Mathc matrices/05w

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Théorie : Valeurs propres pour les programmeurs.

 En Mathématique :

 Soit A une matrice. 
 Soit T une transformation qui à tous vecteurs v fait correspondre le vecteur Av.

             T(v) = Av 
             
 Cette transformation peut faire subir aux vecteurs v, des rotations, des translations, des expansions...

 Une transformation particulière est celle qui se contente de modifier uniquement la longueur et le sens du vecteur.

             T(v) = Av 
             T(v) = λv 
             
 Dans ce cas particulier, on dit que λ est une valeur propre, et v est un vecteur propre de cette transformation.  

 Nous avons :

             T(v) = Av 
             T(v) = λv    
             
 Soit :
               Av = λv
                0 = λv - Av      Transposons Av
                0 = λ Id v - Av  Introduisons la matrice identité                               
                0 = (λ Id - A) v Factorisons v
                0 =       B    v Introduisons B = (λ Id - A)   
                
                0 =       B    v   Si B est Inversible         PROBLEME               
           invB 0 =    invB B  v   Simplifions
                0 =        id  v               
                0 =            v   Cela arrête l'algorithme              
               
                0 =       B    v   Si B n'est Pas Inversible   SOLUTION
           det(B) = 0              Le déterminant de B = 0
    det(λ Id - A) = 0              Ce qui donne 
    
    
 En Mathématique, cela nous permet d'obtenir le Polynôme caractéristique. 
 
                     det(λ Id - A) = 0          det(A - λ Id) = 0 
                     
    
                     | λ-a   -b |               | a-λ  b   |
                     |          | = 0           |          | = 0
                     |  -c  λ-d |               | c    d-λ |  
  
 Le développement du déterminant va nous donner un polynôme qui nous permettra de calculer les valeurs propres de A.

En programmation :

Nous allons utiliser  un algorithme itératif, qui utile la QR décomposition, pour calculer les valeurs propres de A.

Cet algorithme sera utilisé avec les matrices réelles et  les matrices  complexes. 

Pour les  matrices réelles non symétriques nous utiliserons une variante, qui nous demandera de participer aux calculs des valeurs propres.  
              
L'algorithme aura parfois des difficultés avec certaines  valeurs propres.