Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité


Colinéarité de deux vecteurs du plan

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  et   sont parallèles : on dit que les vecteurs   et   sont colinéaires

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

Définition

  • Deux vecteurs non nuls   et   sont dit colinéaires s'ils ont la même direction
  • Le vecteur nul   est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

En observant le dessin de la définition précédente on constate que  . De manière générale, on a la propriété :


Propriété

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel   tel que :

  ou bien  

Application de la colinéarité

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Colinéarité et alignement

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Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

Les droites   et   sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs   et   sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.


Théorème

  • Si trois points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs   et   sont colinéaires.
  • Si les vecteurs   et   sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés

Colinéarité et parallélisme

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Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

Les droites   et   sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs   et  


Théorème

  • Si les droites   et   sont parallèles, alors les vecteurs   et   sont colinéaires.
  • Si les vecteurs   et   sont colinéaires, alors les droites   et   sont parallèles

Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

Propriété

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Théorème

Soit  (x;y) et  (x',y') deux vecteurs aux coordonnées non nulles.   et   sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y = 0

Exercices

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Points définis par une relation vectorielle

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Exercices

On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),

dans le plan muni d'un repère  .

NB : on choisira de petites unités, par exemple 0,5 cm pour une feuille A4.

1. Placer le point E défini par :  

2. Déterminer les coordonnées de E par le calcul.

3. Placer le point F défini par :  

4. Déterminer les coordonnées de F par le calcul.


Solution

Alignement

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Exercices

Dans le plan muni d'un repère  ,

on donne les points   et  .

Soient B et D tels que :

 

 

1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

2. Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.

3. Démontrer qu'O, M et N sont alignés.


Solution

Combinaison linéaire

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Exercices

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base  .

     

1. Déterminer les coordonnées de :

 

2.   peut-il s'écrire sous la forme :

 

x et y sont des nombres réels ?


Solution

Alignement et colinéarité

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Exercices

Soit A, B et C trois points non alignés.

1. Construire le point D tel que  :

 

2. Exprimer   en fonction de   et  .

3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.


Solution

Exercices

Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].

1. Expliquer pourquoi   en utilisant les mots norme,direction, sens.

2. En partant de  , démontrer que :  

3. En partant de  , démontrer que :  


Solution

Trapèze

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Exercices

On considère dans un repère orthonormé les points :

 


La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.

1. Démontrer que les vecteurs   et   sont colinéaires.

2. Déterminer le réel   tel que :

 .

3. En déduire que le quadrilatère ABCD est non croisé.

4. Démontrer que les segments   et   ont même longueur.

5. Conclure quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.


Solution