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Cosmologie

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Le paradoxe d'Olbers

Nous allons commencer ce cours avec une question simple, qui est paradoxalement une excellente introduction à la cosmologie :

Pourquoi la nuit est-elle noire ?

Cette question peut sembler étrange, tant nous sommes habitués à voir les étoiles sur un fond noir. Bien que la lumière artificielle nous cache les étoiles et éclaire le ciel nocturne, nous savons que cette lumière cache le noir de la nuit, ses étoiles et la Lune. Mais pour un scientifique, même les choses évidentes sont dignes d'intérêt et demandent à être expliquées.

Les astronomes de l'antiquité n'étaient eux-mêmes pas surpris par l'obscurité de la nuit. Pour simplifier, ils pensaient les étoiles attachées à une sphère céleste, une sorte de sphère/coupole géante qui recouvre le ciel. S'ils supposaient que la Terre tourne sur elle-même, ils supposaient la sphère céleste fixe, expliquant le mouvement des étoiles au cours de la nuit et des saisons. Pour être plus précis, leur pensée utilisait plusieurs sphères : une pour le Soleil, une pour la Lune, une pour les étoiles proches, une pour les étoiles fixes des constellations (la plus lointaine) et bien d'autres. L'explication au noir de la nuit était que les étoiles étaient en nombre limitées et à des endroits bien précis, elles ne recouvraient pas entièrement le ciel. Beaucoup de savants avaient compris que ce modèle de sphères concentriques était un artifice de calcul utile, mais fondamentalement faux. Néanmoins, l'explication fondamentale au noir de la nuit restait valide : il n'y avait pas assez d'étoiles pour illuminer le ciel.

Terre dans la sphère céleste.

Sphères célestes emboîtées d'Anaximandre.

Avec les progrès de l'astronomie, et notamment l'arrivée des modèles géocentriques et héliocentriques, ce modèle de sphères emboîtées fût remis en cause. Pour les astronomes du moyen-âge et de la renaissance, les étoiles et astres n'étaient pas fixés sur des sphères proches, mais peuvent emplir tout l'espace. Leur vision de l'univers évolua vers un modèle d'univers infini, immobile, éternel, homogène. Par immobile, on veut dire que les effets de la gravité des astres s'annulent mutuellement sur de grandes distances. Chaque galaxie s'éloigne ou se rapproche de la nôtre, mais dans l'ensemble, ces différents mouvements se compensent et la moyenne des vitesses des galaxies est nulle. Par infini, on veut dire que l'univers a un volume infini : il n'a pas de début ni de fin, pas de frontières ou de bords, etc. Par éternel, on veut dire qu'il a un âge infini, qu'il n'a pas de début et de fin. Et par homogène, on veut dire que la répartition des étoiles est supposée globalement uniforme à grande échelle.

Mais les astronomes du moyen-âge et de la renaissance comprirent rapidement que le noir de la nuit était incompatible avec ce qu'ils savaient de l'univers.

Le paradoxe d'Olbers

Le modèle d'un univers infini, immobile, éternel, homogène est assez logique, limite intuitive, mais elle entre en conflit avec le noir de la nuit. Plusieurs savant ont en effet montré qu'un tel univers devrait avoir une nuit extrêmement lumineuse, et certainement pas une nuit noire. Cela peut paraitre étonnant, mais plusieurs astronomes l'ont déduit mathématiquement ou sur la base d'arguments logiques. C'est un paradoxe, appelé paradoxe d'Olbers, nommé ainsi en l'honneur d'Olbers , un des astronomes à avoir évoqué ce paradoxe. D'autres astronomes avaient autrefois évoqué ce paradoxe, comme Thomas Digges en 15764, Johannes Kepler en 1605 ou Edmond Halley au XVIIIe siècle, mais pas aussi explicitement qu'Olbers.

Nombre d'étoiles visibles depuis la Terre en fonction de leur distance.

Logiquement, on s'attend à ce que la nuit soit noire car les étoiles lointaines nous envoient directement moins de lumière que les étoiles proches. Après tout, la lumière émise par un objet est répartie dans toutes les directions, ce qui fait que plus un objet est lointain, moins on reçoit sa lumière. La luminosité perçue depuis la Terre diminue avec la distance, et plus précisément avec le carré de la distance. Mais il se trouve que le diamètre apparent fait de même. Le résultat est que pour une portion du ciel d'une surface bien précise, on peut mettre soit peu d'étoiles proches, soit beaucoup d'étoiles lointaines. Il se trouve que sous certaines conditions, respectées dans l'univers infini, éternel et homogène, les deux phénomènes se compensent et que la luminosité d'une portion du ciel est globalement constante.

La lumière des étoiles se déplaçant dans le vide intersidéral en ligne droite, les étoiles sont visibles depuis la Terre tant qu'il n'y a pas d'obstacle entre elles et la Terre. Or, si l'univers est infini, éternel et homogène, alors on est certain qu'en tout point du ciel, on tombera sur au moins une étoile. Si l’univers est infini, il contient une infinité d'étoiles. Et s'il existe depuis un temps infini, la lumière de toutes ces étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre. En conséquence, le ciel devrait être éclairé par une infinité d'étoiles. La répartition homogène des étoiles assure que ces étoiles soient réparties équitablement sur la sphère céleste, ce qui fait que peu importe où on regarde de la voûte céleste, on devrait y voir une étoile à cet endroit.

Avec ces conditions, la baisse de quantité de lumière reçue avec la distance est compensée par le plus grand nombre d'étoiles observables. Le schéma ci-contre illustre ce fait. Pour résumer, le ciel devrait être empli de lumière, cachant totalement le Soleil. C'était pour eux un paradoxe, appelé paradoxe d'Olbers, du nom de l'astronome qui le formalisa (d'autres astronomes, comme Kepler, avaient cependant mentionné ce paradoxe dans certains écrits, mais pas aussi explicitement qu'Olbers).

Pour mieux comprendre le problème, nous allons reprendre un développement mathématique assez connu qui formalise l'argument d'Olbers.

Modélisation de la répartition des étoiles

En premier lieu, on découpe l'univers en sphères concentriques. Chaque couche, chaque sphère, a une épaisseur $D$ égale à la distance moyenne entre deux étoiles. De plus, chaque couche est à une distance $R$ de la Terre.

Illustration d'une couche sphérique dans la démonstration d'Olbers.

Calcul du nombre d'étoile dans chaque couche

En second lieu, on calcule le nombre d'étoiles présentes dans chaque "sphère", dans chaque coque.

Pour cela, on utilise l'hypothèse suivante :

H1 : Les étoiles sont uniformément réparties.

Cette hypothèse dit que la densité d'étoile, à savoir le nombre d'étoiles par unité de volume, est constante. Dans ce qui suit, nous allons la noter $n$.

Chaque "sphère", chaque coque, contient un nombre d'étoile égal à son volume multiplié par $n$ :

$N=n\times V$

Le volume d'une coque est approximativement égal à sa surface S multipliée par son épaisseur (la distance moyenne entre deux étoiles, notée D), ce qui donne :

$V=S\times R=4\pi R^{2}\times D$

En combinant les deux équations précédentes, on a :

$N=n\times 4\pi R^{2}\times D$

Calcul du flux de lumière émis par les étoiles d'une couche

En troisième lieu, on calcule le flux de lumière émis par une couche.

Pour cela, on part de l'hypothèse suivante :

H2 : Toutes les étoiles ont la même luminosité L.

On va utiliser cette hypothèse pour calculer le flux de lumière de chaque étoile. La physique du rayonnement nous dit que ce flux est égal à :

$f_{etoile}={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

Le flux émis par toutes les étoiles d'une couche est la somme des flux de chaque étoile de la couche :

$f_{couche}=f_{etoile}\times N=N\times {\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

On utilise alors l'équation $N=n\times 4\pi R^{2}\times D$, démontrée plus haut :

$f_{couche}=(n\times 4\pi R^{2}\times D)\times {\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

On simplifie :

$f_{couche}=n\times D\times L$

Cette équation nous dit que toutes les couches émettent la même quantité de lumière, ce qui n'est pas intuitif...

Calcul de la luminosité du ciel

En quatrième lieu, on combine la luminosité de toutes les couches pour trouver la luminosité totale du ciel.

Pour cela, on utilise les hypothèses suivantes :

H3 : Toutes les étoiles sont visibles depuis la Terre, il n'y a pas d'obstacle entre une étoile et la Terre.

Cela signifie qu'il faut prendre en compte toutes les couches dans le calculs.

H4 : L'univers est infini.

Le fait que l'univers est infini nous dit qu'il existe une infinité de couches concentriques.

H4 : L'univers est éternel.

Le fait que l'univers est éternel nous dit que la lumière de toutes les étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre.

Illustration du paradoxe d'Olbers, en ajoutant progressivement chaque couche d'étoiles.

Il faut donc additionner la luminosité de toutes les couches existantes pour trouver le flux de lumière visible dans le ciel, en faisant une intégrale. Nous n'allons pas faire le calcul, car il se trouve qu'on obtient un résultat infini. Intuitivement, la troisième étape suffit à comprendre pourquoi : chaque couche a une luminosité finie et identique à celle des autres couches, et il y a une infinité de couches. Le ciel devrait être infiniment lumineux !

Les "solutions" du paradoxe d'Olbers

Divers savants se sont écharpés sur le paradoxe d'Olbers et de nombreuses réponses y ont été apportées. La démonstration d'Olbers n'ayant pas de problèmes mathématiques particuliers, il fallu se rendre à l'évidence : certaines hypothèses utilisées dans la démonstration sont fausses. Reste à trouver lesquelles.

On peut remettre en cause l'hypothèse de la luminosité fixe des étoiles, mais cela ne mène à rien. Même en supposant que certaines étoiles émettent peu ou pas de lumière, on se retrouve quand même avec une somme infinie.

Remettre en cause la répartition des étoiles a été envisagé, notamment dans des théories qui supposaient que la répartition des étoiles/galaxies était une distribution fractale. Ces théories sont cependant restées au stade de théories irréalistes, dont l'utilité est de montrer que telle piste de recherche est envisageable. La raison à cela est que les résultats empiriques ne suivent pas : dans ces théories, on devrait avoir des endroits du ciel qui seraient extrêmement lumineux, bien plus que le Soleil. Les observations astronomiques montrent de plus que si l'univers est assez hétérogène à petite distance, il est fortement homogène à grande distance.

Une première possibilité "crédible" était que les étoiles lointaines ne sont pas visibles depuis la Terre. Leur lumière est bien émise mais n'arrive pas à destination, reste à en trouver la raison. Une première explication fût que la lumière était absorbée par des nuages de gaz, de poussière, ou tout autre obstacle entre les étoiles et la Terre. Mais cette explication était incorrecte. L'obstacle en question absorbe le rayonnement de l'étoile, ce qui le chauffe. Or, tout corps chauffé émet un rayonnement dit de corps noir, dont l'intensité augmente avec la température. À force de chauffer, l'obstacle atteint une température d'équilibre, où le rayonnement absorbé par l'obstacle est intégralement réémis vers la Terre. L'obstacle est alors aussi lumineux que l'étoile qui le chauffe. Retour à la case départ.

La seule solution est que l'univers n'est pas infini et/ou qu'il a un âge fini. Les deux solutions font que l'on ne doit additionner que les couches les plus proches de la Terre, situées en-dessous d'un rayon maximal $R_{max}$.

• Si l'univers a un volume fini, il a de de facto un rayon maximal $R_{max}$.
• S'il a un âge fini $T_{univers}$, la lumière des étoiles très éloignées n'a pas eu le temps d'arriver sur Terre. Au-delà de la distance $R_{max}=T_{univers}\times c$ ($c$ est la vitesse de la lumière), la lumière n'a pas encore pu arriver jusqu’à la Terre.

L'expansion de l'univers

Expansion de l'univers, image d'artiste.

Dès 1918, les astronomes ont entrepris de mesurer la vitesse de galaxies à partir de la lumière qu'elles émettent. Les observations actuelles utilisent soit des étoiles variables (des céphéides), soit des étoiles qui explosent : les supernovas. Plus précisément, les astronomes utilisent une classe bien précise de supernovas, qui ont pour particularité de générer systématiquement la même luminosité : les supernovas de type Ia. La luminosité perçue depuis la Terre de ces supernovas est proportionnelle à la distance. Et les observations ne collent pas du tout avec cette hypothèse ! Dans les grandes lignes, on observe que les galaxies s'éloignent plus qu'elles ne se rapprochent. La conclusion est claire : l'univers s'étend, gonfle.

La loi de Hubble

Illustration de la relation entre la vitesse de fuite d'une galaxie et sa distance.

Hubble a été le premier astronome à mettre en équation ce comportement, dans son article daté de 1929. Il étudia un grand nombre d'observations provenant de ses collègues, ainsi que les observations qu'il avait effectuées lui-même. De ces observations, il induit une loi statistique, du nom de loi de Hubble. Cette loi dit que la vitesse d'éloignement d'une galaxie est proportionnelle à sa distance. Dit autrement, cette loi est identique à la formule qui suit, dans laquelle v est la vitesse de fuite, D la distance de la galaxie et H un facteur de proportionnalité nommée paramètre de Hubble.

$v(D)=H\times D$

Vous avez peut-être déjà entendu parler de la constante de Hubble pour désigner le paramètre de Hubble. C'était le terme utilisé au tout début de la cosmologie moderne, à une époque où on pensait qu'il s'agissait d'un paramètre constant. Mais il est aujourd'hui acquis que le paramètre de Hubble varie dans le temps. Ce n'est donc pas une constante, d'où le fait que nous parlerons de paramètre de Hubble dans de cours.

La valeur du paramètre de Hubble

Mesures récentes du paramètre de Hubble.

Formellement, le paramètre de Hubble est égal à une vitesse divisée par une distance, ce qui fait qu'elle est l'inverse d'un temps. Le paramètre de Hubble H a donc pour unité $s^{-1}$, soit l'inverse d'une seconde. Mais dans les faits, les astronomes l'expriment en kilomètres par seconde par mégaparsecs (km/s/Mpc ou $km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1}$. Pour rappel, le mégaparsec est une unité astronomique qui vaut environ 3,26 millions d'années-lumière. Avec de telles unités, le paramètre de Hubble actuel, mesuré aujourd'hui, vaudrait approximativement :

$H\approx 70\cdot km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1}$

Les mesures du paramètre de Hubble sont assez nombreuses, mais elles semblent converger vers la valeur de 70 mentionnée plus haut, avec cependant des incertitudes de mesure non-négligeables. Pour vous donner quelques exemples, les graphiques ci-dessous et ci-contre vous donnent les valeurs mesurées pour plusieurs compagnes d'observation assez anciennes. Vous voyez que la valeur n'est pas connue avec certitude.

Mesures du paramètre de Hubble par plusieurs campagnes scientifiques.

À l'heure actuelle, les cosmologistes ne savent pas expliquer pourquoi les mesures du paramètre de Hubble sont aussi différentes. Ce qui est sûr, c'est que le résultat dépend fortement de la méthode de mesure. Sans rentrer dans les détails techniques, il existe plusieurs méthodes indirectes pour estimer le paramètre de Hubble, qui estiment les distances des objets lointains en analysant la luminosité des supernovæ, des galaxies, des céphéides (des étoiles pulsatiles), et d'autres objets astronomiques. Et suivant la méthode utilisée ou l'objet observé, le paramètre de Hubble n'a pas la même valeur. Peut-être que les mesures sont entachées d'un biais systématique qui dépend de la mesure, peut-être que la valeur du paramètre de Hubble varie suivant la distance des objets considérés, peut-être que l'hypothèse d'un univers isotrope et homogène doit être abandonné, peut-être qu'une nouvelle physique se cache derrière ces résultats disparates, personne ne le sait.

Le temps de Hubble

Comme dit plus haut, le paramètre de Hubble est l'inverse d'un temps. Ce temps en question est appelé le temps de Hubble et nous le noterons $T_{H}$. Par définition, il vaut :

$T_{H}(t)={\frac {1}{H(t)}}$

Ce qui se reformule en :

$H(t)={\frac {1}{T_{H}(t)}}$

Il vaut environ 14,4 milliards d'années et cette valeur est très proche de celle actuellement admise par les scientifiques pour l'âge de l'univers (13,6 milliards d'années environ). Précisons que si les estimations actuelles nous disent que les deux sont assez proches, mais rien ne nous dit qu'ils sont exactement identiques. Les mesures et estimations sont en effet entachées d'une marge d'erreur assez large, ce qui fait que les deux mesures peuvent sembler se confondre alors qu'elles sont peut-être légèrement différentes.

Le temps de Hubble n'est pas l'âge de l'univers, attention à ne pas confondre ! Un bon moyen de s'en rendre compte est de regarder ce qui se passe dans un univers où $H(t)$ serait constant, mais positif et non-nul. Le temps de Hubble serait alors constant, alors que l'univers serait en expansion.

La théorie nous dit que temps de Hubble et âge de l'univers n'ont pas de raison de coïncider. Dans la plupart des théories mathématiques de la cosmologie, $T_{H}$ et âge de l'univers ne coïncident qu'en un seul instant $t$ bien précis. À tous les autres instants, ces deux valeurs sont différentes. Dans de nombreuses théories cosmologiques, le temps de Hubble est plusieurs fois inférieur ou supérieur à l'âge de l'univers. La seule exception est un modèle théorique appelé le modèle $R_{H}(t)=c\cdot t$ (oui, le nom de cette théorie est bien une formule mathématique...), dans lequel le temps de Hubble et l'âge de l'univers se confondent à tout instant. Mais c'est l'exception qui confirme la règle. À l'heure actuelle, on ne sait pas si ce modèle décrit correctement l'univers actuel. Aussi, les scientifiques ne savent pas si la coïncidence actuelle entre temps de Hubble et âge de l'univers en est une ou est valide en permanence.

Le rayon de Hubble

Les observations plus récentes ont toutes confirmé la loi de Hubble. Mieux, elles ont même montré que les galaxies vraiment lointaines semblent s'éloigner plus vite que la lumière. En effet, au-delà d'une certaine distance, le produit $H\times D$ dépasse la vitesse de la lumière, si l'on en croit les observations. Cela peut sembler paradoxal, mais on verra dans ce chapitre qu'il n'en est rien. La distance à partir de laquelle les objets semblent aller plus vite que la lumière porte un nom : c'est le rayon de Hubble, noté $R_{H}$. Par définition, on a :

$c=v(R_{H})$

On peut calculer le rayon de Hubble en utilisant la loi de Hubble $v=H\cdot D$. Pour cela, injectons celle-ci dans l'équation précédente :

$c=H\cdot R_{H}$

Cette formule peut se réécrire comme ceci :

$R_{H}={\frac {c}{H}}$

Ou encore :

$R_{H}=c\cdot T_{H}$

Notons que cette dernière formule est une tautologie sans grande importance, sans sens physique. Elle vient de la manière dont on définit le temps de Hubble et le rayon de Hubble, mais ne dit rien sur l'interprétation physique du temps ou du rayon de Hubble. Dans la plupart des modèles cosmologiques, temps de Hubble et rayon associé n'ont pas de sens physique et ne sont que des conventions. Par exemple, le rayon de Hubble n'est en rien la limite au-delà de laquelle la lumière n'a pas eu le temps de nous parvenir (en termes scientifiques, ce n'est pas un horizon). On peut parfaitement voir des objets qui sont situés au-delà du rayon de Hubble, et les astronomes l'ont déjà fait. Bref, temps et rayon de Hubble sont des conventions. Un bon moyen de s'en rendre compte est, encore une fois, de regarder ce qui se passe avec un paramètre de Hubble constant, mais positif et non-nul. Le rayon de Hubble serait alors constant lui aussi, alors que l'univers serait en expansion.

L'expansion de l'univers et le facteur d'échelle

Analogie de l'expansion de l'univers.

Aussi bizarre que cela puisse paraître, les scientifiques n'ont pas été étonnés de la découverte de la loi de Hubble. Il faut dire que la relativité générale était déjà bien avancée, et que les modèles d'univers en expansion ou en contraction étaient déjà étudiés à l'époque. De plus, cette équation avait été découverte quelques années auparavant par Georges Lemaître, un abbé féru de sciences, qui avait déduit cette relation des équations de la relativité générale. Les équations de la relativité expliquent la loi de Hubble avec le concept d'expansion de l'univers : les corps matériels de l'univers s'éloignent les uns des autres au fil du temps. Les interprétations de la relativité disent que l'expansion de l'univers ne provient pas d'un mouvement des objets dans l'espace, mais d'une modification de la manière de calculer les distances avec le temps. L'image qui est souvent donnée dans la vulgarisation scientifique compare l'univers avec un gâteau au raisin qui gonfle progressivement, les raisins étant les galaxies.

Expansion de l'univers.

Avec la loi de Hubble, il est évident que l'univers devait être plus "petit" par le passé (plus précisément, la portion de l'univers qui correspond aujourd'hui à l'univers observable). En renversant l'écoulement du temps, l'univers se contracte progressivement, et on peut facilement imaginer qu'après un certain temps, tout le contenu de l'univers soit rassemblé en un seul point : la singularité initiale. L'univers serait alors né d'une dilatation de cette singularité initiale, dilatation qui porte le nom de big-bang. Mais cette vue de l'esprit pose de nombreux problèmes mathématiques. En effet, cette singularité implique que de nombreux calculs dépendant des distances donnent des divisions par zéro. Par exemple, le calcul de la pression, de la température, de la densité, ou d'autres paramètres physiques ne sont pas calculables. Tout ce que peuvent faire les scientifiques, c'est étudier ce qu'il s'est passé quelques secondes ou minutes après le temps qui correspond à cette singularité hypothétique. Les calculs actuels ne donnent plus de résultats crédibles au-delà d'une certaine durée, la durée de Planck. Celle-ci vaut environ $5{,}391\ 06(32)\times 10^{-44}$ secondes.

Le facteur d'échelle

Mettre en équation le phénomène d'expansion de l'univers est assez trivial. Du fait de l'expansion, toute distance entre deux points sera multipliée par un facteur multiplicatif après une durée t. Pour calculer ce facteur multiplicatif, les physiciens font intervenir ce qu'on appelle le facteur d'échelle, noté $a(t)$. Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que nous prenons toutes les mesures dans un référentiel d'origine O, et que nous suivons la distance $x(t)$ d'un objet matériel en fonction du temps. Nous allons comparer les distances entre un instant $t_{0}$ et un instant ultérieur$t$. L'augmentation des distances à cause de l'expansion de l'univers se calcule comme suit :

$x(t)=x(t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Le rapport des facteurs d'échelle est un coefficient multiplicateur qui dit par combien les distances ont été multipliées entre l'époque actuelle et l'instant $t_{0}$. Dit autrement, le facteur d'échelle est ce par quoi il faut diviser les distances actuelles pour obtenir les distances à l'instant $t_{0}$.

Notons que le facteur d'échelle est sans dimensions (il n'a pas d'unité).

Pour simplifier les calculs, on considère souvent que le facteur d'échelle vaut 1 à un instant idéal pour simplifier les calculs. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie :

$x(t)=x(t_{0})\cdot a(t)$

L’interprétation de cette équation est assez simple : si le facteur d'échelle augmente de X %, les distances font de même.

Les distances propres et comobiles

Différence entre distance comobile et distance propre. Sur ce schéma, les deux points sont immobiles, hors effet de l'expansion de l'univers. On voit que l'expansion éloigne les deux points en distance propre, si on mesure la distance avec une règle, sans tenir compte de la grille. Mais si on mesure la distance comobile, c'est à dire la distance mesurée avec les unités de la grille, la distance reste la même.

Reprenons la définition du facteur d'échelle vue précédemment :

$x(t)=x(t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Il est possible de réécrire la formule précédente comme suit :

${\frac {x(t)}{a(t)}}={\frac {x(t_{0})}{a(t_{0})}}$

Les distances ${\frac {x(t)}{a(t)}}$ et ${\frac {x(t_{0})}{a(t_{0})}}$ sont égale à une distance corrigée de l'influence des facteurs d'échelle. $a(t_{0})$ et $a(t)$. Elle peut s'interpréter comme la distance qu'auraient deux objets s'il n'y avait pas d'expansion. Elle est appelée la distance comobile. À contrario, la distance $x(t)=x(t_{0})\cdot a(t)$ tient compte de l'expansion, qui augmente les distances entre deux objets. Les distances qui tiennent compte de l'expansion, opposées aux distances comobiles, sont appelées des distances propres. Par définition, les distances propres sont celles que l'on peut mesurer, qui ne sont pas corrigées de l'influence du facteur d'échelle.

Il existe une définition alternative de la distance comobile. C'est la distance mesurée à l'instant où $a(t)=1$.

Expansion de l'Univers illustré avec deux galaxies : on voit que la distance comobile montrée par la grille ne change pas, mais que la distance propre augmente.

L'augmentation des distances liée au facteur d'échelle n'est pas très intuitive. Dans le monde réel, une expansion a un centre, un point central d'où s'éloignent les autres. Mais avec l'expansion de l'univers, ce n'est pas du tout le cas. Peu importe où l'on soit dans l'univers, tous les autres objets semblent s'éloigner de nous. Un habitant de la Terre verra toutes les galaxies lointaines s'éloigner de la Terre, mais un habitant de la galaxie d'Andromède verra lui aussi l'ensemble des galaxies s'éloigner de lui et non de la Terre ! C'est cette particularité qui fait que l'on doit recourir à un facteur d'échelle pour expliquer l'expansion.

Schéma de l'expansion de l'univers. Les deux premiers schémas illustrent l'effet de l'expansion sur un ensemble de points, dont un point bleu et un point vert. Les deux schémas du bas montrent cette expansion du point de vue d'un observateur situé respectivement au point bleu, puis au point vert. On voit que chaque observateur voit les autres points s'éloigner de lui.

Le lien entre vitesse et facteur d'échelle

La distinction entre distance comobile et propre peut aussi se faire pour les vitesses, volumes, surfaces et autres. Par exemple, il est possible de calculer une vitesse propre en dérivant la distance propre. Pour cela, on pourrait partir de la définition de la distance propre et en calculer la dérivée.

$x(t)'=\left(x(t_{0})\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}\right)'=x(t_{0})'\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}+x(t_{0})\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}'$

Mais les calculs seraient alors un petit peu longs, bien que pas difficiles. Pour éviter ce petit désagrément, nous allons ruser. À la place, nous allons calculer la dérivée de la distance comobile. La dérivée de la distance comobile est naturellement une vitesse, appelée la vitesse comobile. Elle correspond à la vitesse qu'aurait un objet s'il n'y avait pas d'expansion. Elle traduit le fait que les objets s'éloignent ou se rapprochent même sans expansion. Sachant que la distance comobile est définie par $x_{comobile}={\frac {x(t)}{a(t)}}$, on a :

$v_{comobile}=x_{comobile}'=\left({\frac {x(t)}{a(t)}}\right)'$

On utilise la formule de la dérivée d'un quotient :

$v_{comobile}={\frac {x(t)'\cdot a(t)-x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}={\frac {x(t)'\cdot a(t)}{a(t)^{2}}}-{\frac {x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}$

On simplifie par $a(t)$ :

$v_{comobile}={\frac {x(t)'}{a(t)}}-{\frac {x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}$

Les deux termes : ${\frac {x(t)'}{a(t)}}$ et $x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)^{2}}}$ sont techniquement des vitesses. Mais elles sont écrites en coordonnées comobiles, dans le référentiel où $a(t)=1$. Ce sont donc des vitesses que l'on ne peut pas mesurer. Pour passer dans le référentiel général, on doit multiplier par le facteur d'échelle :

$v_{comobile}\cdot a(t)=x(t)'-x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$

Le terme $x(t)'$ n'est autre que la vitesse propre, la vitesse totale de l'objet qui incorpore les effets de l'expansion.

$v_{comobile}\cdot a(t)=v_{propre}-x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$

Cette équation peut se reformuler comme suit :

$v_{propre}(t)=v_{comobile}\cdot a(t)+x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$

Le terme $v_{comobile}\cdot a(t)$ est ce qu'on appelle la vitesse locale. C'est la vitesse qu'a l'objet quand on retire l'effet de l'expansion, mais qu'on prend quand même en compte le facteur d'échelle. En effet, la vitesse comobile est mesurée dans un référentiel particulier, où $a(t)=1$. Et ce référentiel est situé arbitrairement dans le temps, pas forcément dans le temps présent. Pour obtenir la vitesse indépendante de l'expansion, on doit multiplier la vitesse comobile par $a(t)$, afin de tenir compte de la multiplication des distances au cours du temps.

$v_{propre}(t)=v_{locale}(t)+x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$

On voit que la vitesse propre est la somme de deux vitesses. Une vitesse indépendante du facteur d'échelle et une autre qui dépend du facteur d'échelle. En clair, une vitesse indépendante de l'expansion et une qui y est proportionnelle. La première est une vitesse locale indépendante de l'expansion, alors que le second terme a pour origine l'expansion, d'où son nom de vitesse d'expansion.

Il faut noter que l'équation précédente nous explique pourquoi certaines galaxies très lointaines semblent s'éloigner de nous plus vite que la lumière. Si la vitesse locale ne peut dépasser la vitesse de la lumière, la vitesse de l'expansion n'est pas contrainte par $c$. Ainsi, la vitesse supraluminique des galaxies lointaines provient de la vitesse de l'expansion et ne reflète pas une véritable vitesse supraluminique.

Le lien entre facteur d'échelle et paramètre de Hubble

Pour les objets éloignés, la vitesse locale est négligeable par rapport à la vitesse d'expansion. Il est donc utile, de supposer la vitesse locale nulle. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie comme suit :

$v(t)=x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$

Or, avec ces hypothèses, la vitesse se réduit à la vitesse de l'expansion, qui se calcule avec la loi de Hubble.

$v(t)=x(t)\cdot H(t)$

En combinant les deux équations, on trouve :

$H(t)={\frac {a(t)'}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}(\ln {a(t)})$

Comme on le voit, la démonstration précédente nous donne une nouvelle interprétation du facteur de Hubble : c'est la dérivée logarithmique du facteur d'échelle.

Pour rappel, la dérivée logarithmique d'une fonction $x(t)$ se note ${\mathcal {L}}$ et est définie par : ${\mathcal {L}}(x)={\frac {x'}{x}}$ Elle porte ce nom car elle est égale à la dérivée du logarithme de la fonction initiale : ${\mathcal {L}}(x(t))={\frac {x(t)'}{x(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln {x(t)}$ Cela nous permet de faire une remarque importante dans la suite du cours : l'intégrale d'une dérivée logarithmique est tout simplement le logarithme de la fonction. Nous ferons ce raccourci très souvent dans le cours. $\int {\mathcal {L}}(x(t))dt=\ln {x(t)}+{\text{Constante d'intégration}}$

Pour le dire plus clairement, le facteur de Hubble est le taux, du pourcentage auquel l'expansion a lieu. Pour information, la dérivée ${\frac {da}{dt}}$ s’interprète comme la vitesse de l'expansion de l'univers, la vitesse à laquelle croît le facteur d'échelle. Plus la vitesse de l'expansion est grande, plus l'univers grandit vite et s'étend rapidement. De même, la dérivée seconde de $a(t)$ est l'accélération de l'expansion de l'univers : plus elle est grande, plus l'expansion devient de plus en plus rapide avec le temps. Le facteur de Hubble est donc la vitesse de l’expansion divisée par le facteur d'échelle, soit le taux de variation du facteur d'échelle. Intuitivement, il indique approximativement si le facteur d'échelle augmente de 5 %, 10 % ou 20 % par unité de temps. Si H vaut 0,015, cela signifie que les distances augmentent de 1,5 % par seconde.

Faites attention à ne pas confondre la vitesse de l'expansion avec la vitesse d'expansion qui est la vitesse d'un objet acquiert à cause de l'expansion.

Maintenant, partons de l'équation précédente et intégrons-la :

$\int H(t)dt=\ln {a(t)}$

On prend l'exponentielle et on réorganise l'équation :

$a(t)=\exp \left(\int H(t)dt\right)$

Cette équation permet de calculer le facteur d'échelle quand on connait le facteur de Hubble. L'utilité de cette équation est qu'estimer le facteur de Hubble au cours du temps est possible, même si c'est par des moyens indirects. Les observations astronomiques permettent d'avoir une estimation précise de la valeur actuelle du facteur de Hubble, ainsi que de ses valeurs anciennes. Alors que l'évolution du facteur d'échelle ne l'est pas.

Le lien entre expansion et facteur de Hubble

L'expansion, de part son action sur les distances, entraîne naturellement une variation des surfaces, volumes et densités. Prenons par exemple une sphère de rayon $r$ et de volume $V$ : son rayon augmentant avec le facteur d'échelle, son volume fera de même. Quelques calculs triviaux nous disent que son volume évolue avec le facteur d'échelle selon la formule suivante, avec $V_{0}$ le volume de la sphère à l'instant $t_{0}$.

$V=V_{0}\times a^{3}$

Cette équation nous permet de déduire le rapport entre le facteur de Hubble et l'expansion des volumes. Pour cela, commençons par calculer la dérivée du volume :

${\frac {dV}{dt}}={\frac {d(V_{0}\cdot a^{3})}{dt}}=V_{0}{\frac {d(a^{3})}{dt}}=V_{0}\left(3\cdot a^{2}\cdot {\frac {da}{dt}}\right)$

Divisons ensuite par V, ce qui revient à diviser par : $V_{0}\times a^{3}$ :

${\frac {V'}{V}}={\frac {V_{0}(3\cdot a^{2}\cdot a')}{V_{0}\cdot a^{3}}}$

On simplifie par $V_{0}$ et par $a^{3}$ :

${\frac {V'}{V}}=3{\frac {a'}{a}}$

On utilise ensuite l'identité : $H={\frac {a'}{a}}$ pour simplifier le terme de droite, ce qui donne :

${\frac {V'}{V}}=3H$, qui peut aussi s'écrire de manière moins compacte comme ceci : ${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{dt}}=3H$.

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous démontrerons l'équation du fluide de Friedmann.

L'accélération de l'expansion de l'univers

Il est intéressant de savoir si l'expansion se fait à vitesse constante, ou si l'expansion accélère/décélère. Pour simplifier les calculs, nous allons omettre la vitesse de la lumière et nous concentrer sur la vitesse de l'expansion de l'univers. Cela ne change rien aux résultats que nous allons obtenir vu que la vitesse de la lumière est constante : sa dérivée est donc nulle, ce qui la rend inutile dans les calculs de dérivée qui vont suivre.

L'accélération de l'expansion en fonction du paramètre de Hubble

Une première étape pour savoir si l'expansion ralentit ou accélère, est de calculer l'accélération de l'expansion de l'univers. Cette accélération est simplement égale à la dérivée de la vitesse de l'expansion.

$a_{c}={\frac {dv}{dt}}$

On peut alors appliquer la loi de Hubble pour déterminer la vitesse de l'expansion. En injectant dans l'équation précédente, on a :

$a_{c}={\frac {d}{dt}}(H(t)\times r)={\frac {dH(t)}{dt}}\times r+H(t)\times {\frac {dr}{dt}}$

Or, ${\frac {dr}{dt}}$ est simplement la vitesse d'expansion $v$.

$a_{c}={\frac {dH(t)}{dt}}\times r+H(t)\times v$

La vitesse de l'expansion peut se calculer avec la loi de Hubble, ce qui donne :

$a_{c}={\frac {dH(t)}{dt}}\times r+H(t)^{2}\times r$

Le tout se simplifie en :

$a_{c}=r\left(H(t)^{2}+{\frac {dH(t)}{dt}}\right)$

L'accélération de l'expansion en fonction du facteur d'échelle

Une autre manière de quantifier l'accélération de l'expansion est de calculer la dérivée du facteur de Hubble. Le raisonnement derrière cette définition est assez simple. Le facteur de Hubble dit à quel taux les distances dans l'univers augmentent avec le temps. Si la dérivée est nulle, le facteur de Hubble est constant : l'expansion n’accélère pas plus qu'elle ne décélère. Inversement, une dérivée non-nulle nous dit comment le facteur de Hubble varie, et donc comment évolue l'expansion. Si la dérivée est positive, l’expansion accélère, et elle décélère pour le cas négatif.

Sachant que $H={\frac {a(t)'}{a(t)}}$, la dérivée du facteur de Hubble est la suivante :

${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {a(t)'}{a(t)}}\right]$

On utilise alors la formule ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {u(x)}{v(x)}}\right]={\frac {u(x)'}{v(x)}}-{\frac {u(x)v(x)'}{v(x)^{2}}}$

${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {a(t)''}{a(t)}}-{\frac {a(t)'^{2}}{a(t)^{2}}}$

Ce qui se simplifie, en utilisant le facteur de Hubble :

${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {a(t)''}{a(t)}}-H(t)^{2}$

On peut réorganiser les termes pour obtenir l'équation suivante :

${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}$

On peut en profiter pour identifier cette équation avec l'équation $a_{c}=r\left(H(t)^{2}+{\frac {dH(t)}{dt}}\right)$, ce qui donne :

$a_{c}=r(t)\cdot {\frac {a(t)''}{a(t)}}$

Le facteur de décélération

Il est courant que les cosmologistes utilisent ce qu'on appelle le facteur de décélération, un nombre calculé à partir du facteur de Hubble. Celui-ci est positif si l'expansion est décélérée, négatif si elle accélère, et reste constant si la vitesse d'expansion reste constante. Par définition, ce facteur de décélération q vaut :

$q=-{\frac {a(t)''/a(t)'}{a(t)'/a(t)}}=-{\frac {a(t)''\cdot a(t)}{a(t)'^{2}}}$

En utilisant la formule $H(t)=a(t)'/a(t)$, la formule précédente se reformule comme suit :

$q=-{\frac {a(t)''/a(t)'}{H(t)}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)'\cdot H(t)}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)\cdot H(t)^{2}}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)}}\cdot {\frac {1}{H(t)^{2}}}$

On utilise alors la formule ${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}$ :

$q=-\left({\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}\right)\cdot {\frac {1}{H(t)^{2}}}$

Quelques manipulations algébriques donnent alors :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

Les formules précédentes peuvent se réécrire sous la forme ci-dessous. Cette formule sera importante dans la suite du cours, car les deux termes $H(t)^{2}$ et ${\frac {a(t)''}{a(t)}}$ peuvent se calculer assez facilement. Dans les chapitres sur les équations de Friedmann, nous verrons que le premier terme se calcule à partir de la première équation de Friedmann et le second terme à partir de la seconde équation de Friedmann. Autant dire que l'étude des modèles cosmologiques est fortement facilitée quand on connaît cette relation.

${\frac {a(t)''}{a(t)}}=-q\cdot H(t)^{2}$

Le lien entre temps de Hubble et facteur de décélération

Une autre formule pour le facteur de décélération est la suivante :

$q={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}-1={\frac {d}{dt}}T_{H}-1$

Démonstration

La formule se démontre facilement si on calcule la dérivée du temps de Hubble : ${\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}=-{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}$ En combinant avec les équations précédentes qui donnent le facteur de décélération en fonction de ${\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}$, on retrouve l'équation finale du facteur de décélération.

L'interprétation de cette équation est assez simple, si on regarde comment évolue la dérivée ${\frac {d}{dt}}T_{H}$. Le cas où ${\frac {d}{dt}}T_{H}=1$ correspond au cas où le temps de Hubble augmente au même rythme que l'âge de l'univers, ce qui signifie que les deux sont égaux. Or, nous verrons dans quelques chapitres que ce n'est possible que si l'expansion de l'univers se fait à vitesse constante. Plus précisément, cela implique que le facteur d'échelle augmente linéairement avec le temps ($a(t)=k\cdot t$), donc que sa dérivée première soit constante et sa dérivée seconde nulle. Les cas où ${\frac {d}{dt}}T_{H}>1$ et ${\frac {d}{dt}}T_{H}<1$ correspondent alors à une expansion supra- et infra-linéaire. Or, le facteur de décélération est définit de manière à valoir 0 pour un univers en expansion linéaire (à vitesse constante), positif pour une expansion supra-linéaire et négatif pour une expansion infra-linéaire. On voit que pour passer de la dérivée ${\frac {d}{dt}}T_{H}$ au facteur de décélération, il faut retrancher 1.

Une autre manière de réécrire cette formule, qui sera utile dans la suite du cours, est la suivante :

$q+1={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}={\frac {d}{dt}}T_{H}$

Le facteur de décélération moyen

Rien n'implique que le facteur de décélération soit une constante. Il peut très bien varier dans le temps, si le facteur de Hubble varie lui aussi. Rien n’empêche d'avoir un univers dont l'expansion accélère, puis stoppe et décéléré, par exemple. Il est alors utile de calculer un facteur de décélération moyen, qui est définit par :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\int _{0}^{t_{0}}q(t)dt$, avec $t_{0}$ l'âge de l'univers.

On utilise alors l'équation $q={\frac {d}{dt}}T_{H}-1$ :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\int _{0}^{t_{0}}\left[{\frac {d}{dt}}T_{H}-1\right]dt$

L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt-\int _{0}^{t_{0}}1dt\right]$

On calcule la dernière intégrale :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt-t_{0}\right]$

On développe :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt\right]-1$

L'intégrale et la dérivée s'annulent si on néglige les constantes d'intégration, ce qui donne :

${\overline {q}}(t_{0})={\frac {T_{H}(t_{0})}{t_{0}}}-1$

On voit que le facteur de décélération moyen dépend de l'âge de l'univers et du facteur de Hubble actuel, rien de plus. C'est un résultat très intéressant, qui permet soit de calculer le facteur de décélération moyen à partir de l'âge de l’univers, ou de faire l'inverse. L'âge de l'univers vaut donc :

$t={\frac {T_{H}}{{\overline {q}}(t)+1}}$

Plus haut, nous avons dit que l'âge de l'univers qui fait actuellement consensus est proche du temps de Hubble. Si on en croit l'équation précédente le seul moyen d'avoir $t\approx T_{H}$ est que ${\overline {q}}(t)\approx 0$. En clair, l'univers a eu une expansion approximativement constante, en moyenne. Mais attention, cela ne signifie pas que l'expansion s'est faite de manière régulière tout le temps. Le consensus actuel est que l'univers a alterné entre décélération et d'expansion. Mais nous reparlerons de cela plus tard dans le cours, quand nous parlerons des modèles cosmologiques, de l'accélération de l'expansion de l'univers et de l'inflation.Toute la difficulté de la cosmologie est d'établir comment s'est déroulée l'expansion.

Le décalage vers le rouge (redshift)

Illustration du redshift. La lumière émise par l'objet est à gauche, alors que la lumière reçue par l'observateur est à droite. On voit que la lumière émise est perçue comme décalée, du point de vue du spectre, entre émetteur et observateur.

Si vous regardez une galaxie ou une étoile au loin, sa lumière semble être décalée vers les basses fréquences (le rouge), comparée à sa couleur d'émission. Le fait est que, comme on le verra juste après, il existe une relation entre la vitesse d'un objet et le décalage de la fréquence de sa lumière. La lumière est émise par l'objet à une certaine fréquence, mais la fréquence reçue par l'observateur n'est pas la même. C'est ce décalage vers le rouge qui était utilisé pour mesurer la vitesse des galaxies par Hubble et ses collègues. Ce phénomène s'appelle le décalage vers le rouge, noté $z$.

Quantifier ce phénomène est assez facile. Pour cela, les physiciens utilisent le rapport entre le décalage des longueurs d'onde causé par l'expansion, et la longueur d'onde d'émission.

$z={\frac {\lambda (t)-\lambda (t_{0})}{\lambda (t_{0})}}={\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}-1$, avec $\lambda (t)$ la longueur d'onde actuelle, mesurée lors d'une observation, et $\lambda (t_{0})$ la longueur d'onde lors de l'émission du rayonnement.

Cette quantité, notée $z$, est appelée le décalage vers le rouge, ou encore le redshift. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelle est la relation entre la vitesse d'une galaxie et son décalage vers le rouge. Nous verrons ensuite que le redshift a un lien très fort avec l'expansion de l'univers.

Par souci de lisibilité, nous noterons parfois la dérivée première d'une variable $x$, à savoir ${\frac {dx}{dt}}$, comme ceci : $x'$. Le remplacement ne sera pas systématique, la notation ${\frac {dx}{dt}}$ étant plus courante et donc plus claire. La notation $x'$ sera utilisée quand la notation ${\frac {dx}{dt}}$ est trop lourde, par exemple pour simplifier les formules de ce style : ${\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dt}}$ en ${\frac {x'}{x}}$.

La relation entre redshift et vitesse

Les étudiants en physique apprennent que le décalage vers le rouge peut être causé par le mouvement d'un objet dans l'espace. Quand un objet s'éloigne de nous, à une certaine vitesse propre, la fréquence de la lumière qu'il émet baisse. Et réciproquement, un objet qui s'approche émettra une lumière plus bleuie, dont la fréquence a légèrement augmenté. C'est l'effet Doppler-Fizeau.

Illustration de l'effet Doppler-Fizeau.

En utilisant la physique de l'effet Doppler, on peut trouver une relation entre la vitesse de l'objet et le redshift. Suivant que l'on travaille en physique newtonienne, en relativité restreinte ou en relativité générale, les formules ne sont cependant pas les mêmes.

Le calcul du redshift en fonction de la vitesse

La physique classique donne la formule suivante, entre la vitesse de l'objet en mouvement et le décalage vers le rouge qui en découle. Cette relation est cependant une approximation, dérivée des équations de Newton, valide uniquement pour des objets dont la vitesse d'éloignement est faible. En clair, cette formule ne vaut que pour des objets cosmologiques "proches". Les astres lointains vont avoir une vitesse élevée du fait de $v=H\cdot d(t)$, ce qui fait que la formule n'est alors plus utilisable.

$z(v)={\frac {v}{c}}={\frac {H\cdot d(t)}{c}}$

La relativité restreinte donne une formule encore plus précise, histoire d'obtenir des résultats corrects pour des objets lointains. Voici la formule en question :

$z(v)+1={\frac {c+v}{c-v}}$, ou encore $z(v)+1={\frac {\sqrt {1+{\frac {v}{c}}}}{\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}}$

Enfin la relativité générale nous donne une formule encore plus générale, qui est cependant rarement applicable telle quelle.

Le calcul de la vitesse en fonction du redshift

On peut réécrire ces formules de manière à obtenir la vitesse de l'objet à partir de son redshift. La formule de la physique classique devient alors :

$v(z)={\frac {z(t)}{c}}$

La relativité restreinte nous donne la formule suivante :

$v(z)=c\cdot {\frac {(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}}$

Enfin, la relativité générale nous donne la formule suivante :

$v(z,t)={\frac {c}{a_{0}}}{\frac {da}{dt}}\cdot \int _{0}^{z}{\frac {dz'}{H(z')}}$

La relation entre redshift et expansion de l'univers

Relation théorique entre vitesse et redshift.

Appliquées de manière naïve à des galaxies lointaines, les formules précédentes donnent des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière au-delà du rayon de Hubble. L’interprétation en termes d'effet Doppler impliquerait donc que les galaxies lointaines se déplacent plus vite que la lumière, en totale contradiction avec la relativité. La seule interprétation correcte de ce décalage vers le rouge cosmologique n'est donc pas une vitesse de déplacement dans l'espace, mais une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. En clair, une partie du redshift est causée par l'effet Doppler proprement dit, mais une autre partie est liée à l'expansion de lumière. Cette dernière est un redshift un peu spécial dans le sens où il ne correspond pas à une vitesse propre, mais à une vitesse de fuite liée à l'expansion. Nous avons déjà vu dans les chapitres précédents que cette vitesse de fuite peut dépasser la vitesse de la lumière, vu que ce n'est pas une vraie vitesse, mais une modification de la géométrie de l'espace.

Le décalage vers le rouge cosmologique est la somme de deux effets : un effet Doppler et un redshift lié à l'expansion.

Une explication claire de ce processus demande d'utiliser le facteur d'échelle. Pour cela, on doit combiner étudier l'effet de l'expansion sur la longueur d'onde de la lumière.

L'effet de l'expansion sur la lumière

Effect of the stretching of light on the light wavefront.

L'effet de l'expansion influe non seulement sur les distances entre corps matériels, mais aussi sur la lumière. La longueur d'onde de la lumière est une distance comme une autre, qui est modifiée par l'expansion de l'univers. Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde $\lambda _{0}$ à un instant $t_{0}$, sa longueur d'onde $\lambda$ à un instant $t$ sera égale à :

$\lambda =\lambda _{0}{\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Cela nous permet de calculer la fréquence d'une onde lumineuse en fonction du facteur d'échelle. En effet, il existe une relation entre la longueur d'onde et la fréquence pour la lumière (comme pour toute onde), les deux étant inversement proportionnelles. De cette relation, on peut déduire la relation suivante :

$f=f_{0}{\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

On peut utiliser cette relation entre longueur d'onde de la lumière et facteur d'échelle, pour calculer sa variation en fonction de l'expansion. Le fait est que le facteur d'échelle augmentant avec le temps, la longueur d'onde de la lumière augmente.

La relation entre redshift et facteur d'échelle

Il est possible de démontrer une relation entre le facteur d'échelle et le redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :

$z(t)+1={\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}$

On utilise alors l'équation $\lambda (t)=\lambda (t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$, réécrite comme ceci :

${\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

En combinant les deux équations précédentes, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle. Dans ce qui suit, on suppose que $t_{0}$ est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant $t$.

$1+z(t)={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Posons que le facteur d'échelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :

$z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$

$z(t)+1={\frac {1}{a(t_{0})}}$

$a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$

La relation entre redshift et paramètre de Hubble

Quelques manipulations algébriques à partir des équations précédentes permettent d'exprimer le facteur de Hubble en fonction du redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :

$z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$

Prenons la dérivée par rapport au temps :

${\frac {dz(t)}{dt}}=\left({\frac {1}{a(t_{0})}}-1\right)'$

Le calcul de la dérivée donne :

${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {a(t_{0})'}{a(t_{0})^{2}}}$

On applique la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t)}}$ :

${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {H(t_{0})}{a(t_{0})}}$

On multiplie les deux côtés par $a(t_{0})$

$-{\frac {dz(t)}{dt}}\times a(t_{0})=H(t_{0})$

Maintenant, utilisons l'équation $a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$ :

$-{\frac {1}{z(t)+1}}{\frac {dz(t)}{dt}}=H(t)$

L'univers observable

L'univers observable est la portion de l'univers que nous pouvons observer, compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière. Des objets situés très loin ne peuvent pas être vus pour une raison très simple : la lumière qu'ils émettent n'a pas eu le temps de nous parvenir. La distance maximale à laquelle nous pouvons voir des objets (sans tenir compte d'éventuelles limitations techniques) dépend de l'âge de l'univers. S'il faut un temps supérieur à l'âge de l'univers pour nous parvenir, il nous est actuellement impossible de les voir, ce qui n'est pas le cas pour des objets situés plus près. Cette distance maximale est donc le rayon de l'univers observable. L'ensemble des points situés à la distance maximale des objets observables, à savoir la surface de l'univers observable, porte un nom : c'est l'horizon cosmologique.

Le rayon de Hubble

On pourrait croire que le rayon de Hubble est une bonne estimation de la taille de l'univers observable. Pour rappel, ce rayon de Hubble est définit à partir du facteur de Hubble comme suit :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}=c\cdot T_{H}$, avec c la vitesse de la lumière et $T_{H}$ le temps de Hubble définit par $T_{H}={\frac {1}{H}}$.

Il s'agit de la distance parcourue par la lumière pendant le temps de Hubble, lui-même définit comme l'inverse du facteur de Hubble. Mais le rayon de Hubble n'est malheureusement pas une bonne estimation du rayon de l'univers observable, pas plus que le temps de Hubble ne donne l'âge de l'univers. Pour calculer ces deux valeurs, il faut utiliser des développements mathématiques différents. La raison tient dans la définition du rayon de Hubble : c'est la distance à partir de la laquelle tous les objets s'éloignent de nous plus vite que la lumière. Dit autrement, c'est la distance au-delà de laquelle la vitesse propre tenant compte de l'expansion dépasse c, mais la vitesse comobile reste évidemment en-dessous. Le rayon de Hubble n'est en rien la limite de l'univers observable : on voit des objets sont situés au-delà et on peut calculer leur redshift ou tout autre mesure pertinente. Dans la plupart des modèles cosmologiques, temps et rayon de Hubble n'ont pas de sens physique.

L'évolution du rayon de Hubble

On peut s'amuser à calculer dans quelles circonstances le rayon de Hubble est constant. Pour cela, prenons sa dérivée :

${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)={\frac {d}{dt}}(c\cdot T_{H})=c\cdot {\frac {d}{dt}}T_{H}$

On utilise alors la formule qui relie la dérivée du temps de Hubble au facteur de décélération :

$q+1={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}={\frac {d}{dt}}T_{H}$

En combinant les deux équations précédentes, on trouve :

${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)=c\cdot (q+1)$

Cette dérivée s'annule quand $q=-1$. En analysant la dérivée, on remarque que le rayon de Hubble se contracte pour $q<-1$, augmente quand $q>-1$, et reste stationnaire pour $q=-1$.

Le rayon comobile de Hubble

Notons que l'on peut calculer le rayon de Hubble comobile, c'est à dire en supprimant l'effet de l'expansion. Il est définit comme toute distance comobile, en divisant par le facteur d'échelle. Cela donne :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a(t)\cdot H(t)}}$

En utilisant la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t}}$ et en simplifiant, on trouve :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a'(t)}}$

Ce rayon n'a pas plus de sens physique que le rayon de Hubble normal.

Le rayon de l'univers observable

Le calcul du rayon cosmologique actuel est assez simple sur le principe, mais compliqué en pratique. Une méthode assez simple se base sur la vitesse d'éloignement de l'horizon, à savoir la vitesse à laquelle l'horizon cosmologique s'éloigne de nous. Une fois cette vitesse connue, il suffit de l'intégrer sur l'âge de l'univers.

La vitesse d'éloignement du rayon observable est définie par :

$v(t)={\frac {d}{dt}}r(t)$, avec $r(t)$ le rayon de l'univers à l'instant t.

On réutilise l'équation du chapitre précédent, qui donne la vitesse en fonction de la distance: $v(t)=v(t_{0})a(t)+x(t_{0})\cdot H(t)$. Dans le cas de l'horizon cosmologique, la distance est égale au rayon de l'univers et la vitesse locale est égale à la vitesse de la lumière, ce qui donne :

${\frac {d}{dt}}r(t)=c+H(t)\times r(t)$

On peut reformuler le tout en divisant par $r(t)$, ce qui donne :

${\frac {r'(t)}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)$

On peut alors intégrer cette expression sur l'âge de l'univers pour obtenir le rayon de l'horizon cosmologique, du moins dans certaines conditions. Faire les calculs demande de connaître la loi d'évolution du facteur de Hubble $H(t)=...$. Mais dans les faits, elle nous est inconnue et on n'en a que quelques bribes. La théorie ne nous est pas d'un grand secours et le seul cas que l'on peut calculer simplement est celui où le facteur de Hubble est constant. En général, les modèles cosmologiques les plus simples supposent que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, de type $a(t)=a_{0}\cdot (t/t_{0})^{\beta }$, ce qui fait que l'équation peut se résoudre avec quelques développements analytiques. Mais des modèles plus réalistes ne suivent pas vraiment une loi de puissance, ce qui complique les calculs. Pour nous éviter de longs calculs fastidieux, nous allons étudier le cas général, en utilisant quelques raisonnements astucieux.

Le rayon comobile de l'univers observable

Une autre façon de faire les calculs est de passer par l'intermédiaire du rayon comobile. Pour rappel, ce rayon comobile est le rayon corrigé de l'influence du facteur d'échelle (et donc de l'expansion). Il vaut, par définition : $r(t) \over a(t)$.

La vitesse comobile est la dérivée de ce rayon comobile, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)'}{a(t)}}-{\frac {r(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}={\frac {r(t)'}{a(t)}}-H(t){\frac {r(t)}{a(t)}}$

On peut alors factoriser le rayon comobile $r(t) \over a(t)$ :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{a(t)}}{\frac {a(t)}{r(t)}}-H(t)\right]$

On simplifie :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{r(t)}}-H(t)\right]$

En injectant l'équation ${\frac {r(t)'}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)$ dans la précédente, on a :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {c}{r(t)}}+H(t)-H(t)\right]$

En développant, on trouve :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {c}{a(t)}}$

On voit que la dérivée est égale à ce qu'on appelle la vitesse comobile de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est de $c=299792,458Km/S$, mais il s'agit d'une vitesse propre. On peut calculer sa vitesse comobile en divisant par le facteur d'échelle, ce qui n'est autre que le premier terme de l'équation précédente. $c_{com}={c \over a}$. En intégrant l'équation précédente sur l'âge de l'univers, on a la distance comobile de l'horizon, celle à laquelle se situait l'horizon cosmologique quand la lumière de l'horizon a été émise. On se retrouve alors avec une équation très générale, qui marche même quand le facteur de Hubble est variable.

Seule la vitesse comobile de la lumière devant être prise en compte. On trouve alors que le rayon comobile se calcule avec la formule suivante, avec $t_{u}$ l'âge de l'univers :

${\frac {r(t)}{a(t)}}=\int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt=c\int _{0}^{t_{u}}{dt \over a(t)}$

Il est possible de simplifier fortement la formule précédente en faisant intervenir une variable particulière, appelée le temps conforme, définie par $\eta ={\frac {dt}{a(t)}}$. On peut voir ce temps conforme comme l'équivalent de la distance comobile, mais pour les durées. Il n'a pas vraiment d'interprétation physique digne de ce nom et sert plus d'intermédiaire pour les calculs. Avec le temps conforme, la formule précédente devient alors :

${\frac {r(t)}{a(t)}}=c\cdot (\eta _{0}-\eta _{t_{u}})$

On peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule $D=c\cdot \Delta T$, mais où le temps est remplacé par le temps conforme.

Le rayon actuel de l'univers observable

On peut obtenir la distance propre par un calcul très simple, à partir de la distance comobile. Le passage de la distance comobile à la distance propre se fait simplement en multipliant par $a(t)$. On obtient alors la distance propre suivante :

$r(t)=a(t)\cdot \int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt$

Dans l'équation précédente, on peut factoriser la vitesse de la lumière, ce qui donne :

$r(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Comme pour le rayon comobile, on peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule $D=c\cdot \Delta T$, mais où la durée $\Delta T$ est remplacée par la valeur temporelle $\left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$.

Les intégrales précédentes ne sont pas solubles telles quelles. Il faut préciser comment le facteur d'échelle évolue avec le temps, sans quoi les intégrales ne peuvent pas être calculées exactement. Manque de chance, la loi d'évolution du facteur d'échelle nous est inconnue. Nous sommes obligés de postuler des fonctions particulières, en espérant qu'elles collent au mieux aux observations. Nous ferons cela plus en détail dans le chapitre sur les modèles cosmologiques.

Au passage, le facteur de décélération est relié au rayon de l'univers observable de la manière suivante :

${\frac {d}{dt}}R_{h}=c\times (q+1)$

L'évolution de la matière

L'univers est peuplé de matière et de rayonnement. La matière est essentiellement composée de particules massives : baryons, quarks, électrons, etc. Pour plus de simplicité, on peut supposer que la matière de l'univers est un gaz. Cette hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : 10% de la matière sert à fabriquer des étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc essentiellement composé de gaz. Évidemment, ce gaz de matière a une pression, un volume, une densité, une énergie, etc. Il reste de plus soumis aux lois de la thermodynamique. L'expansion va cependant faire varier continument sa densité (l'univers se dilue avec l'expansion), sa pression, sa température, etc. Dans ce chapitre, nous allons voir comment évolue ce gaz cosmologique en utilisant les relations de la thermodynamique, sous la contrainte de la loi de Hubble.

Dans ce chapitre, et dans tous les chapitres suivants, nous allons supposer que la matière qui remplit l'univers est ce qu'on appelle un gaz parfait. Pour rappel, un gaz parfait est un gaz qui respecte la loi suivante :

$PV=N\cdot k_{B}T$, avec P la pression, V le volume, N le nombre de particules, T la température et $k_{B}$ la constante de Boltzmann.

Cette équation fonctionne pour un gaz d'atomes, de molécules, mais aussi pour décrire le rayonnement, la lumière, qui n'est autre qu'un gaz parfait de photons ! Mais avant d'étudier le cas du rayonnement, ce qui sera le fait du prochain chapitre, nous allons étudier le cas d'un gaz parfait matériel soumis à l'expansion.

La densité de particule

De l'équation d'un gaz parfait, on peut tirer plusieurs formules qui seront utiles dans la suite du cours, pour décrire le comportement de la matière au cours de l'expansion cosmique. Toutes utilisent la densité de particule, à savoir la quantité de particule présente par unité de volume, qui sera notée $\epsilon$. La densité de particules, notée $\epsilon$, correspond au nombre de particules par unité de volume. Si on note V un volume et N le nombre de particules qu'il y a dedans, on a donc :

$\epsilon ={\frac {N}{V}}$

L'évolution de la densité de particule avec l'expansion

Dans ce qui suit, nous allons supposer que le nombre de particules est conservé. En clair, le nombre de particules matérielles dans l'univers est une constante : de nouvelles particules ne peuvent pas apparaître, pas plus que des particules existantes ne peuvent disparaître. Dans les faits, la constance du nombre de particules est quelque peu fausse : les lois de l’infiniment petit permettent l'apparition ou la disparition de particules, des conversions entre particules, et bien d'autres réactions. Et si ces réactions conservent la masse et l'énergie, la conservation du nombre de particules est loin d'être acquise. Par exemple, les réactions nucléaires peuvent faire disparaître des particules (tout en conservant la masse et l'énergie). Ou encore, les photons peuvent être absorbés ou émis entre interagissant avec la matière. Mais cela ne signifie pas que la constance des particules n'est pas une bonne approximation. Au global, on suppose que les réactions qui font apparaitre des particules s'équilibrent a peu-près avec celles qui en font disparaitre.

Vu que le volume de l'univers varie selon $V=V_{0}\times a^{3}$, la densité de particule varie donc comme :

$\epsilon ={\frac {N}{V_{0}}}\times {\frac {1}{a^{3}}}$

La densité de particule est donc reliée au facteur d'échelle par l'équation

$\epsilon \propto a^{-3}$

La loi des gaz parfaits reformulée avec la densité de particules

On peut reformuler l'équation des gaz parfaits avec la densité de particules, assez simplement, en divisant les deux côtés par le volume V :

$P=\epsilon \cdot k_{B}T$, avec $\epsilon$ la densité de particules.

Ou encore :

$P\propto \epsilon \cdot T$

Sachant que $\epsilon \propto a^{-3}$, on a :

$P\propto T\cdot a^{-3}$

On voit donc que la pression évolue avec le facteur d'échelle. Le comportement exact dépend du comportement de la température. On verra plus bas que si l'énergie est conservée, alors la température du gaz parfait est censée rester constante. La pression diminue alors car la densité de particule diminue, et qu'un gaz moins dense a une pression plus faible. L'on a alors :

$P\propto a^{-3}$

L'énergie et la densité d'énergie d'un gaz parfait

La température d'un gaz parfait est la somme des énergies cinétiques de chaque particule. La physique statistique nous donnent des formules pour relier la température et l'énergie cinétique moyenne d'une particule du gaz. Les formules en question dépendent du gaz, mais elles prennent toutes la forme d'une équation de la forme :

$E=k\cdot PV=k\cdot N\cdot k_{B}T$, avec $k$ un coefficient constant.

Le coefficient $k$ est appelé la capacité calorifique spécifique à volume constant. C'est l'énergie qu'il faut pour augmenter d'un degré la température du gaz, en considérant que son volume et sa masse sont constantes. Dans les faits, la capacité calorifique est considérée comme constante avec un gaz parfaits. Dans le monde réel, elle n'est pas totalement constante et peut varier suivant la température et la pression. Les variations les plus soudaines de la capacité calorifique impliquant souvent des transitions de phase elles-mêmes liées à des baisses/hausses de température.

La relation entre énergie par particule et température

Il est possible de calculer l'énergie par particule en divisant l'équation précédente par N, ce qui donne :

${E \over N}=k\cdot k_{B}T$

On peut reformuler cette équation comme suit :

${E \over N}\propto T$

En conséquence, l'énergie par particule n'est pas censée varier, vu que énergie et nombre de particules sont constants.

La relation entre densité d'énergie et température

Partons de l'équation suivante :

$E=k\cdot N\cdot k_{B}T$

De l'équation précédente, on peut déduire la densité d'énergie, à savoir la quantité d'énergie par unité de volume, en divisant par le volume V :

${E \over V}=k\cdot {N \over V}\cdot k_{B}T$

En simplifiant, on trouve que la densité d'énergie est proportionnelle à la densité de particules :

${E \over V}=k\cdot \epsilon \cdot k_{B}T$

Si on considère que l'énergie est conservée et que la capacité calorifique est constante, alors on a :

${E \over V}(t)\propto a^{-3}$

En effet, l'énergie est constante, la température aussi, k aussi, seuls le volume et la densité de particules varient toutes deux comme $a^{-3}$. La réciproque est aussi vraie : si la densité d'énergie varie autrement qu'au cube du facteur d'échelle, c'est que l'énergie n'est pas conservée.

La relation entre densité d'énergie et pression

Partons maintenant de la formule suivante :

$E=k\cdot PV$

La formule précédente, une fois divisée par le volume, donne ceci :

${E \over V}=k\cdot P$

La pression étant proportionnelle à la densité d'énergie, elle doit évoluée en $a^{-3}$ elle aussi, à condition que l'énergie soit conservée.

L'expansion d'un gaz adiabatique parfait

Dans ce qui précédait, nous sommes parti du fait que l'énergie était conservée, et avons étudié l'évolution de la pression et de la température. Dans cette section, nous allons supposer qu'elle ne l'est pas, et nous allons établir des équations plus générales sur les gaz parfaits en expansion cosmologique. Nous allons étudier le cas d'une expansion adiabatique, à savoir dans laquelle il n'y a pas de conversion d'énergie en chaleur. La quantité d'énergie thermique de l'univers reste la même, mais pas forcément sa température. Il s'agit d'une modélisation simple, mais réaliste de l’expansion. En théorie, l'univers ne s'étend dans rien et l'expansion du gaz parfait qu'il contient ne pousse aucune paroi. Dans ces conditions, la pression du gaz n'exerce aucun travail susceptible de transformer sa chaleur en énergie cinétique. Son énergie thermique, sa chaleur, est donc globalement conservée si on omet les réactions chimiques.

Partons de l'équation précédente :

$E=k\cdot N\cdot k_{B}T$, avec $k$ un coefficient constant.

Si on suppose que N est constant, la dérivée de l'équation précédente donne :

$dE=k\cdot N\cdot k_{B}\cdot d(T)$

Or, la thermodynamique nous dit qu'un gaz parfait en expansion adiabatique respecte la formule suivante :

$dE=-PdV$

En identifiant les deux équations précédentes, on trouve :

$k\cdot N\cdot k_{B}\cdot d(T)=-PdV$

En divisant par le produit $PV$, on trouve :

$k\cdot {\frac {N\cdot k_{B}}{PV}}\cdot d(T)=-{\frac {dV}{V}}$

On peut reformuler la loi des gaz parfaits comme suit, en isolant la température :

${\frac {1}{T}}={\frac {k_{B}}{P}}\cdot \epsilon$

En combinant les deux équations précédentes, on trouve :

$k\cdot {\frac {\epsilon \cdot k_{B}}{P}}\cdot d(T)=-{\frac {dV}{V}}$

L'équation ${\frac {1}{T}}={\frac {k_{B}\cdot \epsilon }{P}}$ nous permet de faire un remplacement :

$k\cdot {\frac {d(T)}{T}}=-{\frac {dV}{V}}$

Cette expression dit que la température et le volume évoluent globalement de la même manière.

L'évolution de la température lors de l'expansion

On utilise alors la relation ${\frac {dV}{V}}=3{\frac {da}{a}}$ :

$k\cdot {\frac {d(T)}{T}}=-3\cdot {\frac {da}{a}}$

On divise des deux côtés par k :

${\frac {d(T)}{T}}=-{\frac {3}{k}}\cdot {\frac {da}{a}}$

On prend alors l'intégrale, en utilisant la formule $\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+cst$ :

$\ln {T}+C_{1}=-{\frac {3}{k}}\cdot \ln {a}+C_{2}$

On note $C_{0}=C_{2}-C_{1}$ et on réorganise les termes constants :

$\ln {T}=-{\frac {3}{k}}\cdot \ln {a}+C_{0}$

On applique la formule $a\cdot \ln {x}=\ln {x^{a}}$ :

$\ln {T}=\ln {a^{-{\frac {3}{k}}}}+C_{0}$

On prend l'exponentielle des deux côtés :

$T=\exp \left(\ln {a^{-{\frac {3}{k}}}}+C_{0}\right)$

L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles ($e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}$) :

$T=e^{C_{0}}\cdot a^{-{\frac {3}{k}}}$

On pose : $T_{0}=e^{C_{0}}$

$T=T_{0}\cdot a^{-{\frac {3}{k}}}$

Ou encore :

$T\propto a^{-{\frac {3}{k}}}$

Pour un gaz monoatomique, on a $k={\frac {3}{2}}$, ce qui fait que la température de la matière varie donc comme l'inverse du carré du facteur d'échelle :

$T\propto {\frac {1}{a^{2}}}$

La relation entre pression et facteur d'échelle

On peut combiner l'équation précédente avec l'équation vue plus haut qui donne la pression en fonction de la température et du facteur d'échelle :

$P\propto T\cdot a^{-3}$

On peut combiner l'équation précédente avec l'équation qui donne la pression d'un gaz parfait en fonction de sa température, vue précédemment :

$P\propto a^{-3}\cdot a^{-{\frac {3}{k}}}$

Le tout se simplifie en :

$P(a)\propto a^{-3{\frac {k+1}{k}}}$

L'évolution de la densité d'énergie lors d'une détente adiabatique

Partons de l'équation de la conversation de l'énergie lors d'une détente adiabatique :

$dE=-PdV$, avec E son énergie, P sa pression et V son volume.

On divise alors par dt :

${\frac {dE}{dt}}=-P{\frac {dV}{dt}}$

Par définition, $E=eV$, avec $e$ la densité d'énergie. De plus, on a vu que $P={\frac {e}{k}}$. En faisant le remplacement, on a :

${\frac {de}{dt}}=-{\frac {e}{k}}{\frac {dV}{dt}}$

On utilise alors la formule du produit d'une dérivée sur le terme de gauche :

${\frac {de}{dt}}\times V+e\times {\frac {dV}{dt}}=-{\frac {e}{k}}{\frac {dV}{dt}}$

On réorganise les termes :

${\frac {de}{dt}}\times V=-{\frac {4}{k}}e{\frac {dV}{dt}}$

En divisant par $eV$, on a :

${\frac {e'}{e}}=-{\frac {4}{k}}{\frac {V'}{V}}$

On utilise alors la relation ${\frac {V'}{V}}=3H$ :

${\frac {\epsilon '}{\epsilon }}=-{\frac {12}{k}}H$

Le facteur de Hubble étant égal à ${\frac {a'}{a}}$, l'équation précédente se réécrit comme suit :

${\frac {e'}{e}}=-{\frac {12}{k}}{\frac {a'}{a}}$

Intégrons des deux côtés. Vu que $\int {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dt}}=\ln x$ :

$\ln {e}=-{\frac {12}{k}}\ln {a}$

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

$\ln {e}=\ln {a^{\frac {12}{k}}}$

De cette équation, on peut déduire que :

$\epsilon \propto a^{-{\frac {12}{k}}}$

L'évolution du rayonnement

La majorité du rayonnement dans l'univers forme un gaz de photons homogène et isotrope (nous détaillerons cette remarque quand nous aborderons le rayonnement de fond diffus cosmologique). Autrement dit, c'est un rayonnement de corps noir. Ce gaz de photons possède diverses propriétés, qui sont affectées par l'expansion : il possède une densité d'énergie, une température, et bien d'autres paramètres. Formellement, le rayonnement forme un gaz parfait, ce qui fait qu'on peut réutiliser les équations du chapitre précédent. Pour un gaz de photons, on peut prouver que $k=3$. Les équations du chapitre précédent donnent alors :

$E=3\cdot PV=3\cdot N\cdot k_{B}T$

${E \over N}=3\cdot k_{B}T$ (énergie par particule)

${E \over V}=3\cdot P=3\cdot {E \over N}\cdot k_{B}T$ (densité d'énergie)

Pour les équations qui dépendent du facteur d'échelle, on a :

$T\propto a^{-1}$

$P\propto a^{-4}$

Dans la suite de ce chapitre, nous allons expliquer plus en détail d'où proviennent ces équations, ce qu'elles signifient physiquement et en donner des démonstrations alternatives.

L'évolution de la température du rayonnement avec l'expansion

L'équation principale de ce chapitre dit que la température du rayonnement diminue au même rythme que l'augmentation du facteur d'échelle. Ainsi, le rayonnement né dans les premiers instants de l'univers, refroidit progressivement au fur et à mesure que l'univers s'étend.

$T(t)=T_{0}\cdot {\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

Malheureusement, l'équation est rarement utilisable telle quelle. En effet, les facteurs d'échelle $a(t_{0})$ et $a(t)$ ne sont pas connus et ne peuvent pas se mesurer. L'idéal est de remplacer les facteurs d'échelle par une grandeur qui se mesure. Le redshift fonctionne à merveille, d'autant qu'on sait qu'il est relié au facteur d'échelle par les équations vues il y a quelques chapitres. Dans ce qui suit, on suppose que $t_{0}$ est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant $t$. Avec cette convention, on sait que $1+z(t)={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$. En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

$T(t)={\frac {T(t_{0})}{1+z}}$

Précisons que cette équation vient de la convention $t_{0}=t_{emission}$. Mais avec la convention inverse, à savoir $t_{0}=t_{observation}$, on trouverait l'équation inverse, à savoir :

$T(t)=T(t_{0})\cdot (1+z)$

L'évolution de la densité d'énergie d'un gaz de photons avec l'expansion

Illustration de la loi de Planck.

Un gaz de photons est formellement décrit par la fameuse équation de Planck, que nous ne détaillerons pas ici. Celle-ci donne tout simplement la densité d'énergie des photons qui possèdent une fréquence f, dans un gaz de photons de température T. Et cette équation contient un terme, la fréquence, sensible au facteur d'échelle. Voici cette équation de Planck :

${E \over V}(f)={\frac {8\pi h}{c^{3}}}f^{3}{\frac {1}{e^{\frac {hf}{k_{B}T}}-1}}$

La distribution des photons suivant leur fréquence est illustrée par le schéma de droite. Celui-ci montre que le pic d'intensité, à savoir la fréquence où le nombre de photons est maximal. Or, ce pic est proportionnel à la température moyenne du gaz de photon, d'après la relation suivante : $T={\frac {f}{2,8K_{b}}}$.

En intégrant l'équation précédente sur toutes les fréquences, on trouve la fameuse loi de Stephan, qui donne la densité d'énergie d'un gaz de photons en fonction de sa température. Voici cette loi, avec $\alpha$ une constante, la constante de Stephan, et $T$ la température :

${E \over V}=\alpha T^{4}={\frac {\pi ^{2}}{15}}{\frac {(k_{B}T)^{4}}{(\hbar c)^{3}}}$

On peut la reformuler comme suit :

${E \over V}\propto T^{4}$

Sachant que l'on a $T\propto a^{-1}$, on a :

${E \over V}\propto a^{-4}$

Dans ce qui suit, nous noterons la quantité ${E \over V}$ comme suit : $\epsilon$. L'équation précédente s'écrit alors, d'une manière plus formelle :

$\epsilon ={\frac {\epsilon _{0}}{a^{4}}}$

Au passage, on aurait pu avoir l'intuition de ce résultat dès le début du chapitre, quand j'ai dit que pour le rayonnement, on a : $P\propto a{-4}$. Vu que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie, on aurait du en déduire que celle-ci évoluait en $a^{-4}$.

L'évolution du nombre de particules d'un gaz de photons

Des équations précédentes, il est possible de déterminer le nombre de photons par unité de volume, appelée la densité de photons par analogie avec la densité de matière, et la manière dont elle évolue avec le facteur d'échelle. Pour la calculer, il suffit de diviser la densité d'énergie par l'énergie moyenne d'un photon. On obtient alors :

${N \over V}={\frac {E/V}{E/N}}={\frac {{\frac {\pi ^{2}}{15}}{\frac {(k_{B}T)^{4}}{(\hbar c)^{3}}}}{3k_{B}T}}$

En simplifiant, on a :

${N \over V}={\frac {\pi ^{2}}{45}}\left({\frac {k_{b}T}{\hbar c}}\right)^{3}$

Ce qui se reformule comme suit :

${N \over V}\propto T^{3}$

Sachant que l'on a $T\propto a^{-1}$, on a :

${N \over V}\propto a^{-3}$

L'interprétation physique de la variation de densité énergétique du rayonnement

On a vu que la densité d'énergie du rayonnement varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle :

$\epsilon ={\frac {\epsilon _{0}}{a^{4}}}$

On peut donner un sens physique à cette équation. Premièrement, l'énergie du rayonnement est diluée dans un volume plus grand, égal à la puissance troisième du volume initial. La densité est donc divisée par la puissance troisième. À cela, il faut ajouter la diminution de la longueur d'onde causée par le facteur d'échelle. La somme de ces deux contributions donne la formule précédente. Pour nous en rendre compte, on peut partir de la définition de la densité d'énergie du rayonnement :

${E \over V}={E \over N}\times {N \over V}$

La variation de la densité d'énergie provient de deux sources : l'une est la variation de ${N \over V}$ et l'autre est la diminution de ${E \over N}$. La première varie comme $a^{-3}$, car le nombre de photons reste globalement constant et que l'expansion fait augmenter le volume en $V=V_{0}a^{3}$. Cela sera justifié dans la section suivante, mais le résultat est le même que celui vu dans le chapitre précédent. Si l'énergie par particule demeurait constante lors de l'expansion, on aurait l'équation $\epsilon \propto a^{-3}$. On le voit, il manque un facteur $a^{-1}$ pour obtenir l'équation finale. On peut facilement deviner son origine quand on sait que l'énergie moyenne d'un photon dans un gaz de photons est approximativement de :

${E \over N}=3k_{B}T$

On applique alors l'équation $T={\frac {T_{0}}{a}}$

${E \over N}=3k_{B}{\frac {T_{0}}{a}}$

En posant $<E_{0}>=3k_{B}T_{0}$, on a :

${E \over N}={\frac {<E_{0}>}{a}}$

En clair, la densité d'énergie diminue avec le facteur d'échelle pour deux raisons : l'expansion dilue le rayonnement dans un volume plus élevé, et l'expansion réduit la température du rayonnement.

Un autre argument qualitatif (et peu rigoureux) nous permet de justifier pourquoi l'expansion réduit l'énergie par particule. Rappelons qu'un photon de fréquence f a une énergie égale à $E_{\text{photon}}=h\times f$, avec h la constante de Planck. Or, on a vu que la fréquence varie avec l'inverse du facteur d'échelle, l'énergie par photon doit faire de même, ce qui donne : math>{E \over N} \propto f \propto a^{-1}</math>. En clair, l'expansion étire la longueur d'onde des photons, ce qui leur fait perdre de l'énergie. Cependant, cette dérivation n'est pas parfaite, vu qu'on mélange la fréquence d'un photon unique avec la température d'un gaz de plusieurs photons. Ce qui nuit à la généralité de l'argument.

Cela a une conséquence assez importante : l'énergie de l'univers ne se conserve pas, mais diminue avec le temps ! Et ce n'est pas un problème qui serait réglé en relativité générale : il y a réellement une perte d'énergie quel que soit le modèle utilisé. À l'heure actuelle, on ne sait pas comment résoudre ce problème (si tant est que ce soit vraiment un problème).

Les processus de baryogenèse et nucléosynthèse

Au tout début de sa formation, l'univers était clairement chaud et dense. Les températures quelques microsecondes après le big-bang dépassaient le million voire le milliard de degrés. L'univers était en première approximation un gaz parfait de particules très différentes : neutrons, protons, neutrinos, électrons, photons, quarks, et autres. Les températures étaient tellement fortes que toutes les populations de particules réagissaient entre elles. N'importe quelle particule pouvait échanger de l'énergie avec n'importe quelle autre, homogénéisant les températures. Le mélange était tel que l'on pouvait définir une température moyenne valable pour tous les types de particules : les neutrons avaient une température moyenne similaire à celle des protons, elle-même identiques à celle des quarks, etc. On dit que l'équilibre thermique est respecté.

Puis, l'univers s'est refroidi en raison de l'expansion. En se diluant avec l'expansion, sa densité a diminué, les particules se sont espacées entre elles. Elles se sont éloignées au point que leurs interactions sont devenues plus rares. Leur proximité rendait leurs interactions faciles, chaque particule ayant rapidement accès à une voisine pour échanger de la quantité de mouvement. Mais avec la dilution, les particules se sont progressivement isolées les unes des autres, rendant les échanges de plus en plus difficiles. De nombreuses interactions ont disparues, perturbant les processus de mélange thermique. De plus, la température a aussi fortement baissé. Rappelez-vous le résultat du chapitre précédent : la température du rayonnement diminue comme l'inverse du facteur d'échelle ($T(t)=T_{0}/a(t)$). Le gaz de particules élémentaires s'est alors progressivement condensé, donnant naissance à des particules composites. D'une soupe de particules se sont ainsi formés les nucléons, puis les noyaux et enfin les atomes. Ce chapitre vise à expliquer comment s'est produite cette condensation.

La baryogenèse

Au tout début, on pouvait voir l'univers comme un mélange de plusieurs gaz composés de particules élémentaires. Du temps des fortes températures, quelques micro-secondes avant le big-bang, les particules composites ne pouvaient pas se former à partir de quarks. La température trop intense faisait que les particules composites étaient brisées par le chaos ambiant quelques microsecondes après leur formation. C'était essentiellement les photons et neutrinos qui réagissaient avec la matière et brisaient les structures ainsi formées. Il a fallu attendre que la température du rayonnement baisse pour que les quarks puissent s'assembler en protons et neutrons sans interagir avec un photon qui passe sur le chemin. Ce processus de formation des protons et neutrons s'appelle la baryogenèse, ce qui signifie formation des baryons (les protons et neutrons sont des exemples de baryons, d'où le nom).

Le rapport protons/neutrons

La théorie du big-bang nous permet de déterminer comment s'est produit ce processus. Une réussite de la théorie tient dans le fait qu'elle prédit le rapport entre le nombre de protons et de neutrons dans l’univers. Celui-ci peut se calculer à partir du raisonnement suivant. Avant que les noyaux se forment, les protons et neutrons étaient libres et formaient un plasma de nucléons. La température de ce plasma a diminué progressivement avec l'expansion. Peu avant la formation des noyaux, la température était faible comparée à la masse des protons et neutrons ($KbT<<M_{p}c^{2}$). Dans ces conditions, le gaz peut être décrit par ce qu'on appelle la distribution de Maxwell-Boltzmann. Celle-ci dit que la quantité de particules d'énergie $m$ par unité de volume est de :

$N=m^{3/2}\times \exp \left({\frac {mc^{2}}{k_{b}T}}\right)$

Ainsi, on peut calculer le rapport entre protons et neutrons. Il suffit de faire le calcul de la densité de protons, et de la densité de neutrons séparément, et de diviser le premier par le second :

${\frac {N_{p}}{N_{n}}}={\frac {m_{p}}{m_{n}}}^{3/2}\times \exp \left[{\frac {(m_{p}-m_{n})c^{2}}{k_{b}T}}\right]$

Les protons et neutrons forment un plasma tant que protons et neutrons peuvent interagir. Il arrive notamment que des protons se transforment en neutrons et réciproquement. Ces transformations, des réactions nucléaires, ont une probabilité d’occurrence qui dépend de la température. Quand le produit $K_{b}T$ descend en-dessous de 0.8 Mev, ces réactions deviennent de plus en plus rares, au point que l'équilibre thermique du plasma est brisé. Les quantités de protons et de neutrons sont alors figées, de même que le rapport de leurs densités volumiques. Les calculs donnent 6 protons pour 1 neutron : ${\frac {N_{p}}{N_{n}}}\approx 7$. Dit autrement, $1 \over 8$ ème de la matière baryonique est sous la forme de neutrons, alors que $7 \over 8$ ème sont des protons. Cela correspond à environ 12% de neutrons pour 88% de protons.

Par la suite, ce rapport va cependant évoluer à cause de désintégrations de neutrons en protons (désintégration bêta). Précisons que ces désintégrations n'ont lieu qu'en-dehors des noyaux atomiques, et ne peut pas toucher l’abondance des éléments chimiques. Par contre, elle change l'abondance des protons et neutrons libres, isolés des atomes. Ces désintégrations suivent la fameuse loi de désintégration radioactive $N=N_{0}e^{-\lambda t}$, avec $\lambda$ égal à 880,3 s. On a alors :

${\frac {N_{p}}{N_{n}}}=7\times {\frac {1}{e^{-\lambda t}}}=7\times e^{\lambda t}=3.8$

La nucléosynthèse primordiale

Une fois les protons et neutrons formés, l'univers était rempli de protons, de neutrons, d'électrons et de neutrinos, qui formaient un gaz à haute température. Durant un temps assez court, protons et neutrons ne pouvaient pas s'assembler pour former des noyaux, la température brisant les noyaux qui avaient l'occasion de se former. Mais, la température diminuant, cela ne dura guère. Après un certain temps, protons et neutrons ont pu s'assembler pour former des noyaux, quand la température a atteint un certain seuil.

La formation des premiers noyaux porte le nom de nucléosynthèse primordiale. Un nom barbare assez simple à comprendre : nucléosynthèse veut dire "synthèse de noyaux atomiques", et primordiale pour dire qu'elle a eu lieu peu après le big-bang. Ce terme sert à la distinguer de la nucléosynthèse qui a lieu actuellement au cours des étoiles, la nucléosynthèse stellaire. Les différences entre les deux sont assez nombreuses. Déjà, la nucléosynthèse primordiale s'est faite sur un temps très court, d'à peine quelques secondes grand maximum, alors que la nucléosynthèse des étoiles est un processus continu qui dure durant plusieurs milliards d'années. Ensuite, la nucléosynthèse primordiale a majoritairement créé des éléments chimiques légers, mais guère plus. Elle a permis de fabriquer de l'hydrogène, de l'hélium, du béryllium et du lithium, mais pas plus. Les autres éléments chimiques ont été fabriqués ultérieurement par la nucléosynthèse stellaire, qui a donné naissance à du carbone, de l'oxygène, de l'azote, et d'autres noyaux lourds.

Isotopes de l'hydrogène.

Suite à la nucléosynthèse primordiale, la quasi-totalité de la matière est composée d’hydrogène et d'hélium : environ 3/4 d'hydrogène et 1/4 d'hélium, le reste étant présent en quantités négligeables. C'est pour cela que la quasi-totalité de la matière des étoiles et planètes est sous la forme d'hélium et d'hydrogène, des particules formées par l'assemblage de neutrons et de protons. Pour rappel, Un noyau d'hydrogène est formé d'un simple proton, le nombre de neutrons variant de zéro à deux neutrons. La plupart de l'hydrogène ne contient pas de neutron, cette forme d'hydrogène étant appelé du protium. L'isotope avec un neutron est appelé le deutérium, alors que celui avec deux neutrons est appelé le tritium. Le protium est de loin la forme d’hydrogène dominante, les autres formes n'étant présentes que dans les étoiles, rarement dans le milieu interstellaire. Quant à l'hélium, il possède deux protons, avec un nombre variable de neutrons. Ses deux isotopes les plus fréquents possèdent deux neutrons pour l'hélium-4, un seul pour l'hélium-3.

Les réactions de la nucléosynthèse primordiale

Résumé des réactions nucléaires principales de la nucléosynthèse primordiale, sous forme de liste.

La nucléosynthèse commence avec la fabrication de deutérium, un des isotopes de l'hydrogène. C'est à partir du deutérium que peuvent s'enclencher les réactions qui donnent naissance au tritium, à l'hélium, au lithium et au béryllium.

Dans ce qui suit, on notera D un noyau de deutérium, T un noyau de tritium, p un proton et n un neutron.

Illustration des réactions nucléaires donnant naissance au deutérium, au tritium et à l'hélium (3 et 4).

Le deutérium se forme en fusionnant un proton avec un neutron. La formation du deutérium ne s'est produite qu'une fois la température suffisamment basse. Au-dessus de cette température, les noyaux de deutérium ne survivent pas bien longtemps, à cause de la photodissociation. Les photons énergétiques brisent ces noyaux en quelques microsecondes, ne laissant que des protons et des neutrons. Mais une fois que la température descend sous la température critique du deutérium, les photons ne sont plus assez énergétiques pour briser les noyaux de deutérium, qui survivent.

$n+p=D$

Une fois le deutérium formé, des réactions donnent naissance soit à de l'hélium-3, soit à du tritium. L'hélium-3 peut se former de deux manières : soit par addition d'un proton, soit par fusion de deux noyaux de deutérium.

$D+D=n+^{3}\operatorname {H_{e}}$

$D+p=\gamma +^{3}\operatorname {H_{e}}$

Le tritium peut lui aussi se former de deux manières différentes. Dans le premier cas, il est formé par la fusion de deux noyaux de deutérium. Dans le second cas, il est formé à partir d'un noyau d'hélium-3, dans lequel on remplace un proton par un neutron (par désintégration bêta, ou par capture/émission de nucléons).

$D+D=p+T$

$^{3}\operatorname {H_{e}} +p=n+T$

Une fois le tritium ou l'hélium-3 formé, l'hélium-4 peut enfin apparaître. Il se forme soit à partir d'hélium-3, soit à partir de tritium. Et les méthodes pour ce faire assez diverses. Dans les deux cas, il se forme en ajoutant un noyau de deutérium, suivi par l'émission d'un nucléon. Le nucléon émit est un proton pour la fusion avec l'hélium-3, un neutron pour la fusion avec le tritium. Une autre manière consiste à ajouter un proton à du tritium, ou du neutron à de l'hélium-3.

$^{3}\operatorname {H_{e}} +D=p+^{4}\operatorname {H_{e}}$

$T+D=n+^{4}\operatorname {H_{e}}$

$^{3}\operatorname {H_{e}} +n=^{4}\operatorname {H_{e}}$

$T+p=^{4}\operatorname {H_{e}}$

Enfin, les autres éléments légers peuvent se former à partir de l'hélium-4. En fusionnant de l'hélium-4 avec soit du tritium, soit de l'hélium-3, on obtient respectivement du lithium et du béryllium. Le lithium peut aussi se former à partir du béryllium, par remplacement d'un neutron en proton. De plus, le lithium peut fusionner avec un proton pour donner deux noyaux d'hélium-4.

$^{4}\operatorname {H_{e}} +^{3}\operatorname {H_{e}} =^{7}\operatorname {B_{e}}$

$^{4}\operatorname {H_{e}} +T=^{7}\operatorname {L_{i}}$

$^{7}\operatorname {B_{e}} +n=p+^{7}\operatorname {L_{i}}$

$p+^{7}\operatorname {L_{i}} =^{4}\operatorname {H_{e}} +^{4}\operatorname {H_{e}}$

L'ensemble de ces réactions est résumé dans le schéma ci-dessous.

Réactions nucléaires principales de la nucléosynthèse primordiale, en schéma.

Le calcul de l'abondance de l'Hélium

Des calculs théoriques poussés, basés sur la physique nucléaire, nous disent que la concentration en éléments chimiques a évolué rapidement au cours de la nucléosynthèse primordiale, avant de stabiliser. Le résultat est que les deux éléments majoritaires sont l'hydrogène (le protium) et l'hélium-4. Le deutérium et l'hélium-3 sont plus rares et ont une concentration assez similaire. Le tritium et les neutrons libres sont eux encore plus rares. Enfin, le lithium et le béryllium ferment la marche et sont les éléments les plus rares. Pour simplifier, on peut dire que l'univers est rempli presque exclusivement d'hydrogène et d'hélium-4. Les autres éléments sont tellement rares qu'ils sont presque négligeables.

Évolution de la concentration de chaque élément chimique dans l'univers, au cours de la nucléosynthèse primordiale.

Sans recourir à ces calculs compliqués, on peut calculer l'abondance des éléments principaux. L'idéal est de se concentrer sur l'hydrogène (le protium) et l'hélium-4 uniquement. Négliger les autres éléments n'est pas un problème tant ils sont rares. En faisant cela, on doit considérer que tous les neutrons ont été capturés dans les noyaux d'hélium-4, vu qu'il n'y en a pas dans les noyaux de protium.

Rappelons que le rapport protons/neutrons est de 1/7. Cela veut dire que sur 16 baryons, 2 sont des neutrons et 14 sont des protons (ce qui est équivalent à dire que sur 8 baryons, 1 est un neutron et 7 sont des protons). Avec ces 16 baryons, on peut créer un atome d'hélium-4 avec 2 neutrons et 2 protons, ce qui laisse 12 protons. On a donc 12 noyaux d’hydrogènes pour un noyau d'hélium-4. Vous avez peut-être vu d'autres chiffres dans la vulgarisation, notamment un rapport de 75% d'hydrogène contre 25% d'hélium. Mais ces pourcentages sont exprimés en termes de masse, non de nombre d'atomes. Pour retrouver ce rapport 75%/25%, il faut prendre en compte la masse relative des noyaux d'hélium-4 et d'hydrogène. Un noyau d'hélium-4 étant approximativement 4 fois plus massif qu'un noyau d'hydrogène, il faut diviser le nombre de noyaux d'hydrogène par 4 pour utiliser la même unité de masse. En faisant cela, on trouve alors que 75% de la masse de l'univers est composée d'hydrogène et les 25% restants d'hélium-4.

Abondance des éléments chimiques suite à la nucléosynthèse primordiale.

Il est possible de retrouver ces résultats par le calcul, ce que nous allons faire de ce pas. Dans les calculs qui vont suivre, nous noterons le nombre d'atomes d'hélium $n_{He}$ alors que le nombre d'atomes de protium sera noté $n_{H}$. Les nombres de neutrons et de protons seront notés $n_{n}$ et $n_{p}$. L'hypothèse comme quoi tous les neutrons sont capturés dans les noyaux d'hélium-4 signifie que :

$n_{n}=2\cdot n_{He}$, car il y a deux neutrons dans un noyau d'hélium-4.

La première étape est de calculer la quantité totale de baryons enfermés dans les noyaux d'hélium-4. Un atome d'hélium-4 contient 4 baryons, deux neutrons et deux protons. En multipliant par le nombre de noyaux, on obtient cette quantité totale, égale à :

$N^{He}=n_{He}\cdot 4$

Pour la seconde étape, on a besoin du nombre total de baryons dans l'univers. Par définition, il est égal à la somme $n_{n}+n_{p}$ (la somme du nombre de protons et de neutrons). En combinant les deux équations précédentes, on obtient le rapport entre le nombre de baryons dans les atomes d'hélium et le nombre total de noyaux, que nous noterons $Y$.

$Y={\frac {N^{He}}{N^{total}}}={\frac {4\cdot n_{He}}{n_{n}+n_{p}}}$

On utilise alors l'équation $n_{n}=2\cdot n_{He}$ :

$Y={\frac {2\times n_{n}}{n_{n}+n_{p}}}$

On peut réécrire cette équation en utilisant uniquement le rapport protons/neutrons calculé dans la section précédente. Il suffit pour cela de diviser l'équation précédente par le nombre de protons. On a alors :

$Y={\frac {2\times (n_{n}/n_{p})}{1+(n_{n}/n_{p})}}$

On a vu dans la section précédente que le le rapport protons/neutrons suite au big-bang est de $1 \over 7$. En utilisant cette valeur, on trouve que $Y\approx {\frac {1}{4}}$, ce qui veut dire que 75% de la masse de l'univers est composé d'hydrogène et 25% d'hélium-4. Cette valeur est très proche de la valeur observée. À l'heure actuelle, 74% de la masse de l'univers est composée d'hydrogène et 25% d'hélium-4, le reste se partageant le 1 % restant. Précisons qu'il s'agit d'un pourcentage en masse, non en nombre d'atomes.

Le découplage des photons et neutrinos

La température baissant avec l'expansion, certaines interactions entre particules deviennent de plus en plus rares. Par exemple, en-dessous d'une certaine température, certaines réactions entre neutrinos et matière deviennent rares, voire inexistantes. Ces populations de particules cessent alors d'interagir. Lorsque cela se produit, l'équilibre thermique est rompu : les deux populations de particules s'isolent thermiquement, et divergent en terme de température moyenne. On nomme découplage de telles situations où deux populations de particules n'interagissent plus à la suite d'une baisse de température. Après un découplage, chaque population de particules a sa propre équation d'état : un gaz monoatomique n'aura pas le même coefficient $w$ qu'un gaz de protons ou un gaz d'électrons. Ainsi, une population de particules se refroidira différemment d'une autre. Par exemple, le rayonnement s'est refroidi plus vite que la matière, à cause de la diminution de fréquence des photons (la température du rayonnement n'est autre que la moyenne de l'énergie des photons, qui diminue avec le facteur d'échelle, comme vu précédemment).

La matière neutre est transparente, ce qui induit un découplage des photons.

Le cas le plus classique est celui du découplage des photons, qui s'est produit 380 000 ans après le big bang, lorsque la matière est passée de l'état de plasma à un gaz d'atomes. Avant le découplage, la matière était composée d'un plasma d'électrons libres, de baryons et de photons. Ce plasma formait un fluide unique, avec une pression, une température, une densité d'énergie, etc. Les photons interagissaient fortement avec les électrons, par diverses processus (diffusion Compton, et autres), ce qui redistribuait la température. Les photons chauffaient les électrons et réciproquement. Un équilibre thermique s'était ainsi installé entre photons et électrons libres, les deux ayant la même température/énergie cinétique moyenne. Cet équilibre incluait aussi les baryons, bien que les baryons n'interagissaient pas directement avec les photons. Les baryons interagissaient fortement avec les électrons, qui servaient d'intermédiaires avec les photons. Ce plasma avait naturellement des propriétés thermodynamiques simples : une pression, une température, un volume, etc. Sa pression était essentiellement causée par la pression de radiation des photons, avec une participation mineure de la pression des électrons libres et des baryons.

La température diminuant, les interactions entre matière et photons ont soudainement cessé lorsque la température est tombée sous les 3000 K. Les photons ont presque cessé d'interagir avec la matière et ont continué leur vie chacun dans leur coin. À cette température, les électrons se sont associés aux noyaux atomiques pour former des atomes. Ces atomes interagissant peu avec le rayonnement, le plasma s'est divisé en deux gaz indépendants : un gaz de matière, qui s'est condensé pour donner des galaxies et autres structures, et un gaz de photon. Ce dernier a subsisté jusqu’à aujourd'hui sous la forme d'un ensemble de photons de faible température, que l'on peut capter avec certains instruments. Ce gaz est appelé le fond diffus cosmologique, aussi appelé le rayonnement de fond diffus cosmologique, ou encore le CMB (Cosmic Microwave Background).

La même chose a eu lieu pour les neutrinos et anti-neutrinos qui se sont découplés de la matière et des photons un peu avant les photons. Ce fond diffus de neutrinos est malheureusement nettement moins étudié que le fond diffus cosmologique, car les neutrinos n'interagissent pas beaucoup avec la matière, et qu'ils sont donc difficiles à détecter. Nous n'en parlerons donc pas dans ce cours, par manque d'informations à leur sujet. Pour le moment, concentrons-nous sur le découplage des photons.

La découverte du CMB

Le CMB a été théorisé avant d'être découvert. Dans un article de 1948, Alpher et ses collègues théorisèrent l'existence du CMB à partir d'un modèle de big-bang usuel. Mais il fallut attendre 1965 pour que ce signal soit observé pour la première fois, par Penzias et Wilson. Ceux-ci utilisaient une antenne de grandes dimensions, pour tester la fiabilité des communications entre satellites, et étudiaient des interférences radio qui apparaissaient à haute fréquence. Leurs investigations leur ont permis de capter un signal dans la bande de 4Ghz, qui avait des caractéristiques étranges : isotrope, non-polarisé et libre de toute variation saisonnière. L'origine de ce signal est restée inconnue durant quelques années, mais les scientifiques (dont Penzias et Wilson) avaient éliminé toute origine terrestre. Il fallu que Dicke et ses collaborateurs fassent le lien avec l'article d'Alpher. Par la suite, diverses campagnes d'observation ont permis d'obtenir une carte assez détaillée du fond diffus. De nombreux projets d'observations scientifiques ont ainsi observé le fond diffus cosmologique avec une précision de plus en plus grande : COBE, puis WMAP, et enfin la mission PLANCK.

CMB vu par COBE, sans traitement (en haut), en retirant le dipôle (milieu) et en retirant la luminosité de la voie lactée (en bas).

Les observations de Penzias et Wilson montraient un CMB relativement uniforme. Par la suite, les observations du satellite COBE ont montré que le CMB a l'air d'avoir une structure en forme de dipôle, à savoir qu'il a un pôle chaud opposé à un pôle froid. Les observations plus récentes éliminent cet effet Doppler par divers traitements informatiques, et montrent un CMB sans dipôle, mais avec quelques inhomogénéités. On observe notamment une zone plus chaude au niveau de l'équateur, liée à la présence de la voie lactée (notre galaxie), qui réchauffe quelque peu le CMB de par son rayonnement. Outre sa composante dipolaire, le CMB a des composantes quadripolaires et octopolaires.

Le dipôle du CMB

Le fait que le CMB aie une forme approximativement dipolaire est en soi un gros problème, que l'on arrive pas à bien expliquer théoriquement. On pourrait croire que cela réfute l'idée d'un univers isotrope, mais ce n'est pas le cas. L'explication usuelle quant à l'existence de ce dipôle est qu'il serait d'origine cinématique, lié au mouvement de la Terre par rapport au CMB. Par effet Doppler, les zones du CMB qui s'éloignent de nous sont vues comme refroidies, alors que les zones qui s'approchent (opposées, donc) sont vues comme plus chaudes. Mais cette explication implique qu'il y ait un référentiel dans lequel le CMB serait quasi-uniforme et sans dipôle, ce qui en fait un référentiel privilégié et briserait le principe de relativité avec l'invariance galiléenne/lorentzienne...

Outre l'existence de ce dipôle, d'autres observations semblent indiquer que le CMB aurait un axe privilégié, nommé l'axe du mal (axis of evil en anglais), qui impacterait le CMB, mais aussi l'expansion de l'univers. Mais le fait que l'axe soit aligné avec le plan de écliptique (le plan sur lequel la Terre tourne autour du Soleil) met le doute quant à son origine. Une origine cinématique locale est en tout cas plus probable qu'une origine cosmologique, sauf coïncidences.

L'axe du mal du CMB.

Le spectre du CMB : un rayonnement de corps noir

Les observations montrent que le CMB est un rayonnement de corps noir quasiment parfait, ce qui est en accord avec la théorie. Le fait que le CMB soit un rayonnement de corps noir signifie que l'on peut lui attribuer une température. Au moment du découplage, on sait que le gaz de photons devait avoir la même température que le plasma. Sans expansion, cette température serait égale à la température du plasma au moment du découplage, qui a été conservée par le gaz de photons. Mais l'expansion a décalé ce rayonnement de corps noir vers le rouge, diminuant sa température. La température du fond diffus a donc diminué en conséquence. De nos jours, les mesures donnent une température d'environ 2,735 Kelvin. Mais on est en droit de se demander quelle était sa température au moment de sa formation.

Comparaison du CMB avec un rayonnement de corps noir.

La température de recombinaison

La recombinaison a eu lieu quand l'univers a atteint une certaine température, qu'il est important de connaître. En effet, grâce à elle, on peut calculer quand a eu lieu le découplage, et donc dater le CMB. Autant dire que calculer celle-ci est d'une importance primordiale. En théorie, la température du CMB est la température à laquelle un plasma se condense en atomes quand on le refroidit. Dit autrement, c'est la température d'une transition de phase. Vous avez peut-être déjà entendu que cette température est d'environ 3000 degrés Kelvin, ce qui est la température mesurée sur Terre. Reste qu'il vaut mieux la calculer et en rendre compte théoriquement. Les mesures réalisées sur Terre ne sont peut-être pas représentatives des conditions de l'univers primordial : la pression est plus élevée, la densité différente et j'en passe. Dans cette section, nous allons calculer la température théorique à laquelle le découplage a eu lieu.

L'approximation par l'énergie photonique moyenne

Une première méthode est de comparer l'énergie d'ionisation de l'hydrogène avec l'énergie d'un photon. Dans un gaz de photons de température $T$, l'énergie moyenne d'un photon est de $3k_{B}T$. L'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène (la plus faible de toutes) est de 13,6 électrons-Volts (l'EV est une unité d'énergie). Si l'énergie moyenne des photons est supérieure à l'énergie d'ionisation de l'hydrogène, alors la matière restera ionisée. Si ce n'est pas le cas, les photons ne sont pas assez énergétiques pour ioniser la matière, qui se condense. On peut alors calculer une approximation de la température de découplage avec le quotient suivant :

$T={\frac {13,6eV}{3k_{B}}}=50000K$

On voit que la température obtenue est diablement haute, comparée aux valeurs réelles : plus de 10 fois la valeur réelle. Cela vient d'un phénomène simple : l'énergie moyenne n'est qu'une moyenne, qui cache le fait que certains photons sont plus énergétiques que la moyenne. Même si l'énergie moyenne d'un photon est de 13,6 eV, de nombreux photons ont une énergie suffisante pour ioniser un atome dans le gaz de photon.

On peut obtenir une approximation plus crédible en étudiant plus en détail la dispersion des énergies des photons. Dans un gaz de photons, tous les photons n'ont pas la même énergie. Et l'énergie n'est pas répartie équitablement entre les photons, mais suit une loi assez compliquée. Mais pour simplifier, on peut estimer que le nombre de photons suit la loi de Boltzmann. Pour résumer, le nombre de photons qui a au moins une énergie $E_{\gamma }$ est proportionnel à l'exponentielle de leur énergie. Mis sous forme de formule, cela donne :

$N_{\gamma }\propto e^{-{\frac {E_{\gamma }}{KT}}}$.

Supposons maintenant qu'il faille un photon par atome à ioniser pour que l'ionisation se fasse. Sachant qu'il y a environ $1,7\times 10^{9}$ photons par baryon.atome, on peut trouver la température de découplage suivante :

$T={\frac {13,6eV}{k_{B}\times \ln {(1,7\times 10^{9})}}}=7400K$

L'approximation par l'équation de Saha

Il est possible d'obtenir une approximation plus précise avec l'équation de Saha. Celle-ci permet de déduire le degré d'ionisation d'un gaz. Le gaz en question correspond à un gaz d'hydrogène, composant principal de l'univers, qui s'est justement formé lors du découplage. Avant le découplage, on peut considérer que l'univers était rempli d'un plasma formé par ionisation du gaz d'hydrogène, à savoir un gaz qui mélangeait protons et électrons. L'équation de Saha nous dit que, si on note :

• $n_{e}$, $n_{p}$ et $n_{H}$ la concentration en électrons, protons et hydrogène ;
• $m_{e}$ la masse de l'électron ;
• $E_{I}$ l'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène.

${\frac {n_{e}\cdot n_{p}}{n_{H}}}=\left({\frac {m_{e}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\cdot \exp \left({\frac {E_{I}}{kT}}\right)$

Vous remarquerez que l'équation de Saha ressemble beaucoup à la distribution de Boltzmann.

Pour diverses raisons techniques, les physiciens décrivent souvent l'ionisation d'un gaz en utilisant la fraction d'électrons libres. Elle correspond au rapport en nombre d'électrons libres et nombre de protons (libres ou appartenant à un atome d'hydrogène). Elle vaut donc :

$x_{e}={\frac {n_{e}}{n_{p}+n_{H}}}$

Le plasma primordial est neutre électriquement. Or, la neutralité électrique de la matière signifie que $n_{e}=n_{p}$. Avec cette contrainte, l'équation de Saha se réécrit comme suit :

${\frac {x_{e}^{2}}{1-x_{e}}}={\frac {1}{n_{H}+n_{p}}}\cdot \left({\frac {m_{e}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\cdot \exp \left({\frac {E_{I}}{kT}}\right)$

L'équation nous dit que le découplage n'est pas un évènement qui a eu lieu à une température bien précise, mais un processus continu dans lequel l'ionisation a baissé lentement. À 5000 Kelvins, la matière est ionisée à près de 99%. Le taux d'ionisation chute ensuite progressivement avec la température, pour atteindre 50% à 4000 Kelvins, puis 1% à 3000 Kelvins. Les scientifiques estiment, par pure convention, que le découplage a eu lieu quand le degré d'ionisation descend en-dessous de 1%, c'est à dire à une température d'environ 3700 Kelvin.

Les approximations plus précises

Les observations ne sont pas complètement compatibles avec cette approximation, bien que le modèle de Saha colle à-peu-près. Les mesures semblent indiquer non seulement que la température calculée n'est pas tout à fait exacte, mais qu'en plus, le découplage a pris plus de temps, s'est déroulé plus lentement. Pour obtenir des résultats plus précis, divers modèles ont été inventés par les physiciens. Le plus simple de ces modèles est le modèle de Peebles, aussi connu sous le nom de modèle d'atome à trois étages. Il a été complété par de nombreux modèles, qui sont devenus de plus en plus complexes avec le temps, incluant de plus en plus d'acquis théoriques provenant de la physique atomique. Nous ne parlerons pas de ces modèles, qui sont assez compliqués pour ce cours et qui font notamment appel à quelques concepts de physique quantique.

L'âge de la recombinaison

La température du fond diffus au moment du découplage est estimée à 3000 degrés Kelvin, température de condensation d'un plasma en atomes. À partir de la température mesurée actuellement, et de la valeur théorique de formation d'un plasma, on peut déduire l'âge qui s'est écoulé depuis la formation du CMB. En théorie, on peut déduire la température du CMB en utilisant la formule suivante, établie dans le chapitre "L'évolution du rayonnement" :

$T(t)=T(t_{0})\cdot {\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

Mais utiliser cette formule présuppose de connaître $a(t_{0})$ et $a(t)$. Cependant, on peut ruser en remplaçant le facteur d'échelle par le redshift. Pour cela, on utilise la formule vue dans le chapitre "L'évolution du rayonnement". Le décalage vers le rouge $z(t)$ est mesuré entre l'époque actuelle et la recombinaison, ce qui fait qu'on le notera $z_{rec}$.

$T={\frac {T(t_{0})}{1+z_{rec}}}$

Rappelons que cette formule utilise la convention $t_{0}=t_{emission}$. Ici, le temps d'émission est l'instant où a eu lieu la recombinaison. En clair, la température $T(t_{0})$ est la température de découplage $T_{rec}$.

$T(t)={\frac {T_{rec}}{1+z_{rec}}}$

La température au moment du découplage était d'environ 3000 degrés Kelvin, alors que la température actuelle du fond diffus est d'environ 2,735 degrés Kelvin.

$2,735K={\frac {3000K}{1+z_{rec}}}$

Le redshift calculé ainsi est de :

$z\approx 1100$.

En utilisant un modèle cosmologique, on peut déduire une relation âge-redshift, et donc calculer combien d'années se sont écoulées entre le big-bang et la formation du CMB.

Une introduction aux modèles cosmologiques

Les chapitres précédents nous ont appris beaucoup de choses. Ils ont fourni une description de l'expansion de l'univers basée sur le facteur d'échelle, de quoi calculer le rayon de l'univers observable, et ont décrit comment la matière et le rayonnement réagissent à l'expansion. Maintenant, nous allons voir une portion bien plus intéressante de la cosmologie. Nous allons étudier les modèles cosmologiques, des modèles théoriques qui décrivent comment l'univers lui-même a évolué au cours du temps. Les modèles cosmologiques que nous allons voir dans ce cours donnent au minimum les résultats suivants : l'évolution du facteur d'échelle au cours du temps (la fonction $a(t)$, le rayon observable de l'univers, son âge (s'il en a un), une formule pour le facteur de Hubble, et parfois d'autres données supplémentaires (T(t) : température à tout instant, ...).

Dans ce chapitre, nous allons voir quelques modèles cosmologiques ad hoc. Par ad hoc, on veut dire qu'on fait des hypothèses purement arbitraires pour démontrer le modèle. De tels modèles sont à contraster avec des modèles démontrés à partir de principes physiques fondamentaux. Les modèles démontrés à partir de lois physiques plus fondamentales sont en effet un peu plus compliqués et seront vus dans les chapitres qui suivent. Le prochain chapitre porte d'ailleurs sur les modèles de Friedmann, qui sont les modèles les plus utilisés en cosmologie physique. Dans ce chapitre, nous allons voir des modèles plus simples. La démarche de ce chapitre consistera simplement à postuler une loi d'évolution pour le facteur d'échelle, à postuler la fonction $a(t)$. Une fois cela fait, nous pourrons établir une formule pour le facteur de Hubble, le rayon cosmologique, etc. Une telle démarche demande de choisir une fonction $a(t)$ en fonction de ses propriétés mathématiques, de sa facilité pour faire les calculs, etc. Dans les modèles cosmologiques physiques, cette loi $a(t)$ est démontrée à partir de principes physiques plus fondamentaux.

Dans ce chapitre, nous allons voir plusieurs modèles. Le premier est celui pour lequel la loi $a(t)$ est linéaire. Il s'agit d'un modèle très simple, mais qui n'est pas réaliste du tout. Cependant, ce modèle permet d'introduire deux grandeurs fondamentales : le temps et le rayon de Hubble. De plus, il sert de point de comparaison avec le second type de modèles : ceux pour lesquels la loi $a(t)$ est une loi de puissance. Enfin, nous verrons ce qui se passe quand le facteur d'échelle croit de façon exponentielle. En soit, ces trois modèles font que l'univers est en expansion, mais de manière différente. Une croissance linéaire n'a rien à voir avec une croissance exponentielle, ni avec une croissance en loi de puissance. Nous verrons cependant que les modèles cosmologiques physiques, ceux de Friedmann, donnent une croissance soit exponentielle, soit en loi de puissance. Nous pourrons donc réutiliser les résultats de ce chapitre dans les chapitres ultérieurs sur les modèles physiques. Les modèles ad hoc que nous allons voir vont nous donner des résultats qui faciliteront l'étude de modèles plus physiques, plus compliqués.

Le modèle à croissance linéaire

Pour commencer, nous allons étudier un premier modèle : le modèle à croissance linéaire. Il est aussi appelé modèle $R_{h}=ct$, en raison d'une des équations du modèle. Les cosmologistes ont étudié ce modèle à partir de l'année 2012, car de nombreux problèmes des autres modèles disparaissent dans ce modèle, mais il semble qu'il ne colle pas trop aux observations actuelles. Quoi qu’il en soit, ce modèle est intéressant à étudier et il sert de bonne introduction, avant de passer à des modèles plus compliqués.

Avec ce modèle, on suppose que l'univers gonfle de manière relativement constante avec le temps. Mathématiquement, cela se traduit par la loi d'évolution suivante pour le facteur d'échelle :

$a(t)=k\cdot t$, avec $t$ le temps, $k$ une constante quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

$a(t)=a(t_{0})\cdot {\frac {t}{t_{0}}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

Notons que les deux sont équivalentes, sous réserve que $k={\frac {a(t_{0})}{t_{0}}}$. Dans ce qui va suivre, nous utiliserons la première formulation, sauf pour ce qui est l'étude du décalage vers le rouge. Avec ces formules, nous allons calculer quelle est la valeur du facteur de Hubble qui correspond, quel est l'âge de l'univers, quel est son rayon, la vitesse de l'expansion de l'univers, etc.

Avant de poursuivre, on peut calculer la dérivée première et seconde du facteur d'échelle, deux résultats qui seront utiles pour la suite. Le calcul de la dérivée première donne :

${\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}(k\cdot t)=k$

Celle-ci étant une constante, la dérivée seconde est donc nulle.

${\frac {d}{dt}}^{2}a(t)=0$

Rappelons que la dérivée seconde du facteur d'échelle nous dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Pour une valeur nulle, l'expansion se fait à rythme constant.

Le calcul du facteur de Hubble et de l'âge de l'univers

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de la dérivée du facteur d'échelle, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}a(t)=k$

En divisant par a(t), le terme de gauche devient le facteur de Hubble. On a alors :

$H(t)={\frac {k}{a(t)}}={\frac {k}{k\cdot t}}={\frac {1}{t}}$

On peut comparer l'équation précédente avec l'identité $H(t)={\frac {1}{T_{H}}}$ vue dans le second chapitre. On obtient alors :

$t=T_{H}$

L'âge de l'univers est égal au temps de Hubble dans ce modèle.

L'évolution du facteur de Hubble dans le temps

De l'équation $H={\frac {1}{t}}$, on peut déduire comment le facteur de Hubble H évolue au cours du temps. Pour cela, il suffit d'étudier ce qui se passe quand l'âge de l'univers augmente. Au fur et à mesure que le temps passe, l'âge de l'univers augmente. Ce faisant, le dénominateur de $H={\frac {1}{t}}$ croit et le facteur de Hubble diminue donc. Pour le dire en termes mathématiques, le facteur de Hubble est une fonction décroissante du temps. Un bon moyen de s'en rendre compte est de calculer la dérivée du facteur de Hubble :

${\frac {d}{dt}}H(t)=\left({\frac {1}{t}}\right)'=-{\frac {1}{t^{2}}}$

La dérivée étant négative, on en déduit que le facteur de Hubble décroit au cours du temps. Et cette décroissance est d'autant plus rapide que l'univers est âgé.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour rappel, celui-ci est un nombre qui dit à quelle vitesse l'expansion de l'univers accélère ou ralentit. L'expansion est décélérée s'il est positif, accélère s'il est négatif et reste constante sinon. Il se calcule en utilisant la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte alors les équations $H={\frac {1}{t}}$ et $H'(t)=-{\frac {1}{t^{2}}}$, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {1}{t^{2}}}t^{2}\right)=-(1-1)=0$

En clair, l'expansion garde un rythme constant, elle n’accélère pas et ne ralentit pas, comme dit précédemment.

Le rayon de Hubble

Par définition, le rayon de Hubble est égal à :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}$

En combinant avec l'équation $H(t)={\frac {1}{t}}$, on a :

$R_{H}(t)=c\cdot t$

Le modèle à expansion linéaire est aussi appelé modèle $R_{h}=ct$, en raison de ce résultat. D'ailleurs, c'est le seul modèle dans lequel cette égalité est tout le temps vraie. Si l'on a pas une expansion linéaire, alors le rayon de Hubble n'est égal à $c\cdot t$ que pour une valeur de $t$ bien précise et fausse pour toutes les autres.

Le rayon comobile de Hubble est définit par la formule :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a'(t)}}$

Par définition, on a $a'(t)=k$, qui est une constante.

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{k}}$

On remarque que toute la partie de droite ne contient que des termes constants (c et k sont tous deux constants). Ce qui signifie que le rayon comobile de l'univers est lui aussi constant. Certes, le rayon de Hubble grandit, mais il le fait au rythme que le facteur d'échelle. Les deux se compensent, donnant un rayon comobile constant.

Le calcul du rayon de l'univers observable

Dans ce modèle, calculer le rayon de l'univers observable n'est pas une mince affaire. On a vu dans le chapitre sur l'univers observable qu'il faudrait idéalement utiliser cette formule :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Malheureusement, si on se met à faire les calculs à la main, on s’aperçoit rapidement que l'intégrale ne converge pas ! Le modèle nous dit donc que le rayon observable de l'univers est infini. Cela est un avantage, car cela résout un problème majeur, appelé problème de l'horizon, qui touche les autres modèles cosmologiques. Nous en reparlerons vers la fin du cours plus en détail.

Le calcul du décalage vers le rouge

Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance $d$ émet de la lumière à un instant $t_{0}$, lumière qui est reçue par l'observateur à un instant $t$. Nous allons calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift. Pour gérer ce cas, nous allons devoir utiliser la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement, qui donne le redshift en fonction du facteur d'échelle :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot t$ :

$1+z={\frac {k\cdot t_{0}}{k\cdot t}}$

En simplifiant, on trouve :

$1+z={\frac {t_{0}}{t}}$

Il est aussi possible d'écrire le facteur de Hubble en fonction du décalage vers le rouge et réciproquement. Par exemple, imaginons qu'un objet émette de la lumière à un instant $t-0$, quand le facteur de Hubble est égal à $H_{0}$ et le facteur d'échelle à $a_{0}$. Sa lumière est reçue par l'observateur à l'instant $t$, quand le paramètre de Hubble et le facteur d'échelle valent $H(t)$ et $a(t)$. On peut alors démontrer l'équation suivante :

$1+z={H(z) \over H_{0}}$

Qui peut se reformuler comme suit :

$H(z)=H_{0}\cdot (1+z)$

Démonstration

Pour démontrer la formule précédente, partons de la relation : $1+z={\frac {t_{0}}{t}}$ Or, on sait que $H(t)={1 \over t}$. On a donc $t={1 \over H(t)}$ et $t_{0}={1 \over H_{0}}$ En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve : $1+z={1 \over H_{0}}/{\frac {1}{H(t)}}$ En réarrangeant les termes, on trouve la formule à démontrer, mais sous une forme légèrement différente : $1+z={H(z) \over H_{0}}$

Un modèle trop simplifié pour être réaliste

Les scientifiques ont estimé le rayon de l'univers observable, et leurs résultats semblent relativement proches du rayon de Hubble. Là encore, comme pour la coïncidence entre âge de l'univers estimé et temps de Hubble, personne ne sait si c'est une coïncidence ou quelque chose de plus important. En théorie, l'égalité $R(t)=c\cdot T_{H}$ est respectée en permanence dans le modèle linéaire. Par contre, elle n'est respectée que pour un instant $t$ bien précis dans les autres et violée dans tous les autres cas. Le fait que l'égalité soit respectée dans notre monde est donc soit une grosse coïncidence, soit elle trahit quelque chose de fondamental qui est encore mal compris. Par contre, les résultats empiriques concernant les mesures de redshift, ou via d'autres mesures indirectes, ne collent pas du tout avec ce modèle. Autant l'égalité $R(t)=c\cdot T_{H}$ est respectée, autant les autres prédictions du modèle ne le sont pas.

Et les mesures ne sont pas seules à nous dire que ce modèle est trop simpliste pour décrire fidèlement l'univers. La théorie nous dit que ce modèle n'est valide que pour un univers vide, c'est à dire en absence de matière. Toute présence de matière biaise les résultats du modèle. Et aux dernières nouvelles, la matière existe...

Le modèle à croissance en loi de puissance

Maintenant, nous allons étudier le cas d'une expansion en loi de puissance. En clair, nous allons étudier le cas où le facteur d'échelle est égal à :

$a(t)=k\cdot t^{n}$, avec $t$ le temps, $k$ une constante quelconque et $n$ une puissance quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

$a(t)=a(t_{0})\cdot \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{n}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

Les deux formulations sont équivalentes si l'on postule $k=a_{0}\cdot \left({\frac {1}{t_{0}}}\right)^{n}$. Dans ce qui suit, nous utiliserons la première formulation.

On peut d'or et déjà remarquer que l'expansion linéaire n'est qu'un cas particulier d'expansion en loi de puissance, où $n=1$. Ne vous étonnez donc pas si les calculs se ressemblent quelque peu.

Le calcul du facteur de Hubble et des paramètres associés

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de la dérivée du facteur d'échelle, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}(k\cdot t^{n})=k\cdot {\frac {d(t^{n})}{dt}}=k\cdot n\cdot t^{n-1}$

On divise alors par a(t) pour obtenir le facteur de Hubble :

$H={\frac {k\cdot n\cdot t^{n-1}}{k\cdot t^{n}}}=n\cdot t^{-1}={\frac {n}{t}}$

Pour résumer :

$H={\frac {n}{t}}$

L'évolution du facteur de Hubble

Pour savoir comment évolue le facteur de Hubble dans le temps, le mieux est encore une fois de calculer sa dérivée. La dérivée du facteur de Hubble est égale à :

$H'(t)=\left({\frac {n}{t}}\right)'=-{\frac {n}{t^{2}}}$

On pourrait croire qu'elle est négative, en raison du signe -, mais tout dépend de la valeur de n. C’est le cas si n est positif ou nul, mais il peut être négatif.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour le calculer, on applique la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte l'équation $H'(t)=-{\frac {n}{t^{2}}}$ dans l'équation précédente, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {n}{t^{2}}}{\frac {1}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte alors l'équation $H={\frac {n}{t}}$, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {n}{t^{2}}}\cdot {\frac {t^{2}}{n^{2}}}\right)$

Ce qui se simplifie en :

$q=-\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

On peut réécrire le tout comme suit :

$q={\frac {1}{n}}-1={\frac {1-n}{n}}$

En clair, l'expansion dépend du coefficient $n$.

• Si $n=1$, alors on retombe sur le cas de l'expansion linéaire. L'expansion a un rythme constant : elle n’accélère pas et ne ralentit pas.
• Si $n>1$, l'expansion accélère.
• Enfin, si $n<1$, l'expansion de l'univers ralentit.

Le calcul de l'âge de l'univers

L'équation : $H={\frac {n}{t}}$ permet de calculer l'âge de l'univers $t$ à partir du facteur de Hubble. En isolant $t$ dans l'équation précédente, on trouve en effet :

$t={\frac {n}{H}}$

Reformulons en utilisant le temps de Hubble :

$t=n\cdot T_{H}$

On voit que l'âge de l'univers est un multiple du temps de Hubble, le coefficient de proportionnalité n'étant autre que l'exposant de la loi de puissance.

Le calcul du rayon de Hubble

Il est possible, à partir des résultats précédents, de calculer le rayon de Hubble assez facilement. Pour rappel, celui-ci est la distance à partir de laquelle les objets semblent aller plus vite que la lumière à cause de l'expansion. Pour rappel, il vaut :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}$

On injecte alors l'équation : $H={\frac {n}{t}}$ :

$R_{H}(t)={\frac {c\cdot t}{n}}$

Dans ce modèle, le rayon de Hubble augmente avec le temps.

Le calcul du rayon de l'univers observable

À partir des résultats précédents, nous pouvons trouver le rayon de l'univers observable, qui n'est pas le même que le rayon de Hubble. Pour cela, il faut cependant se rappeler ce qu'on a vu dans le chapitre sur l'univers observable. Pour calculer le rayon de l'univers observable, il faut procéder en deux étapes. Premièrement, il faut calculer le rayon comobile, le rayon calculé en supprimant l'effet de l'expansion. Ensuite, on corrige ce rayon comobile pour ajouter l'expansion de l'univers. Si on note $R(t)$ le rayon de l'univers à l'instant t, alors le rayon comobile est égal à $r(t)={R(t) \over a(t)}$. Le passage du rayon comobile au rayon observé se fait donc simplement en multipliant par le facteur d'échelle $a(t)$. La deuxième étape est donc triviale. Par contre, la première étape, le calcul du rayon comobile, fait intervenir une intégrale assez compliquée. Pour rappel, le rayon comobile se calcule avec la formule suivante :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Pour calculer le rayon comobile, nous allons introduire l'équation $a(t)=k\cdot t^{n}$ dans la précédente, ce qui donne :

$r(t)=c\int _{0}^{t}{\frac {1}{k\cdot t_{i}^{n}}}dt_{i}$

La constante k peut être sortie de l'intégrale, ce qui donne :

$r(t)={\frac {c}{k}}\int _{0}^{t}{\frac {1}{t_{i}^{n}}}dt_{i}$

On utilise alors la formule $\int {\frac {1}{t^{n}}}dt={\frac {t^{1-n}}{1-n}}$ :

$r(t)={\frac {c}{k}}{\frac {t_{u}^{1-n}}{1-n}}$

On utilise alors la formule $t_{u}^{1-n}={\frac {t}{t^{n}}}$ :

$r(t)={\frac {c}{k}}{\frac {t}{t^{n}}}{\frac {1}{1-n}}$

On regroupe les termes comme suit :

$r(t)={\frac {ct}{1-n}}{\frac {1}{k\cdot t^{n}}}$

Par définition, le terme ${\frac {1}{k\cdot t^{n}}}$ est égal à $1 \over a(t)$, ce qui donne :

$r(t)={\frac {ct}{1-n}}{\frac {1}{a(t)}}$

On peut donc en déduire le rayon propre de l'univers observable en multipliant des deux côtés par $a(t)$ :

$R(t)={\frac {c\cdot t}{1-n}}$

Si on prend $n=1$, on retombe sur les résultats du modèle $R_{h}=ct$ vus précédemment. Et encore une fois, on voit que le rayon de l'univers diverge : l'application de la formule précédente donne une division par zéro.

La relation entre rayon de Hubble et rayon de l'univers observable

Les équations précédentes montrent que le rayon de l'univers observable n'est pas égal au rayon de Hubble ! Il y a une différence entre $R_{H}={\frac {c\cdot t}{n}}$ et le rayon de l'univers observable $R(t)={\frac {c\cdot t}{1-n}}$. La relation entre les deux variables se calcule comme suit :

$R_{H}={\frac {c\cdot t}{n}}$

Multiplions au numérateur et au dénominateur par 1 - n :

$R_{H}={\frac {1-n}{1-n}}{\frac {c\cdot t}{n}}$

En réorganisant les termes, on trouve :

$R_{H}={\frac {1-n}{n}}{\frac {c\cdot t}{1-n}}$

Le terme le plus à droite n'est autre que le rayon de l'univers observable :

$R_{H}={\frac {1-n}{n}}r(t)$

On peut aussi inverser la relation, ce qui donne :

$r(t)={\frac {n}{1-n}}R_{H}$

Les deux rayons sont égaux seulement dans le cas où $n=1-n$, ce qui donne $n={\frac {1}{2}}$.

On peut aussi remarquer que l'on a :

${\frac {1}{R_{H}}}+{\frac {1}{R(t)}}=c\cdot t$

Le calcul du décalage vers le rouge

Voyons maintenant le calcul du redshift. Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance $d$ émet de la lumière à un instant $t_{0}$, lumière qui est reçue par l'observateur à un instant $t$. Pour calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift, on utilise la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot t^{n}$ :

$1+z={\frac {k\cdot {t_{0}}^{n}}{k\cdot t^{n}}}$

On simplifie :

$1+z=\left({\frac {t_{0}}{t}}\right)^{n}=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{-n}$

Sachant que $H(t)={\frac {n}{t}}$, on a aussi :

$1+z=\left({\frac {H(t_{0})}{H(t)}}\right)^{n}$

En remarquant que ${t_{0}}^{n}$ est une constante, les équations précédentes se simplifient en :

$1+z\propto t^{-n}$

Le modèle à croissance exponentielle

Pour terminer, nous allons étudier le cas d'une expansion exponentielle, décrite par :

$a(t)=k\cdot e^{r\cdot t}$, avec $t$ le temps, $k$ et $r$ deux constantes quelconques.

Précisons que nous prenons $r>0$, sans quoi la fonction serait décroissante, ainsi que $k>0$, pour garantir que l'univers n'a pas de volume négatif. Voir le graphique ci-dessous pour comprendre pourquoi.

Illustration de la courbe de la fonction exponentielle.

Précisons que les propriétés mathématiques de l'exponentielle ont une conséquence assez intéressante. En effet, une exponentielle ne peut pas s'annuler, ce qui fait qu'il n'existe pas de temps t où le facteur d'échelle s'annule. En conséquence, on n'a pas d'instant où tout l'univers est rassemblé en un unique point, on n'a pas de singularité initiale. L'univers n'a donc pas d'âge, il existe depuis un temps infini. Ce modèle est donc un petit peu particulier, dans le sens où il n'y a pas de big-bang dedans. Cela peu sembler bizarre que les cosmologistes utilisent un tel modèle, mais nous verrons dans certains chapitres que ce modèle est plus réaliste qu'il n'y parait. Et à bien y penser, l'absence de singularité est plus un avantage qu'un inconvénient.

Le calcul du paramètre de Hubble

Une démonstration simple part du principe que le facteur de Hubble est la dérivée logarithmique du facteur d'échelle, c'est à dire la dérivée du logarithme. Pour en faire le calcul, on commence par prendre le logarithme du facteur d'échelle, ce qui colle parfaitement avec la formule exponentielle.

$\ln a(t)=\ln \left[k\cdot e^{r\cdot t}\right]$

Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des opérandes :

$\ln a(t)=\ln k+\ln \left[e^{r\cdot t}\right]$

Le logarithme et l'exponentielle s'annulent, ce qui donne :

$\ln a(t)=\ln k+r\cdot t$

On prend ensuite la dérivée, ce qui donne :

$H(t)={\frac {d}{dt}}\ln k+{\frac {d}{dt}}(r\cdot t)=0+r=r$

Démonstration

Une démonstration alternative part de la dérivée du facteur d'échelle : ${\frac {da}{dt}}={\frac {d(k\cdot e^{r\cdot t})}{dt}}=k\cdot {\frac {d(e^{r\cdot t})}{dt}}=k\cdot r\cdot e^{r\cdot t}$ On divise par $a(t)=k\cdot e^{r\cdot t}$, ce qui donne : $H={\frac {k\cdot r\cdot e^{r\cdot t}}{k\cdot e^{r\cdot t}}}=r$

Le paramètre de Hubble est donc la constante r de l'exponentielle. On peut donc reformuler la loi d'expansion comme suit :

$a(t)=k\cdot e^{H\cdot t}$

Le calcul du temps et du rayon de Hubble

À partir du facteur de Hubble calculé juste avant, on peut calculer le temps de Hubble :

$T_{H}={\frac {1}{H}}={\frac {1}{r}}$

Même chose pour le rayon de Hubble :

$R_{H}={\frac {c}{H}}={\frac {c}{r}}$

On voit que vu que le paramètre de Hubble est constant, le temps de Hubble et le rayon de Hubble le sont aussi. Cela peut paraître bizarre que le rayon de Hubble soit constant, mais rappelez-vous qu'il ne s'agit que du rayon au-delà duquel la vitesse de fuite d'un objet est égale à $c$. Il n'a pas de signification physique.

Le calcul du rayon de l'univers observable

Pour trouver le rayon de l'univers observable, on utilise encore une fois l'équation suivante :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

On fait le remplacement avec $a(t)=k\cdot e^{H\cdot t}$ :

$R(t)=c\cdot k\cdot e^{H\cdot t}\cdot \int _{0}^{t}{1 \over k\cdot e^{H\cdot u}}du$

Vu que k est une constante, on la sort de l'intégrale :

$R(t)=c\cdot k\cdot e^{H\cdot t}\cdot {1 \over k}\int _{0}^{t}{1 \over e^{H\cdot u}}du$

On simplifie :

$R(t)=c\cdot e^{H\cdot t}\cdot \int _{0}^{t}e^{-H\cdot u}du$

Le calcul de l'intégrale donne :

$R(t)=c\cdot e^{H\cdot t}\cdot \left({1-e^{-H\cdot u} \over H}\right)$

On reformule :

$R(t)={\frac {c}{H}}\cdot e^{H\cdot t}\cdot \left(1-e^{-H\cdot u}\right)$

On simplifie :

$R(t)={\frac {c}{H}}\left(e^{H\cdot t}-1\right)$

Le terme ${\frac {c}{H}}$ n'est autre que le rayon de Hubble $R_{H}$ :

$R(t)=R_{H}\left(e^{H\cdot t}-1\right)$

On voit que le rayon de l'univers observable est plus grand que le rayon de Hubble.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour cela, on utilise la formule vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

Le facteur de Hubble est constant, ce qui fait que sa dérivée est nulle. En injectant $H'(t)=0$ dans l'équation précédente, on trouve :

$q=-1$

Ce résultat nous dit que l'expansion de l'univers accélère.

Le calcul du décalage vers le rouge

Passons maintenant au calcul du redshift. Pour le calculer, on utilise la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot e^{rt}$ :

$1+z={\frac {k\cdot e^{rt_{0}}}{k\cdot e^{rt}}}$

On simplifie :

$1+z=e^{r(t_{0}-t)}$

On voit que le redshift augmente exponentiellement.

Les équations de Friedmann newtoniennes

Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Elles décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope), et permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle. Elles sont au nombre de trois et portent les noms de "première équation de Friedmann", "seconde équation de Friedmann" et "équation du fluide cosmologique".

Démontrer ces équations demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Dans ce chapitre, nous allons démontrer ces équations dans un cadre newtonien. Nous n'allons pas faire usage de la relativité et nous utiliserons seulement les outils de la physique classique. Ce qu'on verra dans le chapitre est donc assez simple et accessible.

Dans ce qui suit, les notations sont les suivantes : $\rho$ est la densité de matière, $G$ est la constante de gravitation et $K$ est un terme dont nous verrons la signification dans ce qui suit.

Les trois équations de Friedmann, en version non-relativiste, sont les suivantes :

Première équation de Friedmann	$H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {K}{a^{2}}}$
Seconde équation de Friedmann	${\frac {a''}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\rho$
Équation du fluide cosmologique de Friedmann	${\frac {d\rho }{dt}}+3H\rho =0$

La première équation de Friedmann

Pour démontrer la première équation de Friedmann, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la Terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée $E$. Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à $E_{pot}=-{\frac {GMm}{R}}$ et $E_{cin}={\frac {1}{2}}mv^{2}$, ce qui donne :

$E=E_{cin}+E_{}$