Photographie/Netteté des images/Profondeur de champ/Calcul de la profondeur de champ

On rappelle les données géométriques :

Calcul de a

Comme pour la profondeur de foyer, on établit des proportions dans des triangles semblables :

${\frac {\epsilon \,p'}{d}}={\frac {a'-p'}{a'}}=1-{\frac {p'}{a'}}$

Les formules habituelles des lentilles simples permettent d'écrire :

$p'={\frac {pf}{p-f}}\qquad a'={\frac {af}{a-f}}\qquad r'={\frac {rf}{r-f}}$

${\frac {\epsilon \,p'}{d}}={\frac {\epsilon \,p\,f}{d(p-f)}}=1-{\frac {pf}{p-f}}\cdot {\frac {a-f}{af}}={\frac {a(p-f)-p(a-f)}{a(p-f)}}={\frac {f(p-a)}{a(p-f)}}$

donc :

${\frac {\epsilon \,p\,f}{d(p-f)}}={\frac {f(p-a)}{a(p-f)}}$

${\frac {f}{d}}$ n'est autre que l'ouverture relative du diaphragme $n\,$. On remplace et on simplifie :

$\epsilon \,p\,n={\frac {f(p-a)}{a}}$

$\epsilon \,p\,n\,a=f(p-a)\qquad \to \qquad a(\epsilon pn+f)=pf\qquad \to \qquad a={\frac {p\,f}{\epsilon \,p\,n+f}}$

CQFD. Le calcul de $r\,$ se conduit exactement de la même manière.

Calcul de p

$\epsilon \,p\,n={\frac {f(p-a)}{a}}\qquad \to \qquad {\frac {\epsilon \,n}{f}}={\frac {p-a}{a\,p}}={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{p}}$

On fait de même pour $r\,$.

${\frac {\epsilon \,n}{f}}={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}}\qquad \to \qquad {\frac {2}{p}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{r}}\qquad \to \qquad p={\frac {2\,a\,r}{a+r}}$

Calcul de n

On part de $a\,$ et on remplace $p\,$ par la valeur qui vient d'être calculée :

$a={\frac {p\,f}{\epsilon \,p\,n+f}}={\frac {{\frac {2\,a\,r}{r+a}}f}{\epsilon \,{\frac {2\,a\,r}{r+a}}n+f}}={\frac {2\,a\,r\,f}{2\,a\,r\,\epsilon \,n+f(r+a)}}$

Ce qui donne :

$2\,a\,r\epsilon n+f(r+a)=2rf\qquad \to \qquad n={\frac {2\,\,fr-f(r+a)}{2ar\epsilon }}\qquad \to \qquad n={\frac {f(r-a)}{2\,a\,r\,\epsilon }}$