Manuel de géométrie vectorielle/Multiplication d'un vecteur par un nombre


Multiplication par un nombre positif

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Observons la figure suivante.

  • On a un vecteur  
  • Les points A, B et C sont tels que   et  

On a donc d'après la relation de Chasles

 

Et par conséquent

 

En algèbre on écrit couramment  . Faisons de même pour le vecteur   :

 

On obtient ainsi un vecteur noté   dont

  • la direction est celle du vecteur  
  • le sens est celui du vecteur  
  • la longueur est 2 fois celle du vecteur  

On définit ainsi la multiplication d'un vecteur par un réel positif :

Définition

  est un vecteur et k est un nombre positif. On note   le vecteur :

  • de même direction que le vecteur  
  • de même sens que le vecteur  
  • de longueur k fois la longueur du vecteur  


 
  et  

Multiplication par un nombre négatif

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On vient de voir quel sens donner au vecteur  . Quel sens donner au vecteur   ?

En appliquant les règles habituelles du calcul algébrique   doit désigner l'opposé du vecteur  .

  • On vient de voir comment construire le vecteur   au paragraphe précédent.
  • On a vu l'opposé d'un vecteur dans un chapitre précédent.

On peut alors effectuer la construction suivante avec :

  •  
  •  

Ainsi le vecteur   a

  • la même direction que le vecteur  
  • le sens contraire du vecteur  
  • 2 fois la longueur du vecteur  

On peut alors définir la multiplication d'un vecteur par un réel négatif :

Définition

  est un vecteur et k est un nombre négatif. On note   le vecteur :

  • de même direction que le vecteur  
  • de sens opposé au vecteur  
  • de longueur -k fois la longueur du vecteur  


 
  et  


 

Dans cette définition comme le nombre k est négatif, -k est un nombre positif. Par exemple avec  , nombre négatif, on a   qui est un nombre positif.

Une définition pour en remplacer deux

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Définition

Soit   un vecteur et   un nombre réel. On note   le vecteur :

  • de norme  
  • de même direction que   si  
  • de même sens que   si  ,
  • de sens opposé à   si  

Remarque : Si   alors par définition  


NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,

en ce sens que par exemple :
 
 

Règles de calcul sur les vecteurs

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Les opérations sur les vecteurs ont été définies en s'inspirant des règles de calcul algébriques. Il est donc naturel d'avoir les règles suivantes de calcul sur les vecteurs :

Propriété

  et   sont deux vecteurs et k un nombre :

 

Par exemple pour construire le vecteur   on peut

  • Construire le vecteur   somme des vecteurs   et  , puis multiplier cette somme par 2:


  • Ou construire séparément les vecteurs   et  , puis construire la somme des deux vecteurs ainsi obtenus :

Dans les deux cas, on a construit le même vecteur en vert.


Propriété

Si   est un vecteur et si a et b sont deux nombres.