Manuel de géométrie vectorielle/Coordonnées du barycentre

Coordonnées du barycentre dans le plan

On munit le plan d'un repère ${\mathcal {R}}=(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$.

Barycentre de 2 points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}(x_{A},y_{A})\,$ et ${\rm {B}}(x_{B},y_{B})\,$. Les coordonnées du barycentre ${\rm {G}}(x_{G},y_{G})\,$ du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ sont : ${\begin{cases}\displaystyle {x_{G}={\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}}{\alpha +\beta }}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}}{\alpha +\beta }}\\\end{cases}}$

Barycentre de 3 points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}(x_{A},y_{A})\,$, ${\rm {B}}(x_{B},y_{B})\,$ et ${\rm {C}}(x_{C},y_{C})\,$ Les coordonnées de G dans ${\mathcal {R}}$ sont : ${\begin{cases}x_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C}}{\alpha +\beta +\gamma }}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C}}{\alpha +\beta +\gamma }}\\\end{cases}}$

Barycentre de n points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}_{1}(x_{1},y_{1}),~{\rm {A}}_{2}(x_{2},y_{2}),~\cdots ,~{\rm {A}}_{n}(x_{n},y_{n})$ Les coordonnées de G dans ${\mathcal {R}}$ sont : ${\begin{cases}x_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\cdots +\alpha _{n}y_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}\end{cases}}$

Coordonnées du barycentre dans l'espace

On munit l'espace d'un repère ${\mathcal {R}}=(O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$.

Barycentre de 2 points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}(x_{A},y_{A},z_{A})\,$ et ${\rm {B}}(x_{B},y_{B},z_{B})\,$. Les coordonnées du barycentre ${\rm {G}}(x_{G},y_{G},z_{G})\,$ du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ sont : ${\begin{cases}\displaystyle {x_{G}={\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}}{\alpha +\beta }}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}}{\alpha +\beta }}\\z_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha z_{A}+\beta z_{B}}{\alpha +\beta }}\\\end{cases}}$

Barycentre de 3 points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}(x_{A},y_{A},z_{A})\,$, ${\rm {B}}(x_{B},y_{B},z_{B})\,$ et ${\rm {C}}(x_{C},y_{C},z_{C})\,$ Les coordonnées de G dans ${\mathcal {R}}$ sont ${\begin{cases}x_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C}}{\alpha +\beta +\gamma }}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C}}{\alpha +\beta +\gamma }}\\z_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha z_{A}+\beta z_{B}+\gamma z_{C}}{\alpha +\beta +\gamma }}\\\end{cases}}$

Barycentre de n points pondérés

Propriété

Dans ${\mathcal {R}}$, on a ${\rm {A}}_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),~{\rm {A}}_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),~\cdots ,~{\rm {A}}_{n}(x_{n},y_{n},z_{n})$ Les coordonnées de G dans ${\mathcal {R}}$ sont : ${\begin{cases}x_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}\\y_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{2}+\cdots +\alpha _{n}y_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}\\z_{G}=\displaystyle {\frac {\alpha _{1}z_{1}+\alpha _{2}z_{2}+\cdots +\alpha _{n}z_{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}\\\end{cases}}$