Cosmologie/L'évolution de la matière

L'univers est peuplé de matière et de rayonnement. La matière est essentiellement composée de particules massives : baryons, quarks, électrons, etc. Pour plus de simplicité, on peut supposer que la matière de l'univers est un gaz. Cette hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : 10% de la matière sert à fabriquer des étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc essentiellement composé de gaz. Évidemment, ce gaz de matière a une pression, un volume, une densité, une énergie, etc. Il reste de plus soumis aux lois de la thermodynamique. L'expansion va cependant faire varier continument sa densité (l'univers se dilue avec l'expansion), sa pression, sa température, etc. Dans ce chapitre, nous allons voir comment évolue ce gaz cosmologique en utilisant les relations de la thermodynamique, sous la contrainte de la loi de Hubble.

L'évolution cosmologique d'un gaz parfaitModifier

Pour commencer, nous allons supposer que la matière qui remplit l'univers est ce qu'on appelle un gaz parfait. Pour rappel, un gaz parfait est un gaz qui respecte la loi suivante :

 , avec P la pression, V le volume, N le nombre de particules, T la température et   la constante de Boltzmann.

De cette équation, on peut tirer la formule suivante, qui sera utile dans les démonstrations qui vont suivre :

 

Rappel : la relation énergie-température pour un gaz parfaitModifier

La température d'un gaz parfait est la somme des énergies cinétiques de chaque particule. La physique statistique nous donnent des formules pour relier la température et l'énergie cinétique moyenne d'une particule du gaz. Les formules en question dépendent du gaz, mais elles prennent toutes la forme d'une équation de la forme :

 , avec   un coefficient constant.

Le coefficient   est appelé la capacité calorifique spécifique à volume constant. C'est l'énergie qu'il faut pour augmenter d'un degré la température du gaz, en considérant que son volume et sa masse sont constantes.

Si on suppose que N est constant, la dérivée de l'équation précédente donne :

 

En divisant par le produit  , on trouve :

 

L'équation   nous permet de faire un remplacement :

 

La relation entre température et facteur d'échelleModifier

La matière cosmologique est soumise à la première loi de la thermodynamique, à savoir la fameuse conservation de l'énergie qui dit que l'énergie de l'univers est constante. La loi de conservation de l'univers se formule assez aisément en thermodynamique, surtout pour un gaz parfait. Pour un gaz parfait, la conservation de l'énergie s'écrit comme suit :

 

On divise par le produit  

 

On utilise l'équation  , ce qui donne :

 

On utilise alors la relation   :

 

Utilisons la formule   :

 

On note   et on réorganise les termes constants :

 

On applique la formule   :

 

On prend l'exponentielle des deux côtés :

 

L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles ( ) :

 

On pose :  

 

Ce qui donne, après simplifications :

 

Ou encore :

 

Pour un gaz monoatomique, on a  , ce qui fait que la température de la matière varie donc comme l'inverse du carré du facteur d'échelle :

 

La relation entre pression et facteur d'échelleModifier

La pression d'un gaz parfait se calcule à partir de la loi des gaz parfaits   :

 

On peut calculer comment la pression évolue avec le facteur d'échelle assez simplement. Premièrement, nous allons supposer que le nombre de particules est constant, pour nous simplifier la tâche. On sait que la température et la pression dépendent toutes deux du facteur d'échelle, ce qui donne :

 

On sait que le volume varie comme le cube du facteur d'échelle ( ), ce qui donne :

 

On utilise ensuite la formule   vue plus haut :

 

Par définition, le terme   est la pression quand le facteur d'échelle est égal à 1. Nous la notons  , ce qui donne :

 

Le tout se simplifie en :

 

La densité de la matière et de l'énergieModifier

Nous allons maintenant étudier la masse volumique de la matière, souvent appelée densité par abus de langage. Nous allons qu'en plus de la masse volumique, les cosmologistes utilisent plusieurs densités annexes : la densité d'énergie et la densité de particules. Nous allons voir comment ces densités évoluent avec l'expansion.

Nous allons supposer que la masse est conservée, de même que le nombre de particules. En clair, le nombre de particules matérielles dans l'univers est une constante : de nouvelles particules ne peuvent pas apparaître, pas plus que des particules existantes ne peuvent disparaître. Même chose pour la masse, qui reste constante pour l'univers entier, dans le sens où on ne peut pas en détruire ou en créer. Enfin, même chose pour l'énergie, qui est aussi supposée se conserver. Ces lois de conservation valent pour la matière au sens propre, à savoir ce qui est composé d'atomes, électrons, de protons et de neutrons. De plus, on suppose qu'il n'y a pas de réactions nucléaires ou de réactions similaires, qui peuvent faire disparaître des particules (tout en conservant la masse et l'énergie). Dans les faits, la constance du nombre de particules est quelque peu fausse : les lois de l’infiniment petit permettent l'apparition ou la disparition de particules, des conversions entre particules, et bien d'autres réactions. Et si ces réactions conservent la masse et l'énergie, la conservation du nombre de particules est loin d'être acquise.

La densité de particuleModifier

La densité de particules, notée  , correspond au nombre de particules par unité de volume. Si on note V un volume et N le nombre de particules qu'il y a dedans, on a donc :

 

Vu que le volume de l'univers varie selon  , la densité de particule varie donc comme :

 

La densité de particule est donc reliée au facteur d'échelle par l'équation

 

La densité de matièreModifier

La densité (la masse volumique) est égale à la masse divisée par le volume, par définition. On a donc :

 

En injectant la formule  , on trouve :

 

Ce qui peut se reformuler comme suit :

 

Ce qui s'écrit aussi :

 
Le même raisonnement peut s'appliquer pour l'énergie. Il suffit de remplacer la masse par l'énergie et les équations précédentes et l'on obtient le même résultat pour la densité d'énergie.

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous analyserons les modèles cosmologiques de Friedmann. Il faut cependant signaler que la densité d'énergie du rayonnement ne suit pas la même équation, comme nous le verrons dans le prochain chapitre.