Cosmologie/Une introduction aux modèles cosmologiques

Les chapitres précédents nous ont appris beaucoup de choses. Ils ont fourni une description de l'expansion de l'univers basée sur le facteur d'échelle, de quoi calculer le rayon de l'univers observable, et ont décrit comment la matière et le rayonnement réagissent à l'expansion. Maintenant, nous allons voir une portion bien plus intéressante de la cosmologie. Nous allons étudier les modèles cosmologiques, des modèles théoriques qui décrivent comment l'univers lui-même a évolué au cours du temps. Les modèles cosmologiques que nous allons voir dans ce cours donnent au minimum les résultats suivants : l'évolution du facteur d'échelle au cours du temps (la fonction $a(t)$, le rayon observable de l'univers, son âge (s'il en a un), une formule pour le facteur de Hubble, et parfois d'autres données supplémentaires (T(t) : température à tout instant, ...).

Dans ce chapitre, nous allons voir quelques modèles cosmologiques ad hoc. Par ad hoc, on veut dire qu'on fait des hypothèses purement arbitraires pour démontrer le modèle. De tels modèles sont à contraster avec des modèles démontrés à partir de principes physiques fondamentaux. Les modèles démontrés à partir de lois physiques plus fondamentales sont en effet un peu plus compliqués et seront vus dans les chapitres qui suivent. Le prochain chapitre porte d'ailleurs sur les modèles de Friedmann, qui sont les modèles les plus utilisés en cosmologie physique. Dans ce chapitre, nous allons voir des modèles plus simples. La démarche de ce chapitre consistera simplement à postuler une loi d'évolution pour le facteur d'échelle, à postuler la fonction $a(t)$. Une fois cela fait, nous pourrons établir une formule pour le facteur de Hubble, le rayon cosmologique, etc. Une telle démarche demande de choisir une fonction $a(t)$ en fonction de ses propriétés mathématiques, de sa facilité pour faire les calculs, etc. Dans les modèles cosmologiques physiques, cette loi $a(t)$ est démontrée à partir de principes physiques plus fondamentaux.

Dans ce chapitre, nous allons voir plusieurs modèles. Le premier est celui pour lequel la loi $a(t)$ est linéaire. Il s'agit d'un modèle très simple, mais qui n'est pas réaliste du tout. Cependant, ce modèle permet d'introduire deux grandeurs fondamentales : le temps et le rayon de Hubble. De plus, il sert de point de comparaison avec le second type de modèles : ceux pour lesquels la loi $a(t)$ est une loi de puissance. Enfin, nous verrons ce qui se passe quand le facteur d'échelle croit de façon exponentielle. En soit, ces trois modèles font que l'univers est en expansion, mais de manière différente. Une croissance linéaire n'a rien à voir avec une croissance exponentielle, ni avec une croissance en loi de puissance. Nous verrons cependant que les modèles cosmologiques physiques, ceux de Friedmann, donnent une croissance soit exponentielle, soit en loi de puissance. Nous pourrons donc réutiliser les résultats de ce chapitre dans les chapitres ultérieurs sur les modèles physiques. Les modèles ad hoc que nous allons voir vont nous donner des résultats qui faciliteront l'étude de modèles plus physiques, plus compliqués.

Le modèle à croissance linéaire

Pour commencer, nous allons étudier un premier modèle : le modèle à croissance linéaire. Il est aussi appelé modèle $R_{h}=ct$, en raison d'une des équations du modèle. Les cosmologistes ont étudié ce modèle à partir de l'année 2012, car de nombreux problèmes des autres modèles disparaissent dans ce modèle, mais il semble qu'il ne colle pas trop aux observations actuelles. Quoi qu’il en soit, ce modèle est intéressant à étudier et il sert de bonne introduction, avant de passer à des modèles plus compliqués.

Avec ce modèle, on suppose que l'univers gonfle de manière relativement constante avec le temps. Mathématiquement, cela se traduit par la loi d'évolution suivante pour le facteur d'échelle :

$a(t)=k\cdot t$, avec $t$ le temps, $k$ une constante quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

$a(t)=a(t_{0})\cdot {\frac {t}{t_{0}}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

Notons que les deux sont équivalentes, sous réserve que $k={\frac {a(t_{0})}{t_{0}}}$. Dans ce qui va suivre, nous utiliserons la première formulation, sauf pour ce qui est l'étude du décalage vers le rouge. Avec ces formules, nous allons calculer quelle est la valeur du facteur de Hubble qui correspond, quel est l'âge de l'univers, quel est son rayon, la vitesse de l'expansion de l'univers, etc.

Avant de poursuivre, on peut calculer la dérivée première et seconde du facteur d'échelle, deux résultats qui seront utiles pour la suite. Le calcul de la dérivée première donne :

${\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}(k\cdot t)=k$

Celle-ci étant une constante, la dérivée seconde est donc nulle.

${\frac {d}{dt}}^{2}a(t)=0$

Rappelons que la dérivée seconde du facteur d'échelle nous dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Pour une valeur nulle, l'expansion se fait à rythme constant.

Le calcul du facteur de Hubble et de l'âge de l'univers

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de la dérivée du facteur d'échelle, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}a(t)=k$

En divisant par a(t), le terme de gauche devient le facteur de Hubble. On a alors :

$H(t)={\frac {k}{a(t)}}={\frac {k}{k\cdot t}}={\frac {1}{t}}$

On peut comparer l'équation précédente avec l'identité $H(t)={\frac {1}{T_{H}}}$ vue dans le second chapitre. On obtient alors :

$t=T_{H}$

L'âge de l'univers est égal au temps de Hubble dans ce modèle.

L'évolution du facteur de Hubble dans le temps

De l'équation $H={\frac {1}{t}}$, on peut déduire comment le facteur de Hubble H évolue au cours du temps. Pour cela, il suffit d'étudier ce qui se passe quand l'âge de l'univers augmente. Au fur et à mesure que le temps passe, l'âge de l'univers augmente. Ce faisant, le dénominateur de $H={\frac {1}{t}}$ croit et le facteur de Hubble diminue donc. Pour le dire en termes mathématiques, le facteur de Hubble est une fonction décroissante du temps. Un bon moyen de s'en rendre compte est de calculer la dérivée du facteur de Hubble :

${\frac {d}{dt}}H(t)=\left({\frac {1}{t}}\right)'=-{\frac {1}{t^{2}}}$

La dérivée étant négative, on en déduit que le facteur de Hubble décroit au cours du temps. Et cette décroissance est d'autant plus rapide que l'univers est âgé.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour rappel, celui-ci est un nombre qui dit à quelle vitesse l'expansion de l'univers accélère ou ralentit. L'expansion est décélérée s'il est positif, accélère s'il est négatif et reste constante sinon. Il se calcule en utilisant la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte alors les équations $H={\frac {1}{t}}$ et $H'(t)=-{\frac {1}{t^{2}}}$, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {1}{t^{2}}}t^{2}\right)=-(1-1)=0$

En clair, l'expansion garde un rythme constant, elle n’accélère pas et ne ralentit pas, comme dit précédemment.

Le rayon de Hubble

Par définition, le rayon de Hubble est égal à :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}$

En combinant avec l'équation $H(t)={\frac {1}{t}}$, on a :

$R_{H}(t)=c\cdot t$

Le modèle à expansion linéaire est aussi appelé modèle $R_{h}=ct$, en raison de ce résultat. D'ailleurs, c'est le seul modèle dans lequel cette égalité est tout le temps vraie. Si l'on a pas une expansion linéaire, alors le rayon de Hubble n'est égal à $c\cdot t$ que pour une valeur de $t$ bien précise et fausse pour toutes les autres.

Le rayon comobile de Hubble est définit par la formule :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a'(t)}}$

Par définition, on a $a'(t)=k$, qui est une constante.

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{k}}$

On remarque que toute la partie de droite ne contient que des termes constants (c et k sont tous deux constants). Ce qui signifie que le rayon comobile de l'univers est lui aussi constant. Certes, le rayon de Hubble grandit, mais il le fait au rythme que le facteur d'échelle. Les deux se compensent, donnant un rayon comobile constant.

Le calcul du rayon de l'univers observable

Dans ce modèle, calculer le rayon de l'univers observable n'est pas une mince affaire. On a vu dans le chapitre sur l'univers observable qu'il faudrait idéalement utiliser cette formule :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Malheureusement, si on se met à faire les calculs à la main, on s’aperçoit rapidement que l'intégrale ne converge pas ! Le modèle nous dit donc que le rayon observable de l'univers est infini. Cela est un avantage, car cela résout un problème majeur, appelé problème de l'horizon, qui touche les autres modèles cosmologiques. Nous en reparlerons vers la fin du cours plus en détail.

Le calcul du décalage vers le rouge

Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance $d$ émet de la lumière à un instant $t_{0}$, lumière qui est reçue par l'observateur à un instant $t$. Nous allons calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift. Pour gérer ce cas, nous allons devoir utiliser la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement, qui donne le redshift en fonction du facteur d'échelle :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot t$ :

$1+z={\frac {k\cdot t_{0}}{k\cdot t}}$

En simplifiant, on trouve :

$1+z={\frac {t_{0}}{t}}$

Il est aussi possible d'écrire le facteur de Hubble en fonction du décalage vers le rouge et réciproquement. Par exemple, imaginons qu'un objet émette de la lumière à un instant $t-0$, quand le facteur de Hubble est égal à $H_{0}$ et le facteur d'échelle à $a_{0}$. Sa lumière est reçue par l'observateur à l'instant $t$, quand le paramètre de Hubble et le facteur d'échelle valent $H(t)$ et $a(t)$. On peut alors démontrer l'équation suivante :

$1+z={H(z) \over H_{0}}$

Qui peut se reformuler comme suit :

$H(z)=H_{0}\cdot (1+z)$

Démonstration

Pour démontrer la formule précédente, partons de la relation : $1+z={\frac {t_{0}}{t}}$ Or, on sait que $H(t)={1 \over t}$. On a donc $t={1 \over H(t)}$ et $t_{0}={1 \over H_{0}}$ En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve : $1+z={1 \over H_{0}}/{\frac {1}{H(t)}}$ En réarrangeant les termes, on trouve la formule à démontrer, mais sous une forme légèrement différente : $1+z={H(z) \over H_{0}}$

Un modèle trop simplifié pour être réaliste

Les scientifiques ont estimé le rayon de l'univers observable, et leurs résultats semblent relativement proches du rayon de Hubble. Là encore, comme pour la coïncidence entre âge de l'univers estimé et temps de Hubble, personne ne sait si c'est une coïncidence ou quelque chose de plus important. En théorie, l'égalité $R(t)=c\cdot T_{H}$ est respectée en permanence dans le modèle linéaire. Par contre, elle n'est respectée que pour un instant $t$ bien précis dans les autres et violée dans tous les autres cas. Le fait que l'égalité soit respectée dans notre monde est donc soit une grosse coïncidence, soit elle trahit quelque chose de fondamental qui est encore mal compris. Par contre, les résultats empiriques concernant les mesures de redshift, ou via d'autres mesures indirectes, ne collent pas du tout avec ce modèle. Autant l'égalité $R(t)=c\cdot T_{H}$ est respectée, autant les autres prédictions du modèle ne le sont pas.

Et les mesures ne sont pas seules à nous dire que ce modèle est trop simpliste pour décrire fidèlement l'univers. La théorie nous dit que ce modèle n'est valide que pour un univers vide, c'est à dire en absence de matière. Toute présence de matière biaise les résultats du modèle. Et aux dernières nouvelles, la matière existe...

Le modèle à croissance en loi de puissance

Maintenant, nous allons étudier le cas d'une expansion en loi de puissance. En clair, nous allons étudier le cas où le facteur d'échelle est égal à :

$a(t)=k\cdot t^{n}$, avec $t$ le temps, $k$ une constante quelconque et $n$ une puissance quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

$a(t)=a(t_{0})\cdot \left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{n}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

Les deux formulations sont équivalentes si l'on postule $k=a_{0}\cdot \left({\frac {1}{t_{0}}}\right)^{n}$. Dans ce qui suit, nous utiliserons la première formulation.

On peut d'or et déjà remarquer que l'expansion linéaire n'est qu'un cas particulier d'expansion en loi de puissance, où $n=1$. Ne vous étonnez donc pas si les calculs se ressemblent quelque peu.

Le calcul du facteur de Hubble et des paramètres associés

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de la dérivée du facteur d'échelle, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}(k\cdot t^{n})=k\cdot {\frac {d(t^{n})}{dt}}=k\cdot n\cdot t^{n-1}$

On divise alors par a(t) pour obtenir le facteur de Hubble :

$H={\frac {k\cdot n\cdot t^{n-1}}{k\cdot t^{n}}}=n\cdot t^{-1}={\frac {n}{t}}$

Pour résumer :

$H={\frac {n}{t}}$

L'évolution du facteur de Hubble

Pour savoir comment évolue le facteur de Hubble dans le temps, le mieux est encore une fois de calculer sa dérivée. La dérivée du facteur de Hubble est égale à :

$H'(t)=\left({\frac {n}{t}}\right)'=-{\frac {n}{t^{2}}}$

On pourrait croire qu'elle est négative, en raison du signe -, mais tout dépend de la valeur de n. C’est le cas si n est positif ou nul, mais il peut être négatif.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour le calculer, on applique la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte l'équation $H'(t)=-{\frac {n}{t^{2}}}$ dans l'équation précédente, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {n}{t^{2}}}{\frac {1}{H(t)^{2}}}\right)$

On injecte alors l'équation $H={\frac {n}{t}}$, ce qui donne :

$q=-\left(1-{\frac {n}{t^{2}}}\cdot {\frac {t^{2}}{n^{2}}}\right)$

Ce qui se simplifie en :

$q=-\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

On peut réécrire le tout comme suit :

$q={\frac {1}{n}}-1={\frac {1-n}{n}}$

En clair, l'expansion dépend du coefficient $n$.

• Si $n=1$, alors on retombe sur le cas de l'expansion linéaire. L'expansion a un rythme constant : elle n’accélère pas et ne ralentit pas.
• Si $n>1$, l'expansion accélère.
• Enfin, si $n<1$, l'expansion de l'univers ralentit.

Le calcul de l'âge de l'univers

L'équation : $H={\frac {n}{t}}$ permet de calculer l'âge de l'univers $t$ à partir du facteur de Hubble. En isolant $t$ dans l'équation précédente, on trouve en effet :

$t={\frac {n}{H}}$

Reformulons en utilisant le temps de Hubble :

$t=n\cdot T_{H}$

On voit que l'âge de l'univers est un multiple du temps de Hubble, le coefficient de proportionnalité n'étant autre que l'exposant de la loi de puissance.

Le calcul du rayon de Hubble

Il est possible, à partir des résultats précédents, de calculer le rayon de Hubble assez facilement. Pour rappel, celui-ci est la distance à partir de laquelle les objets semblent aller plus vite que la lumière à cause de l'expansion. Pour rappel, il vaut :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}$

On injecte alors l'équation : $H={\frac {n}{t}}$ :

$R_{H}(t)={\frac {c\cdot t}{n}}$

Dans ce modèle, le rayon de Hubble augmente avec le temps.

Le calcul du rayon de l'univers observable

À partir des résultats précédents, nous pouvons trouver le rayon de l'univers observable, qui n'est pas le même que le rayon de Hubble. Pour cela, il faut cependant se rappeler ce qu'on a vu dans le chapitre sur l'univers observable. Pour calculer le rayon de l'univers observable, il faut procéder en deux étapes. Premièrement, il faut calculer le rayon comobile, le rayon calculé en supprimant l'effet de l'expansion. Ensuite, on corrige ce rayon comobile pour ajouter l'expansion de l'univers. Si on note $R(t)$ le rayon de l'univers à l'instant t, alors le rayon comobile est égal à $r(t)={R(t) \over a(t)}$. Le passage du rayon comobile au rayon observé se fait donc simplement en multipliant par le facteur d'échelle $a(t)$. La deuxième étape est donc triviale. Par contre, la première étape, le calcul du rayon comobile, fait intervenir une intégrale assez compliquée. Pour rappel, le rayon comobile se calcule avec la formule suivante :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Pour calculer le rayon comobile, nous allons introduire l'équation $a(t)=k\cdot t^{n}$ dans la précédente, ce qui donne :

$r(t)=c\int _{0}^{t}{\frac {1}{k\cdot t_{i}^{n}}}dt_{i}$

La constante k peut être sortie de l'intégrale, ce qui donne :

$r(t)={\frac {c}{k}}\int _{0}^{t}{\frac {1}{t_{i}^{n}}}dt_{i}$

On utilise alors la formule $\int {\frac {1}{t^{n}}}dt={\frac {t^{1-n}}{1-n}}$ :

$r(t)={\frac {c}{k}}{\frac {t_{u}^{1-n}}{1-n}}$

On utilise alors la formule $t_{u}^{1-n}={\frac {t}{t^{n}}}$ :

$r(t)={\frac {c}{k}}{\frac {t}{t^{n}}}{\frac {1}{1-n}}$

On regroupe les termes comme suit :

$r(t)={\frac {ct}{1-n}}{\frac {1}{k\cdot t^{n}}}$

Par définition, le terme ${\frac {1}{k\cdot t^{n}}}$ est égal à $1 \over a(t)$, ce qui donne :

$r(t)={\frac {ct}{1-n}}{\frac {1}{a(t)}}$

On peut donc en déduire le rayon propre de l'univers observable en multipliant des deux côtés par $a(t)$ :

$R(t)={\frac {c\cdot t}{1-n}}$

Si on prend $n=1$, on retombe sur les résultats du modèle $R_{h}=ct$ vus précédemment. Et encore une fois, on voit que le rayon de l'univers diverge : l'application de la formule précédente donne une division par zéro.

La relation entre rayon de Hubble et rayon de l'univers observable

Les équations précédentes montrent que le rayon de l'univers observable n'est pas égal au rayon de Hubble ! Il y a une différence entre $R_{H}={\frac {c\cdot t}{n}}$ et le rayon de l'univers observable $R(t)={\frac {c\cdot t}{1-n}}$. La relation entre les deux variables se calcule comme suit :

$R_{H}={\frac {c\cdot t}{n}}$

Multiplions au numérateur et au dénominateur par 1 - n :

$R_{H}={\frac {1-n}{1-n}}{\frac {c\cdot t}{n}}$

En réorganisant les termes, on trouve :

$R_{H}={\frac {1-n}{n}}{\frac {c\cdot t}{1-n}}$

Le terme le plus à droite n'est autre que le rayon de l'univers observable :

$R_{H}={\frac {1-n}{n}}r(t)$

On peut aussi inverser la relation, ce qui donne :

$r(t)={\frac {n}{1-n}}R_{H}$

Les deux rayons sont égaux seulement dans le cas où $n=1-n$, ce qui donne $n={\frac {1}{2}}$.

On peut aussi remarquer que l'on a :

${\frac {1}{R_{H}}}+{\frac {1}{R(t)}}=c\cdot t$

Le calcul du décalage vers le rouge

Voyons maintenant le calcul du redshift. Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance $d$ émet de la lumière à un instant $t_{0}$, lumière qui est reçue par l'observateur à un instant $t$. Pour calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift, on utilise la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot t^{n}$ :

$1+z={\frac {k\cdot {t_{0}}^{n}}{k\cdot t^{n}}}$

On simplifie :

$1+z=\left({\frac {t_{0}}{t}}\right)^{n}=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{-n}$

Sachant que $H(t)={\frac {n}{t}}$, on a aussi :

$1+z=\left({\frac {H(t_{0})}{H(t)}}\right)^{n}$

En remarquant que ${t_{0}}^{n}$ est une constante, les équations précédentes se simplifient en :

$1+z\propto t^{-n}$

Le modèle à croissance exponentielle

Pour terminer, nous allons étudier le cas d'une expansion exponentielle, décrite par :

$a(t)=k\cdot e^{r\cdot t}$, avec $t$ le temps, $k$ et $r$ deux constantes quelconques.

Précisons que nous prenons $r>0$, sans quoi la fonction serait décroissante, ainsi que $k>0$, pour garantir que l'univers n'a pas de volume négatif. Voir le graphique ci-dessous pour comprendre pourquoi.

Illustration de la courbe de la fonction exponentielle.

Précisons que les propriétés mathématiques de l'exponentielle ont une conséquence assez intéressante. En effet, une exponentielle ne peut pas s'annuler, ce qui fait qu'il n'existe pas de temps t où le facteur d'échelle s'annule. En conséquence, on n'a pas d'instant où tout l'univers est rassemblé en un unique point, on n'a pas de singularité initiale. L'univers n'a donc pas d'âge, il existe depuis un temps infini. Ce modèle est donc un petit peu particulier, dans le sens où il n'y a pas de big-bang dedans. Cela peu sembler bizarre que les cosmologistes utilisent un tel modèle, mais nous verrons dans certains chapitres que ce modèle est plus réaliste qu'il n'y parait. Et à bien y penser, l'absence de singularité est plus un avantage qu'un inconvénient.

Le calcul du paramètre de Hubble

Une démonstration simple part du principe que le facteur de Hubble est la dérivée logarithmique du facteur d'échelle, c'est à dire la dérivée du logarithme. Pour en faire le calcul, on commence par prendre le logarithme du facteur d'échelle, ce qui colle parfaitement avec la formule exponentielle.

$\ln a(t)=\ln \left[k\cdot e^{r\cdot t}\right]$

Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des opérandes :

$\ln a(t)=\ln k+\ln \left[e^{r\cdot t}\right]$

Le logarithme et l'exponentielle s'annulent, ce qui donne :

$\ln a(t)=\ln k+r\cdot t$

On prend ensuite la dérivée, ce qui donne :

$H(t)={\frac {d}{dt}}\ln k+{\frac {d}{dt}}(r\cdot t)=0+r=r$

Démonstration

Une démonstration alternative part de la dérivée du facteur d'échelle : ${\frac {da}{dt}}={\frac {d(k\cdot e^{r\cdot t})}{dt}}=k\cdot {\frac {d(e^{r\cdot t})}{dt}}=k\cdot r\cdot e^{r\cdot t}$ On divise par $a(t)=k\cdot e^{r\cdot t}$, ce qui donne : $H={\frac {k\cdot r\cdot e^{r\cdot t}}{k\cdot e^{r\cdot t}}}=r$

Le paramètre de Hubble est donc la constante r de l'exponentielle. On peut donc reformuler la loi d'expansion comme suit :

$a(t)=k\cdot e^{H\cdot t}$

Le calcul du temps et du rayon de Hubble

À partir du facteur de Hubble calculé juste avant, on peut calculer le temps de Hubble :

$T_{H}={\frac {1}{H}}={\frac {1}{r}}$

Même chose pour le rayon de Hubble :

$R_{H}={\frac {c}{H}}={\frac {c}{r}}$

On voit que vu que le paramètre de Hubble est constant, le temps de Hubble et le rayon de Hubble le sont aussi. Cela peut paraître bizarre que le rayon de Hubble soit constant, mais rappelez-vous qu'il ne s'agit que du rayon au-delà duquel la vitesse de fuite d'un objet est égale à $c$. Il n'a pas de signification physique.

Le calcul du rayon de l'univers observable

Pour trouver le rayon de l'univers observable, on utilise encore une fois l'équation suivante :

$R(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

On fait le remplacement avec $a(t)=k\cdot e^{H\cdot t}$ :

$R(t)=c\cdot k\cdot e^{H\cdot t}\cdot \int _{0}^{t}{1 \over k\cdot e^{H\cdot u}}du$

Vu que k est une constante, on la sort de l'intégrale :

$R(t)=c\cdot k\cdot e^{H\cdot t}\cdot {1 \over k}\int _{0}^{t}{1 \over e^{H\cdot u}}du$

On simplifie :

$R(t)=c\cdot e^{H\cdot t}\cdot \int _{0}^{t}e^{-H\cdot u}du$

Le calcul de l'intégrale donne :

$R(t)=c\cdot e^{H\cdot t}\cdot \left({1-e^{-H\cdot u} \over H}\right)$

On reformule :

$R(t)={\frac {c}{H}}\cdot e^{H\cdot t}\cdot \left(1-e^{-H\cdot u}\right)$

On simplifie :

$R(t)={\frac {c}{H}}\left(e^{H\cdot t}-1\right)$

Le terme ${\frac {c}{H}}$ n'est autre que le rayon de Hubble $R_{H}$ :

$R(t)=R_{H}\left(e^{H\cdot t}-1\right)$

On voit que le rayon de l'univers observable est plus grand que le rayon de Hubble.

Le calcul du paramètre de décélération

À partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour cela, on utilise la formule vue dans le chapitre sur l'univers observable :

$q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$

Le facteur de Hubble est constant, ce qui fait que sa dérivée est nulle. En injectant $H'(t)=0$ dans l'équation précédente, on trouve :

$q=-1$

Ce résultat nous dit que l'expansion de l'univers accélère.

Le calcul du décalage vers le rouge

Passons maintenant au calcul du redshift. Pour le calculer, on utilise la formule suivante, vue dans le chapitre sur le rayonnement :

$1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$, avec $t_{0}$ l'origine de temps choisie arbitrairement et $a(t_{0})$ le facteur d'échelle à ce même instant.

On injecte alors l'équation $a(t)=k\cdot e^{rt}$ :

$1+z={\frac {k\cdot e^{rt_{0}}}{k\cdot e^{rt}}}$

On simplifie :

$1+z=e^{r(t_{0}-t)}$

On voit que le redshift augmente exponentiellement.