Mathc initiation/a00x
Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométrie
Vérifions si : cos(x+y) = [cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)] sin(x+y) = [cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)]
Prenons z1 et z2 deux nombres complexes sur le cercle trigonométrique (r=1).
Forme exponentielle Forme trigonométrique
z1 = e**(ix) = cos(x) + i sin(x)
z2 = e**(iy) = cos(y) + i sin(y)
z1*z2 = e**(ix)*e**(iy) = [cos(x) + i sin(x)] [cos(y) + i sin(y)] (a)
z1*z2 = e**[i(x+y)] donc = cos(x+y) + i sin(x+y) (b)
1) Développons (a) :
[cos(x) + i sin(x)] [cos(y) + i sin(y)] =
[cos(x) cos(y)+ i**2 sin(x)sin(y)] +
[cos(x) i sin(y)+ i sin(x)cos(y)] =
[cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)] +
i[cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)]
2) Comparons les parties réelles et imaginaires obtenu en (1) avec celles de z1*z2 (b) :
cos(x+y) = [cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)]
sin(x+y) = [cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)]