Cosmologie/L'évolution des perturbations après le découplage

Dans ce chapitre, nous allons étudier ce qui se passe après le découplage. Pour cela, on repart de l'équation habituelle :

${\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial \delta }{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}}}\left[c_{s}^{2}\cdot d^{2}\delta +4\pi G\rho _{m}\delta \right]$

On a vu il y a deux chapitres que, après le découplage, le terme dépendant de la vitesse du son disparaît. L'équation précédente devient alors :

${\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial \delta }{\partial t}}-{\frac {1}{a^{2}}}\left[4\pi G\rho _{m}\cdot \delta \right]=0$

La raison à cela est assez simple à comprendre. Vu que la matière n'a par définition pas de pression, seul le rayonnement est à l'origine du terme de pression dans l'équation originale. Après le découplage, le rayonnement se dilue avec l'expansion et la pression diminue donc. Au bout d'un moment, la pression disparaît. Par contre, même si la matière n'a pas de pression, elle a une masse qui influence l'évolution des perturbations, de par sa gravité. Le terme de gravité reste donc, alors que le terme de pression s'annule.

Dans ce chapitre, nous allons voir quelle est la dynamique de cette équation, ce qui nous enseignera comment les perturbations ont été affectées par l’expansion.

Une croissance/décroissance linéaire

L'équation différentielle précédente n'a aucun coefficient dépendant des coordonnées spatiales, sans compter qu'il n'y a pas de dérivées par rapport à ces coordonnées. Seul le terme $\delta$ dépend des coordonnées spatiales. Dans ce cas, on est assuré par les lois mathématiques que la solution est égale au produit de delta par un terme indépendant des coordonnées spatiales. Par contre, ce terme dépend du temps, vu que les dérivées et les coefficients dépendent du temps. On a donc une solution de la forme :

$\delta (x,t)=D(t)\times {\overline {\delta }}(k)$

L'équation a précisément deux solutions qui ont une croissance ou décroissance linéaire. Mais la solution décroissante peut être oubliée et l'on peut se concentrer sur la solution croissante. Celle-ci nous dit qu'après le découplage, les inhomogénéités gonflent au même rythme que l'expansion. En coordonnées comobile, leur forme est restée figée après le découplage, sans aucune modification autres que celles liées à l'expansion.

En injectant cette solution croissante, l'équation originale devient :

${\frac {\partial ^{2}(D(t)\times \delta (x))}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial (D(t)\times \delta (x))}{\partial t}}-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)\cdot \delta (x)=0$

Le terme $\delta (x)$ étant indépendant du temps, il est une constante du point de vue des dérivées. On peut donc le sortir des dérivées, ce qui donne :

$\delta (x){\frac {\partial ^{2}D(t)}{\partial ^{2}t}}+2H\delta (x){\frac {\partial D(t)}{\partial t}}-4\pi G\rho _{m}\delta (x)\cdot D(t)=0$

On divise alors par $\delta (x)$ :

${\frac {\partial ^{2}D(t)}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial D(t)}{\partial t}}-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)=0$

Ce qui peut d’écrire d'une manière plus succincte comme suit :

${\ddot {D}}(t)+2H\cdot {\dot {D}}(t)-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)=0$

Les cas particuliers : univers dominé par la matière, le rayonnement ou l'énergie noire

Formellement, la fonction $D$ correspond à la vitesse de croissance des structures. On peut démontrer qu'elle est proportionnelle au facteur d'échelle :

$D(t)\propto a(t)$

On peut alors comparer la vitesse de croissance entre un univers dominé par la matière, un autre dominé par le rayonnement et un dernier dominé par l'énergie noire. Le premier cas correspond à un univers après le découplage, alors que le second correspond à ce qu'on observe avant le découplage.

L'univers dominé par la matière

Pour l'univers dominé par la matière, les équations vues dans le chapitre sur les modèles cosmologiques de Friedmann nous disent que :

$p_{m}(t)=a^{-3}\cdot p_{\text{critique}}(t)={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}{\frac {1}{t^{2}}}$

$a(t)=t^{\frac {2}{3}}$

$H(t)={\frac {2}{3}}$

Rappelons l'équation originale :

${\ddot {D}}(t)+2H\cdot {\dot {D}}(t)-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)=0$

Injectons l'équation $p_{m}(t)=a^{-3}\cdot p_{\text{critique}}(t)={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}{\frac {1}{t^{2}}}$ :

${\ddot {D}}(t)+2H\cdot {\dot {D}}(t)-4\pi G\cdot {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}{\frac {1}{t^{2}}}\cdot D(t)=0$

Simplifions par $4\pi G$ :

${\ddot {D}}(t)+2H\cdot {\dot {D}}(t)-{\frac {3}{2}}{\frac {H^{2}}{t^{2}}}\cdot D(t)=0$

Puis, injectons l'équation $H(t)={\frac {2}{3}}$ :

${\ddot {D}}(t)+2\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\dot {D}}(t)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}{\frac {1}{t^{2}}}\cdot D(t)=0$

Simplifions :

${\ddot {D}}(t)+{\frac {4}{3}}\cdot {\dot {D}}(t)-{\frac {2}{3}}{\frac {1}{t^{2}}}\cdot D(t)=0$

En supposant que $D\propto t^{p}$, on a :

$(t^{p})''+{\frac {4}{3}}\cdot (t^{p})'-{\frac {2}{3}}{\frac {t^{p}}{t^{2}}}=0$

En calculant les dérivées, on trouve :

$p(p-1)t^{p-2}+{\frac {4}{3}}pt^{p-1}-{\frac {2}{3}}t^{p-2}=0$

On divise par $t^{p-2}$ :

$p(p-1)+{\frac {4}{3}}p\cdot t-{\frac {2}{3}}=0$

Les deux solutions possibles sont respectivement $p=-1$ et $p={2 \over 3}$. La première correspond à des fluctuations qui décroissent avec le temps, la seconde est plus intéressante. En injectant dans $D\propto t^{p}$, on trouve :

$D_{+}\propto t^{\frac {2}{3}}$

L'univers dominé par le rayonnement

Pour l'univers dominé par le rayonnement, les équations vues dans le chapitre sur les modèles cosmologiques de Friedmann nous disent que :

$a(t)=t^{\frac {1}{2}}$

$H(t)={\frac {1}{2}}{\frac {1}{t}}$

Rappelons l'équation originale :

${\ddot {D}}(t)+2H\cdot {\dot {D}}(t)-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)=0$

Injectons l'équation $H(t)={\frac {1}{2}}{\frac {1}{t}}$ et simplifions :

${\ddot {D}}(t)+{\frac {1}{t}}\cdot {\dot {D}}(t)-4\pi G\rho _{m}\cdot D(t)=0$

Négligeons le dernier terme :

${\ddot {D}}(t)+{\frac {1}{t}}\cdot {\dot {D}}(t)=0$

Supposons que la solution soit une loi de puissance $D(t)=k\cdot t^{n}$ et injectons-la dans l'équation précédente :

$(k\cdot t^{n})''+{\frac {(k\cdot t^{n})'}{t}}=0$

On peut sortir la constante k des dérivées :

$k\cdot (t^{n})''+k\cdot {\frac {(t^{n})'}{t}}=0$

Simplifions par k :

$(t^{n})''+{\frac {(t^{n})'}{t}}=0$

Le calcul des dérivées donne :

$n(n+1)\cdot t^{n-2}+{\frac {n\cdot t^{n-1}}{t}}=0$

Si on pose $n=0$, on peut remarquer que c'est une solution, et même une double solution (elle annule les deux termes). La résolution de cette équation nous dit donc que la solution générale est de la forme :

$D(t)=C_{1}+C_{2}\ln t$

Les perturbations croissent donc de manière logarithmique dans un univers dominé par le rayonnement. Au passage, cette situation représente bien ce qui s'est passé avant le découplage des photons.

L'effet Mezaros

On vient de voir que le facteur $D(t)$ vaut :

• $D(t)\propto t^{\frac {2}{3}}$ pour un univers dominé par la matière ;
• $D(t)\propto t^{\frac {1}{2}}$ pour un univers dominé par le rayonnement ;
• et $D(t)\propto e^{Ht}$ pour un univers dominé par l'énergie noire.

On voit que dans des univers dominés par la matière, les perturbations ne grandissent pas très vite mais le font en suivant une loi de puissance. Cette croissance est inférieure à celle observée dans un univers statique, pour lequel on aurait : $D(t)\propto t$ ! C'est avant le découplage, dans un univers dominé par le rayonnement, que la croissance des structures est la plus lente. Leur croissance a été plus rapide après le découplage, leur vitesse de croissance ayant quelque peu augmenté lors du passage à un univers dominé par la matière. Ce résultat porte le nom d'effet Meszaros.