Cristallographie géométrique/Symétrie translatoire

Groupe des translations

Définition, propriétés

Considérons l'ensemble infini des translations t d'un réseau de dimension n. Soit une loi interne de composition • telle que la composition des translations t₁ et t₂, de vecteurs τ₁ et τ₂, produit une translation t₃ de vecteur τ₃=τ₁+τ₂ : t₁•t₂=t₃. L'ensemble des translations du réseau muni de la loi interne • forme un groupe, noté T_n, dont les éléments sont les translations du réseau. En effet :

• la composition de deux translations t₁ et t₂ de vecteurs τ₁ et τ₂ quelconques produit une translation t₃ qui est aussi un élément de T_n : le groupe est clos ;
• la loi de composition est associative : (t₁•t₂)•t₃=t₁•(t₂•t₃) ;
• il existe un élément neutre e tel que e•t=t•e=t : e est la translation de vecteur nul ;
• tout élément t possède un élément inverse t⁻¹, tel que t•t⁻¹=t⁻¹•t=e : si t est une translation de vecteur τ, t⁻¹ est la translation de vecteur −τ.

D'autre part, le groupe des translations T_n est un groupe abélien : pour tout couple de translations t₁ et t₂, t₁•t₂=t₂•t₁, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont effectuées les translations ne change pas le résultat. Par simplicité de notation, on écrira par la suite t₁t₂ au lieu de t₁•t₂.

L'« ordre » d'un groupe est le nombre d'éléments qui le forment. Le groupe des translations T_n contient une infinité d'opérations de translations, son ordre est donc $\infty$.

Éléments générateurs

Les translations de vecteurs de base e_i du réseau (avec la translation de vecteur nul qui est l'élément neutre) permettent par l'application de la loi de composition de reconstruire l'ensemble des éléments du groupe T_n. Les translations de vecteur e_i forment un « jeu de générateurs » du groupe T_n. Ce jeu de générateurs contient un nombre fini d'éléments, plus précisément, le nombre d'éléments générateurs de T_n est égal à la dimension n de l'espace dans lequel ont lieu les translations. Dans l'espace bidimensionnel, les éléments générateurs de T₂ sont les translations des vecteurs a et b, t_a et t_b. Dans l'espace tridimensionnel, les éléments générateurs de T₃ sont les translations des vecteurs a, b et c, t_a, t_b et t_c.

Sous-groupes

Le groupe des translations T_n contient une infinité de sous-groupes. Les « sous-groupes triviaux » de T_n sont T_n lui-même et le groupe ne contenant que l'élément neutre, E (ceci est valable pour tous les groupes). Les autres sous-groupes de T_n sont les « sous-groupes propres » de T_n et sont formés par l'application de la loi de composition sur un jeu de générateurs contenant un nombre de translations de vecteurs de base inférieur à n, ou sur un jeu de générateurs contenant des translations de vecteurs multiples des vecteurs de base, etc. La notation U<T signifie que le groupe U est un sous-groupe de T.

Par exemple, le groupe T_a formé par les translations t_a de vecteurs combinaisons linéaires de τ_a=a est un sous-groupe de T₃ :

• la composition de deux éléments de T_a produit un élément qui appartient à T_a et T₃ ;
• comme pour T₃, la loi de composition est associative ;
• e est un élément de T_a ;
• pour chaque élément de T_a, il existe un élément inverse ;
• le groupe T_a n'est pas vide ;
• tous les éléments de T_a sont aussi éléments de T₃ : T_a est inclus dans T₃.

Les vecteurs des translations de T_a sont tous parallèles à la direction a.

De même, le groupe T_a,b+c formé par les translations t_a et t_b+c de vecteurs combinaisons linéaires de τ_a=a et τ_b+c=b+c est un sous-groupe de T₃. Les vecteurs des translations de T_a,b+c sont tous parallèles au plan (a,b+c).

De manière générale, le groupe T_m d'un réseau de dimension m est un sous-groupe de T_n si m est inférieur ou égal à n.

Isomorphisme

Deux groupes T et U d'éléments t et u sont isomorphes si il existe une application bijective f telle que pour tout élément t_i de T, f(t_i)=u_j, et qui préserve la structure de groupe, et dont l'application réciproque f⁻¹, telle que pour tout élément u_i de U, f⁻¹(u_i)=t_j, préserve aussi la structure de groupe. D'autre part, f doit vérifier les relations suivantes :

${\begin{array}{ccc}f(t_{i}t_{j})=f(t_{i})f(t_{j}),&&f^{-1}(u_{i}u_{j})=f^{-1}(u_{i})f^{-1}(u_{j}).\end{array}}$

Les relations d'isomorphisme entre groupes permet de les classer en « classes d'isomorphisme » ou « groupes abstraits », qui contiennent des groupes de mêmes propriétés. En particulier, deux groupes isomorphes ont le même ordre.

Par exemple, dans l'espace unidimensionnel, soit T le groupe contenant l'ensemble des translations de réseau dont l'élément générateur est la translation t_a de vecteur a. Soit U le groupe dont l'élément générateur est la translation u_2a=t_2a de vecteur 2a. U est un sous-groupe non trivial de T : il est inclus dans T mais il ne contient pas toutes les translations de vecteurs combinaisons linéaires impaires de a, (2n+1)a où n est un nombre entier. Soit f l'application qui associe à une translation t_na de T la translation de vecteur double : t_2na est un élément de U (et de T). La condition f(t₁t₂)=f(t₁)f(t₂) est vérifiée : le vecteur double de la translation t₁t₂ est égal à la somme des doubles des vecteurs des translations t₁ et t₂. L'application réciproque de f est f⁻¹ qui associe à une translation u_2na de U la translation de vecteur moitié : t_na est un élément de T (mais pas forcément de U si n est impair). La condition f⁻¹(u₁u₂)=f⁻¹(u₁)f⁻¹(u₂) est aussi vérifiée. Les deux groupes U et T sont donc isomorphes.

Par contre, dans le premier exemple tridimensionnel de la section précédente, le sous-groupe T_a de T₃ n'est pas isomorphe à T₃ : il n'existe pas d'application permettant d'associer de manière unique à tout élément de T₃ un élément de T_a.