Discussion:Algèbre/Théorie élémentaire des ensembles

Sous-ensemble, partie d'un ensemble

Bonjour. Il me semble qu'il y a une erreur dans la démonstration de la seconde propriété :

$(\forall E,\forall F,\left((E\subset F)\land (F\subset E\right)))\Leftrightarrow (E=F)$.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles

Notons $G=\{x\;|\;x\in E{\mbox{ et }}x\in F\}$. $G$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $E$ et à $F$ (en fait $G=(F\bigcap E)$).

Supposons $(E\subset F$ et $F\subset E)$

Remarquons que :

$(E\subset F)$

$\Leftrightarrow {\mbox{Tout element de E appartient a F}}$

$\Leftrightarrow (F=G)$ C'est E = G. En effet, ici $E=(F\bigcap E)$ tandis que $F=(F\cup E)$

De même on a

$(F\subset E$)

$\Leftrightarrow {\mbox{Tout element de F appartient a E}}$

$\Leftrightarrow (E=G)$ C'est F = G

On a montré $(E\subset F\wedge F\subset E)\Leftrightarrow (F=G=E)$

Je ne me permets jamais de corriger directement un article de Mathématiques à cause de mon niveau, mais je me permets de faire ce petit commentaire qui sera peut être utile.

Coelacanthe 15 février 2007 à 19:33 (CET)

Bonne observation. Non seulement la démo était effectivement fausse, mais c'était complètement n'importe quoi. Il n'y a pas à démontrer, et surtout pas de façon compliquée, ce qui n'est qu'une expression de l'axiome d'extensionalité.

Autres pages wiki sur le même thème:

http://fr.wikiversity.org/wiki/Ensemble_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikiversity.org/wiki/Relation_%28math%C3%A9matiques%29

Une approche de beaucoup plus haut niveau sur le fondement des maths:

Fondements des mathématiques

http://fr.wikiversity.org/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques

Mon propre travail de mise au clair de toutes ces questions, pour une théorie élementaire des ensembles mais en version très approfondie: http://spoirier.lautre.net/logique.htm --Spoirier 23 avril 2007 à 17:25 (CEST)