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Un groupe est un couple
(
G
,
T
)
{\displaystyle (G,T)}
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
Tout élément de
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
Caractérisation d'un sous-groupe
modifier
Soit
(
G
,
T
)
{\displaystyle (G,T)}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
H
{\displaystyle H}
H
⊂
G
{\displaystyle \scriptstyle H\subset G}
H
≠
∅
{\displaystyle \scriptstyle H\neq \varnothing }
∀
(
x
,
y
)
∈
H
2
,
x
T
y
∈
H
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in H^{2},xTy\in H}
∀
x
∈
H
,
x
−
1
∈
H
{\displaystyle \scriptstyle \forall x\in H,x^{-1}\in H}
Soit
(
G
,
T
)
{\displaystyle (G,T)}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
T
{\displaystyle T}
H
{\displaystyle H}
H
⊂
G
{\displaystyle \scriptstyle H\subset G}
H
≠
∅
{\displaystyle \scriptstyle H\neq \varnothing }
∀
(
x
,
y
)
∈
H
2
,
x
T
y
−
1
∈
H
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in H^{2},xTy^{-1}\in H}
Homomorphisme de groupes
modifier
Soit
(
G
,
T
)
{\displaystyle (G,T)}
(
G
′
T
′
)
{\displaystyle (G'T')}
f
:
G
→
G
′
{\displaystyle \scriptstyle f:G\rightarrow G'}
∀
(
x
,
y
)
∈
G
2
,
f
(
x
T
y
)
=
f
(
x
)
T
′
f
(
y
)
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in G^{2}\!,\,f(xTy)=f(x)T'f(y)}
Un anneau est un triplet
(
A
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (A,+,*)}
A
{\displaystyle A}
(
A
,
+
)
{\displaystyle (A,+)}
(dont l'élément neutre sera noté
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
une multiplication
∗
{\displaystyle *}
interne
associative
à élément neutre noté
1
A
{\displaystyle 1_{A}}
(supposé différent de
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition :
∀
(
a
,
b
,
c
)
∈
A
3
,
(
a
+
b
)
∗
c
=
a
∗
c
+
b
∗
c
et
c
∗
(
a
+
b
)
=
c
∗
a
+
c
∗
b
{\displaystyle \scriptstyle \forall (a,b,c)\in A^{3}\!,\,(a+b)*c=a*c+b*c{\text{ et }}c*(a+b)=c*a+c*b}
Caractérisation d'un sous-anneau
modifier
L'ensemble
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
+
{\displaystyle +}
∗
{\displaystyle *}
B
⊂
A
{\displaystyle \scriptstyle B\subset A}
1
A
∈
B
{\displaystyle \scriptstyle 1_{A}\in B}
∀
(
x
,
y
)
∈
B
2
,
x
−
y
∈
B
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in B^{2},x-y\in B}
∀
(
x
,
y
)
∈
B
2
,
x
∗
y
∈
B
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in B^{2},x*y\in B}
Un corps
(
K
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (K,+,*)}
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
∗
{\displaystyle *}
Q
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }
Caractérisation d'un sous-corps
modifier
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
L
⊂
K
{\displaystyle \scriptstyle L\subset K}
1
K
∈
L
{\displaystyle \scriptstyle 1_{K}\in L}
∀
(
x
,
y
)
∈
L
2
,
x
−
y
∈
L
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in L^{2}\!,\,x-y\in L}
∀
(
x
,
y
)
∈
L
2
,
x
∗
y
∈
L
{\displaystyle \scriptstyle \forall (x,y)\in L^{2}\!,\,x*y\in L}
∀
x
∈
L
∖
{
0
K
}
,
x
−
1
∈
L
{\displaystyle \scriptstyle \forall x\in L\setminus \{0_{K}\},\,x^{-1}\in L}
