Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 3 points pondérés ou plus

Barycentre de trois points pondérés

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Définition

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Définition

Soient A, B et C trois points. Soient  ,   et   trois réels vérifiant  .

Le barycentre du système de points pondérés   est l'unique point G qui vérifie

 

Si  , le barycentre n'existe pas.

Exemple
Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.

Localisation

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Soit G le barycentre du système de points pondérés   (avec  ).

On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :

 

 

 


Propriétés

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On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés   existe, c'est-à-dire  

Coplanarité

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Propriété

Comme  , alors  

Invariance par multiplication par un réel non nul

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Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.


Démonstration

  donc  

De plus, comme   et que  , on a bien  

Donc G est le barycentre du système de points pondérés  

Égalité valable en tout point

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Propriété

Pour tout point M :

 


 

Les intérêts de cette formule sont multiples :

  • Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B,C) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
  • Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

Barycentre de n points pondérés

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On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.

Définition

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Définition

Soient   n points. Soient   n réels vérifiant  .

Le barycentre du système de points pondérés   est l'unique point G qui vérifie

 

Si  , le barycentre n'existe pas.


Exemple

Soit G le barycentre du système de points pondérés   (qui existe car  ), donc il vérifie l'égalité  

Propriétés

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On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés   existe, c'est-à-dire  .

Invariance par multiplication par un réel non nul

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Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de n points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Égalité valable en tout point

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Propriété

Pour tout point M :