Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité
Colinéarité de deux vecteurs du plan
modifierLa notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :
Définition |
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En observant le dessin de la définition précédente on constate que . De manière générale, on a la propriété :
Propriété |
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel tel que :
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Application de la colinéarité
modifierColinéarité et alignement
modifierPrenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :
Les droites et sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs et sont colinéaires.
Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.
Théorème |
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Colinéarité et parallélisme
modifierCette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.
Les droites et sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs et
Théorème |
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Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.
Propriété
modifier
Théorème |
Soit (x;y) et (x',y') deux vecteurs aux coordonnées non nulles. et sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y = 0 |
Exercices
modifierPoints définis par une relation vectorielle
modifierExercices
On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),
- dans le plan muni d'un repère .
NB : on choisira de petites unités, par exemple 0,5 cm pour une feuille A4.
1. Placer le point E défini par :
2. Déterminer les coordonnées de E par le calcul.
3. Placer le point F défini par :
4. Déterminer les coordonnées de F par le calcul.
Solution
Alignement
modifierExercices
Dans le plan muni d'un repère ,
- on donne les points et .
Soient B et D tels que :
1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
2. Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.
3. Démontrer qu'O, M et N sont alignés.
Solution
Combinaison linéaire
modifierExercices
On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base .
1. Déterminer les coordonnées de :
2. peut-il s'écrire sous la forme :
où x et y sont des nombres réels ?
Solution
Alignement et colinéarité
modifierExercices
Soit A, B et C trois points non alignés.
1. Construire le point D tel que :
2. Exprimer en fonction de et .
3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.
Solution
Milieu
modifierExercices
Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].
1. Expliquer pourquoi en utilisant les mots norme,direction, sens.
2. En partant de , démontrer que :
3. En partant de , démontrer que :
Solution
Trapèze
modifierExercices
On considère dans un repère orthonormé les points :
La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.
1. Démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.
2. Déterminer le réel tel que :
.
3. En déduire que le quadrilatère ABCD est non croisé.
4. Démontrer que les segments et ont même longueur.
5. Conclure quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.
Solution