S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7

Leçon 7 - La division

En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.

Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :

  • 17 - 5 = 12 (une fois)
  • 12 - 5 = 7 (deux fois)
  • 7 - 5 = 2 (trois fois)

Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.

Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.

Tableau des quotients et restesModifier

On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r). Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.

dd\dv 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (5 ; 0) (3 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 0) (1 ; 4) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1)
2 (1 ; 0) (6 ; 2) (5 ; 0) (4 ; 0) (3 ; 2) (2 ; 6) (2 ; 4) (2 ; 2)
3 (1 ; 1) (1 ; 0) (7 ; 2) (6 ; 0) (5 ; 0) (4 ; 2) (3 ; 6) (3 ; 3)
4 (2 ; 0) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 0) (6 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 0) (4 ; 4)
5 (2 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 2) (7 ; 1) (6 ; 2) (5 ; 5)
6 (3 ; 0) (2 ; 0) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 4) (7 ; 4) (6 ; 6)
7 (3 ; 1) (2 ; 1) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 6) (7 ; 7)
8 (4 ; 0) (2 ; 2) (2 ; 0) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 8)
9 (4 ; 1) (3 ; 0) (2 ; 1) (1 ; 4) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0)
Exemple : Dans la ligne 2 et la colonne 3, on lit le couple (6 ; 2). Cela signifie que, dans la division de 20 par 3, le quotient est 6 et le reste est 2.

Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.

Division par un nombre à un chiffreModifier

Avec le tableauModifier

La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.

Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.

On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.

9 5 7 3 ... 4
        ...  
  • Dans le tableau, 9/4 donne 2 avec pour reste 1. On écrit 2 à gauche et on remplace 9 par 1.
2 ... ... ... ... 1 5 7 3 ... 4
  ... ... ... ...         ...  
  • Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 2 ... ... ... 0 7 7 3 ... 4
    ... ... ...         ...  
  • Le poids fort est maintenant 7. Dans le tableau, 7/4 donne (1 ; 3). On ajoute donc 1 dans la rangée du quotient et on remplace 7 par 3.
2 3 ... ... ... 0 3 7 3 ... 4
    ... ... ...         ...  
  • Dans le tableau, 3/4 donne (7 ; 2).On change donc de rangée pour inscrire le quotient 7. On remplace alors 3 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 3 7 ... ... 0 0 9 3 ... 4
      ... ...         ...  
  • Le poids fort est maintenant 9. Dans le tableau, 9/4 donne (2 ; 1). On ajoute alors 2 dans le quotient dans la rangée du 7. On remplace 9 par 1.
2 3 9 ... ... 0 0 1 3 ... 4
      ... ...         ...  
  • Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 3 9 2 ... 0 0 0 5 ... 4
        ...         ...  
  • Le dernier nombre est 5. Dans le tableau, 5/4 donne (1 ; 1). On ajoute alors 1 dans le quotient dans la rangée du 2. On remplace 5 par 1.
2 3 9 3 ... 0 0 0 1 ... 4
        ...         ...  


Dans la division de 9573 par 4, le quotient est 2393 et le reste est 1.

Pour aller plus viteModifier

Si on connaît bien la technique de division vue dans notre enfance, on peut réduire un peu les étapes :

9 5 7 3 ... 4
        ...  
  • 9/4 donne (2 ; 1).
2 ... ... ... ... 1 5 7 3 ... 4
  ... ... ... ...         ...  
  • Puis 15/4 donne (3 ; 3) en changeant de colonne.
2 3 ... ... ... 0 3 7 3 ... 4
    ... ... ...         ...  
  • Puis 37/4 donne (9 ; 1) en changeant de colonne.
2 3 9 ... ... 0 0 1 3 ... 4
      ... ...         ...  
  • Puis 13/4 donne (3 ; 1) en changeant de colonne.
2 3 9 3 ... 0 0 0 1 ... 4
        ...         ...  

Le quotient est toujours 2393 et le reste est toujours 1.

Division par un nombre à plusieurs chiffresModifier

C'est la technique la plus compliquée. Il s'agit d'ôter le maximum de fois le diviseur du dividende. On peut s'y reprendre à plusieurs fois pour déterminer le quotient tant que le quotient est déterminé par défaut. Il faut donc arrondir par excès le diviseur. Dans ce cas, le tableau établi précédemment n'est plus vraiment d'utilité.

Voir l'exemple : Comment diviser 57 683 par 157.

Pour les nombres à virguleModifier

On peut rencontrer des virgules dans 3 types de situations :

  • quand le dividende et le diviseur sont entiers et que l'on veut prolonger le calcul du quotient au delà de la virgule. (cas 1)
  • quand le diviseur est entier et que le dividende est à virgule. (cas 2)
  • quand le diviseur est à virgule. (cas 3)

Quotient à virguleModifier

Pour prolonger une division entière au delà de la virgule, il faut réserver, à droite du dividende, autant de colonnes que de chiffres après la virgule que l'on souhaite. On identifie alors la colonne des unités par un marqueur. Et on opère la division comme dans les entiers. A l'instant où l'on passe au delà de la colonne unité, il faut identifier la colonne unité dans le quotient par un marqueur.

Voir l'exemple : division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule.

Dividende à virguleModifier

Si le dividende est à virgule, la technique est la même que précédemment. La difficulté consiste comme dans le cas précédent à bien identifier les colonnes unités dans le dividende et dans le quotient. On peut pour s'entraîner reprendre l'exemple de la division de 57 683 par 157 et effectuer la division de 576,83 par 157 pour repérer la colonne unité (le quotient doit être de 3,67).

Diviseur à virguleModifier

On ne sait pas faire au boulier une division par un nombre non entier. Il faut effectuer la division par le nombre entier puis multiplier le nombre final par la puissance de 10 adéquate.

Exemple : Pour diviser 576,83 par 15,7, il faut diviser 576,83 par 157, puis multiplier le résultat par 10 car on a divisé par un nombre 10 fois trop grand (le résultat est 36,7).