}\,}
Soit H1 , HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P1 , Q et (D). On en déduit
M
H
2
=
M
H
1
2
+
M
H
Q
2
{\displaystyle \mathrm {MH} ^{2}=\mathrm {MH} _{1}^{2}+\mathrm {MH_{Q}} ^{2}\,}
On calculera
M
H
1
{\displaystyle \mathrm {MH} _{1}\,}
M
H
Q
{\displaystyle \mathrm {MH_{Q}} \,}
Le plan étant défini par l'équation
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+wz+h=0}
N
→
(
u
v
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\\ w\end{pmatrix}}}
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
[
P
]
:
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle [\mathrm {P} ]:ux+vy+wz+h=0}
x
−
x
0
u
=
y
−
y
0
v
=
z
−
z
0
w
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{u}}={\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}
dans le cas où aucun des réels, u , v , w , n'est nul.
Si un seul des des réels est nul, par exemple u = 0, le système devient :
x
=
x
0
y
−
y
0
v
=
z
−
z
0
w
{\displaystyle x=x_{0}\qquad {\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}
Si deux réels sont nuls, par exemple u =v =0, le système devient :
x
=
x
0
y
=
y
0
{\displaystyle x=x_{0}\qquad y=y_{0}}
modifier
Soient la droite (D0 ) passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
0
(
a
0
b
0
c
0
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}{\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}}}
1 ) la droite passant par
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
V
→
1
(
a
1
b
1
c
1
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{pmatrix}}}
Si les vecteurs
V
→
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
M
0
M
1
→
,
V
→
0
,
V
→
1
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
|
k
|
{\displaystyle |k|}
k
=
(
M
0
M
1
→
,
V
→
0
,
V
→
1
)
{\displaystyle k=({\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1})}
L'aire de la base du solide est donnée par
‖
W
→
‖
{\displaystyle \|{\vec {\mathrm {W} }}\|}
W
→
=
V
0
→
∧
V
1
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {W} }}={\vec {\mathrm {V} _{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} _{1}}}}
La distance entre les deux droites est alors égale à
d
=
|
k
|
‖
W
→
‖
{\displaystyle d={\frac {|k|}{\|{\vec {\mathrm {W} }}\|}}}
Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite (D0 ).
modifier
Soit M(x , y , z ) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :
(
1
b
i
s
)
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle (1bis)\qquad ux+vy+wz+h=0}
Pour
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
(
2
b
i
s
)
u
x
0
+
v
y
0
+
w
z
0
+
h
=
0
{\displaystyle (2bis)\qquad ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0}
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
+
w
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,}
En notant
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
(
u
v
w
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0}
Le plan P d'équation
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+wz+h=0}
N
→
(
u
v
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}
modifier
Soit un point
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y,z)}
N
→
(
u
v
w
)
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}
M
0
(
x
0
,
y
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},y_{0})}
N
→
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {M_{0}M} }}=0}
Le plan P, passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
N
→
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
+
w
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,}
Soient P et P' deux plans d'équations
P
:
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle \mathrm {P} :ux+vy+wz+h=0\,}
P
′
:
u
′
x
+
v
′
y
+
w
′
z
+
h
′
=
0
{\displaystyle \mathrm {P'} :u'x+v'y+w'z+h'=0\,}
L'angle géométrique
(
P
,
P
′
)
{\displaystyle (\mathrm {P} ,\mathrm {P'} )}
(
N
→
,
N
′
→
)
{\displaystyle ({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N'} }})}
cos
(
P
,
P
′
)
=
|
cos
(
N
→
,
N
′
→
)
|
=
|
u
u
′
+
v
v
′
+
w
w
′
|
u
2
+
v
2
+
w
2
×
u
′
2
+
v
′
2
+
w
′
2
{\displaystyle \cos(\mathrm {P} ,\mathrm {P'} )=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N'} }})|={\frac {|uu'+vv'+ww'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}}
Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
′
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N'} }}}
u
u
′
+
v
v
′
+
w
w
′
=
0
{\displaystyle uu'+vv'+ww'=0\,}
x , y , z ) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0
modifier
Soit H la projeté de
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y,z)}
H
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {HM} }}}
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur
N
→
(
u
v
w
)
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mathrm {N} }}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}}
d
a
(
H
,
M
)
=
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
u
2
+
v
2
+
w
2
{\displaystyle d_{a}(\mathrm {H} ,\mathrm {M} )={\frac {ux+vy+wz+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}
En valeur absolue:
‖
H
M
→
‖
=
|
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
|
u
2
+
v
2
+
w
2
{\displaystyle \|{\overrightarrow {\mathrm {HM} }}\|={\frac {|ux+vy+wz+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}
.
modifier
modifier
Soient un point
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
V
→
2
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
x , y , z ) appartient au plan P passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
V
→
2
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
M
M
0
→
=
λ
V
→
1
+
μ
V
→
2
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}=\lambda {\vec {\mathrm {V} }}_{1}+\mu {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
M
M
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}}}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :
det
(
M
M
0
→
,
V
→
1
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
,
V
→
2
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
)
=
0
{\displaystyle \det({\overrightarrow {\mathrm {MM} _{0}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1}),{\vec {\mathrm {V} }}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2}))=0}
Son équation est :
|
x
−
x
0
a
1
a
2
y
−
y
0
b
1
b
2
z
−
z
0
c
1
c
2
|
=
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
(
x
−
x
0
)
+
(
c
1
a
2
−
a
1
c
2
)
(
y
−
y
0
)
+
(
a
1
b
2
−
b
1
a
2
)
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&a_{1}&a_{2}\\y-y_{0}&b_{1}&b_{2}\\z-z_{0}&c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})(x-x_{0})+(c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})(y-y_{0})+(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})(z-z_{0})=0}
que l'on peut écrire sous la forme
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+wz+h=0}
modifier
Soient deux points
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
V
→
1
(
a
b
c
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}
M
1
M
2
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}}
Le point M appartient au plan passant par
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
V
→
1
(
a
b
c
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}
M
1
M
→
,
M
2
M
1
→
,
V
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M} }},{\overrightarrow {\mathrm {M_{2}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }}}
det
(
M
1
M
→
,
M
2
M
1
→
,
V
→
)
=
0
{\displaystyle \det({\overrightarrow {\mathrm {M_{1}M} }},{\overrightarrow {\mathrm {M_{2}M_{1}} }},{\vec {\mathrm {V} }})=0}
Son équation est :
|
x
−
x
1
x
2
−
x
1
a
y
−
y
1
y
2
−
y
1
b
z
−
z
1
z
2
−
z
1
c
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&a\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&b\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&c\end{vmatrix}}=0}
modifier
Soient
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,
M
3
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\mathrm {M} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),\mathrm {M} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}
Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est
|
x
−
x
1
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
y
−
y
1
y
2
−
y
1
y
3
−
y
2
z
−
z
1
z
2
−
z
1
z
3
−
z
2
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{2}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{2}\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&z_{3}-z_{2}\end{vmatrix}}=0}
![{\displaystyle [\mathrm {P} ]:ux+vy+wz+h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2620d11913bb9e2b571c22bde3ca5b7c3c50ef64)
