Méthode des éléments finis/Propriétés des éléments

Introduction

Les éléments sont pour l'instant des objets géométriques (des coordonnées de points). Il faut leur donner des propriétés :

numériques, permettant la linéarisation des équations différentielles et l'interpolation des valeurs en tous points ;
physiques, permettant de paramétrer les équations différentielles.

Propriétés numériques

Éléments de référence

Les éléments ont une forme, typiquement :

éléments linéïques :
- linéaire (rectiligne, segment de droite passant par deux nœuds),
- quadratique (courbe passant par trois nœuds),
- cubique (courbe passant par quatre nœuds) ;
éléments coque :
- triangulaire
  - linéaire (élément plan, les côtés étant rectilignes),
  - quadratique (les côtés sont courbes et passent par trois nœuds),
  - cubique (les côtés sont courbes et passent par quatre nœuds),
- quadrangulaire (« carré »),
  - linéaire,
  - quadratique,
  - cubique ;
éléments volumiques :
- tétraèdre
  - linéaire (les côtés sont rectilignes),
  - quadratique (les côtés sont courbes et passent par trois nœuds),
  - cubique (les côtés sont courbes et passent par quatre nœuds),
- hexaèdre (« cube »),
  - linéaire,
  - quadratique,
  - cubique,
- pentaèdre (« prisme »),
  - linéaire,
  - quadratique,
  - cubique.

Les éléments de référence sont des éléments dont les points ont des coordonnées simples ; ils sont inscrits dans un cube dont les sommets ont pour coordonnées -1, 0 ou 1. Chaque élément du modèle peut être vu comme une transformation — une déformation associé à une translation et une rotation — de l'élément de référence.

Points de Gauss

Fonction de forme

Propriétés physiques

Les propriétés physiques dépendent du type de problème traité. Dans le cas d'une étude de mécanique, il s'agit essentiellement :

pour tous les types d'éléments : de la masse volumique de la matière (si l'on applique la gravité ou bien un champ d'accélération) et des propriétés élastiques (module de Young, module de Poisson, …) ;
pour les éléments plaque ou coque : de l'épaisseur ;
pour les éléments linéïques (poutres) : de la forme de la section droite.

Il peut aussi y avoir des paramètres « comportementaux ». Par exemple, pour simuler une élingue ou un ressort de traction, on peut imposer à un élément poutre de ne pouvoir être qu'en traction.

Une méthode appelée « étude d'influence » consiste à modifier les propriétés physiques de certains éléments pour voir leur importance. Par exemple, si l'on cherche à rigidifier une structure, on peut utiliser un module de Young plus grand (par exemple multiplié par 5 ou 10) sur une pièce ou un sous-ensemble, et voir ainsi quel est le sous-ensemble dont la rigidification apporterait le plus de bénéfice. Cela permet de guider la reconception.

Notes et références

Mailler un ensemble < > Modèle de poutres avec RDM Le Mans