Calcul écrit/Calcul de la racine n-ième d'un nombre

Cette méthode pour calculer la N^iémeracine d'un nombre dérive du boulier (mais il n'est pas nécessaire d'avoir un boulier ni de savoir comment ça marche pour la mettre en pratique) elle est donc presque uniquement basée sur des additions et des soustractions (Pour la petite histoire j'avais passé toute une nuit a tenter de généraliser la méthode à partir de l'extraction des racines carrées et cubiques que je connaissais pour le boulier, et c'est lorsque le premier rayon de Soleil a traversé la vitre que la lumière fut ! Qui n'a pas connu l'ivresse des équations diophantienne à 4h du mat' ne peut pas comprendre !!!).

Calcul écrit

• Opérations arithmétiques élémentaires
  • Faire une addition à la main
  • Faire une soustraction à la main
  • Faire une multiplication à la main
  • Faire une division à la main
• Calculer une racine
  • Calcul de la racine carrée d'un nombre
  • Calcul de la racine cubique d'un nombre
  • Calcul de la racine quatrième d'un nombre
  • Calcul de la racine n-ième d'un nombre
• Opérations sur les polynômes
• Exercices

Les colonnes

Pour calculer ${\sqrt[{n}]{x}}$ on va faire un tableau de $n$ colonnes. Le calcul se fera de gauche à droite puis de bas en haut. Les colonnes seront nommées R1,R2,R3 etc jusqu'à R($n$ - 1) et la dernière sera T. Cette colonne T pour "tranche" contiendra les tranches en cours car $x$ sera découpé en tranches de N chiffres à partir de la droite ou de la virgule.

Exemples :

${\sqrt[{4}]{160041}}\longrightarrow 16|0041$			16	0041
${\sqrt[{3}]{543987321}}\longrightarrow 543|987|321$		543	987	321
${\sqrt[{2}]{431,2245}}\longrightarrow 4|31|22|45$	4	31,	22	45

• Comme pour la division, on abaissera d'abord la tranche la plus à gauche puis celle à sa droite et ainsi de suite.
• Le nombre de tranches nous renseigne déjà sur le nombre de chiffres du résultat.

Exemple : La solution de $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{543987321}}$ aura 3 chiffres avant la virgule car il y a 3 tranches avant la virgule.

• Chaque tranche va subir un certain nombre de soustractions avant que soit descendue la prochaine.

Laissons de côté, pour l'instant, les changements de tranche.

Calcul en escalier

Sur R1,R2 etc vont s'enchaîner une suite d'additions en forme d'escalier à l'envers (voir l'exemple ci-dessous).

À chaque nouvelle ligne on ajoutera +1 au nombre de R1.

1. On commence donc et l'on met +1 en R1, ensuite R1 va venir s'ajouter à R2 (0+1=1!), qui lui ira s'ajouter à R3 et ainsi de suite jusqu'à R(N - 1) qui lui ira se soustraire à T.
2. On démarre la seconde ligne en ajoutant +1 dans R1 (donc=2), R1 s'ajoute à R2 (1+2=3) qui s'ajoute à R3 etc jusqu'à R(N - 1) qui cette fois ne vient pas se soustraire à T.
3. On démarre la ligne3 en ajoutant +1 à R1 qui vient s'ajouter à R2 etc jusqu'à R(N - 2).
4. Pareil pour la ligne 4 mais jusqu'à R(N - 3), jusqu'à R(N - 4) pour la ligne 5
5. etc.

Et les lignes s'enchaînent ainsi en se raccourcissant jusqu'à ce que R1 prenne son +1 sans aller s'ajouter à R2.

Lorsque l'on a fini le premier "escalier" on en redémarre un autre avec toujours les derniers chiffres des colonnes auxquels viennent s'ajouter les R1 dans les R2 etc (voir l'exemple). Donc en dehors de la colonne R1 (qui prend +1 à chaque ligne) et de T, vous pourrez constater sur l'exemple que chaque chiffre est la somme du chiffre qui est au-dessus de lui et de celui qui est à sa gauche.

La première marche de l'escalier est toujours la plus grande, c'est celle qui va jusqu'à la soustraction de R(N - 1) à T. On continue ce manège jusqu'à ce que T soit inférieur à R(N-1) (donc la soustraction serait négative) auquel cas il faut descendre une nouvelle tranche. Mais on verra ça plus tard. Intéressons-nous d'abord au cas n'ayant qu'une seule tranche et tombant juste.

Exemple : ${\sqrt[{5}]{1024}}$

R1 0	R2 0	R3 0	R4 0	T 1024
(+1) 1	(+R1) 1	(+R2) 1	(+R3) 1	1023 $(1024-R4)$
(+1) 2	(+R1) 3	(+R2) 4	(+R3) 5
(+1) 3	(+R1) 6	(+R2) 10
(+1) 4	(+R1) 10
(+1) 5
(+1) 6	(+R1) 16	(+R2) 26	(+R3) 31	992 $(1023-R4)$
(+1) 7	(+R1) 23	(+R2) 49	(+R3) 80
(+1) 8	(+R1) 31	(+R2) 80
(+1) 9	(+R1) 40
(+1) 10
(+1) 11	(+R1) 51	(+R2) 131	(+R3) 211	781 $(992-R4)$
(+1) 12	(+R1) 63	(+R2) 194	(+R3) 405
(+1) 13	(+R1) 76	(+R2) 270
(+1) 14	(+R1) 90
(+1) 15
(+1) 16	(+R1) 106	(+R2) 376	(+R3) 781	0 $(781-R4)$

Résultat

Maintenant il y a deux manières de voir le résultat :

• Soit on prend la dernière valeur de R1 et l'on fait :   ${\frac {R1+N-1}{N}}$

Donc ici $\textstyle {{\frac {16+5-1}{5}}={\frac {20}{5}}=4;\quad 4^{5}=1024}$ c'est bien ça !

L'ajout de N-1 à R1 donne la valeur de R1 si on complète le dernier escalier.

Donc si on poursuit le calcul de l'escalier jusqu'au bout, on n'ajoute pas N-1 :   ${\frac {R1}{N}}$

• Soit on compte combien de soustractions a dû subir la tranche (colonne T), ici 4. Si l'on avait dû baisser une seconde tranche et que celle-ci avait dû subir 2 soustractions la réponse aurait été 42 : 4 soustractions pour la 1^ère tranche et 2 pour la 2^ème. Cela veut dire aussi qu'un calcul dont la réponse serait 9 sera souvent plus long à effectuer que si c'était 2222 (9 escaliers contre 8).

Encore un exemple avant de passer au cas de plusieurs tranches :

Ex: ${\sqrt[{4}]{16}}$

R1	R2	R3	T	$(16)$
$1$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 1$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 1$	$\quad _{(-)}\Rightarrow 15$	$(=16-1)$
$2$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 3$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 4$
$3$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 6$
$4$
$5$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 11$	$\quad _{(+)}\longrightarrow 15$	$\quad _{(-)}\Rightarrow 0$	$(=15-15)$
				2  soustractions pour la tranche

Donc : $\textstyle {{\frac {R1+N-1}{N}}={\frac {5+4-1}{4}}=2\qquad 2^{4}=16}$

Plusieurs tranches

Le passage d'une tranche à l'autre est un peu plus délicat (à peine !), il s'effectue lorsque R(N - 1) est devenu supérieur à T. Il faut tout d'abord finir l'escalier qui précède cette situation embêtante jusqu'à la marche où R1 était seul sans s'ajouter à R2. Si l'on a poursuivi le calcul jusqu'à cette fameuse soustraction impossible, il suffit de barrer cette dernière ligne. Mais,le plus souvent,on s'aperçoit que ça ne "passera plus" avant, alors on termine l'escalier en cours.

Ensuite on multiplie R1 par 10, R2 par 100, R3 par 1000 bref tous les R(N) par 10^N et l'on abaisse la tranche suivante en T ( ! ATTENTION !cette ligne n'a eu aucune addition ou soustraction !). Enfin on redémarre un escalier comme avant : on ajoute +1 à R1, R1 s'ajoute à R2 qui s'ajoute à R3...etc et R(N - 1) se soustrait à T.

Exemple 1

Calculer $:\qquad {\sqrt[{3}]{10648}}$

R1	R2	T	$(10|648)$
$1$	$_{(+)}\longrightarrow 1$	$_{(-)}\Rightarrow \quad 9$	( = 10 - 1 )
$2$	$_{(+)}\longrightarrow 3$
$3$
$4$	$_{(+)}\longrightarrow 7$	$_{(-)}\Rightarrow \quad 2$	( 7 > 2 , là on voit que ça ne passera plus !)
$5$	$_{(+)}\longrightarrow 12$		(On finit l'escalier)
$6$			2  soustractions pour la tranche
$60$	$1200$	$2\,\mathbf {648}$	(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
$61$	$_{(+)}\longrightarrow 1261$	$_{(-)}\Rightarrow 1367$
$62$	$_{(+)}\longrightarrow 1323$
$63$
$64$	$_{(+)}\longrightarrow 1387$	$_{(-)}\Rightarrow 0$	2  soustractions pour la tranche

Donc : $\textstyle {{\frac {64+3-1}{3}}=22\;;\quad 22^{3}=10648}$

Exemple 2

Calculer $:\qquad {\sqrt[{4}]{10617447681}}$

R1	R2	R3	T	$(106|1744|7681)$
$0$	$00$	$000$	$106$	Tranche 1
$1$	$_{(+)}\longrightarrow 1$	$_{(+)}\longrightarrow 1$	$_{(-)}\Rightarrow 105$	( = 106 - 1 )
$2$	$_{(+)}\longrightarrow 3$	$_{(+)}\longrightarrow 4$
$3$	$_{(+)}\longrightarrow 6$
$4$
$5$	$_{(+)}\longrightarrow 11$	$_{(+)}\longrightarrow 15$	$_{(-)}\Rightarrow 90$
$6$	$_{(+)}\longrightarrow 17$	$_{(+)}\longrightarrow 32$
$7$	$_{(+)}\longrightarrow 24$
$8$
$9$	$_{(+)}\longrightarrow 33$	$_{(+)}\longrightarrow 65$	$_{(-)}\Rightarrow 25$	( 65 > 25 ...ça ne passera plus !)
$10$	$_{(+)}\longrightarrow 43$	$_{(+)}\longrightarrow 108$
$11$	$_{(+)}\longrightarrow 54$
$12$				3  soustractions pour la tranche
$120$	$5400$	$108000$	$25\,\mathbf {1744}$	Tranche 2 : on multiplie et abaisse la nouvelle tranche
$121$	$_{(+)}\longrightarrow 5521$	$_{(+)}\longrightarrow 113521$	$_{(-)}\Rightarrow 138223$
$122$	$_{(+)}\longrightarrow 5643$	$_{(+)}\longrightarrow 119164$
$123$	$_{(+)}\longrightarrow 5766$
$124$
$125$	$_{(+)}\longrightarrow 5891$	$_{(+)}\longrightarrow 125055$	$_{(-)}\Rightarrow 13168$	( 125055 > 13168...ça ne passera plus !)
$126$	$_{(+)}\longrightarrow 6017$	$_{(+)}\longrightarrow 131072$		(On finit l'escalier)
$127$	$_{(+)}\longrightarrow 6144$
$128$				2  soustractions pour la tranche
$1280$	$614400$	$131072000$	$13168\,\mathbf {7681}$	Tranche 3 : on multiplie et abaisse la nouvelle tranche
$1281$	$_{(+)}\longrightarrow 615681$	$_{(+)}\longrightarrow 131687681$	$_{(-)}\Rightarrow 0$	1  soustraction pour la tranche

Donc : $\textstyle {{\frac {1281+4-1}{4}}=321\;;\quad 321^{4}=10617447681}$

Chiffre zéro dans le résultat

Il peut arriver (1 fois sur 10) que même aprés avoir descendu une nouvelle tranche la soustraction reste négative, il va alors falloir descendre une nouvelle tranche ( cela correspond en fait au chiffre zéro dans la solution ). Il faut alors supprimer la dernière ligne ; on garde celle où les R(N) étaient multipliés par 10^N et on remultiplie à nouveau les R(N) par 10^N et l'on abaisse une nouvelle tranche. Le plus souvent on s'apercevra que ça ne "passera plus" avant de commencer la ligne suivante. Inutile de calculer ce que l'on va barrer, on remultiplie directement !

Si cela ne suffit toujours pas à rendre R(N - 1) supérieur à T, on remultiplie de nouveau les R(N) par 10^N, on abaisse encore une tranche...

Exemple 1

Calculer $:\qquad {\sqrt[{4}]{104060401}}$

R1	R2	R3	T	$(1|0406|0401)$
$1$	$_{(+)}\longrightarrow 1$	$_{(+)}\longrightarrow 1$	$_{(-)}\Rightarrow 0$	(...ça passera plus !...)
$2$	$_{(+)}\longrightarrow 3$	$_{(+)}\longrightarrow 4$
$3$	$_{(+)}\longrightarrow 6$
$4$				1  soustraction pour la tranche
$40$	$600$	$4000$	$\mathbf {406}$	(la nouvelle tranche n'est pas suffisante !)
				0  soustractions pour la tranche
$400$	$60000$	$4000000$	$406\,\mathbf {0401}$	(on remultiplie et remet une tranche)
$401$	$_{(+)}\longrightarrow 60401$	$_{(+)}\longrightarrow 4060401$	$_{(-)}\Rightarrow 0$	1  soustraction pour la tranche

Donc : $\textstyle {{\frac {401+4-1}{4}}=101\;;\quad 101^{4}=104060401}$

Remarque : La tranche "0406" n'a subi aucune soustraction d'où le zéro ! Désormais les opérations (+) et (-) ne seront plus signalées devant les flèches.

Exemple 2

Calculer $:\qquad {\sqrt[{3}]{1003003001}}$

R1	R2	T	$(1|003|003|001)$
$1$	$\longrightarrow 1$	$\Rightarrow 0$
$2$	$\longrightarrow 3$
$3$			1  soustraction pour la tranche
$30$	$300$	$\mathbf {3}$	(...pas suffisant !)
			0  soustraction pour la tranche
$300$	$30000$	$3\,\mathbf {003}$	(...toujours pas !)
			0  soustraction pour la tranche
$3000$	$3000000$	$3003\,\mathbf {001}$	(OK)
$3001$	$\longrightarrow 3003001$	$\Rightarrow 0$	1  soustraction pour la tranche

Donc : $\textstyle {{\frac {3001+3-1}{3}}=1001\;;\quad 1001^{3}=1003003001}$

Exemple 3

Voyons maintenant le cas particulier du résultat se terminant par un ou des zéros.

Calculer $:\qquad {\sqrt[{5}]{3200000}}$

R1	R2	R3	R4	T	$(32|00000)$
$1$	$\longrightarrow 1$	$\longrightarrow 1$	$\longrightarrow 1$	$\Rightarrow 31$
$2$	$\longrightarrow 3$	$\longrightarrow 4$	$\longrightarrow 5$
$3$	$\longrightarrow 6$	$\longrightarrow 10$
$4$	$\longrightarrow 10$
$5$
$6$	$\longrightarrow 16$	$\longrightarrow 26$	$\longrightarrow 31$	$\Rightarrow 0$	2  soustractions pour la tranche

ATTENTION ! Il reste une tranche ! Vide, mais une tranche quand même !!! Mais finir l'escalier, multiplier et baisser la tranche vide nous conduirait à une erreur !

Dans ces cas là, on ne panique pas ...il suffit de multiplier le résultat final par 10 :
$\textstyle {10{\frac {6+5-1}{5}}={\frac {100}{5}}=20\ ;\quad 20^{5}=3200000}$

De la même manière $\scriptstyle {\sqrt[{5}]{320000000000}}$ nous laisserait deux tranches vides, donc $\textstyle {100{\frac {6+5-1}{5}}=200\ ;\quad 200^{5}=320000000000}$
Inversement, pour un gain de temps, on peut dans $\scriptstyle {\sqrt[{5}]{0.00032}}$ abaisser immédiatement la tranche après la virgule à condition de ne pas oublier de diviser le résultat final par 10 :
$\textstyle {{\frac {6+5-1}{5*10}}=0.2\ ;\quad 0.2^{5}=0.00032}$

D'une manière générale, il vaut mieux voir à l'avance si il y a moyen de se simplifier la tâche avec ce genre de multiplication ou de division.

Cependant, si on compte le nombre de soustractions pour obtenir le résultat, continuer le calcul aboutit au bon résultat :

R1	R2	R3	R4	T	$(32|00000)$
$1$	$\longrightarrow 1$	$\longrightarrow 1$	$\longrightarrow 1$	$\Rightarrow 31$
$2$	$\longrightarrow 3$	$\longrightarrow 4$	$\longrightarrow 5$
$3$	$\longrightarrow 6$	$\longrightarrow 10$
$4$	$\longrightarrow 10$
$5$
$6$	$\longrightarrow 16$	$\longrightarrow 26$	$\longrightarrow 31$	$\Rightarrow 0$
$7$	$\longrightarrow 23$	$\longrightarrow 49$	$\longrightarrow 80$
$8$	$\longrightarrow 31$	$\longrightarrow 80$
$9$	$\longrightarrow 40$
$10$					2  soustractions pour la tranche
$100$	$4000$	$80000$	$800000$	$0\,\mathbf {00000}$	(on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
					0  soustraction pour la tranche

De même utiliser la dernière valeur de R1 permet d'obtenir le bon résultat sans l'ajout de N-1.

$\textstyle {{\frac {100}{5}}=20\ ;\quad 20^{5}=3200000}$

Nombres décimaux

Le principe reste le même avec les nombres décimaux.

Exemple : Calculer $:\qquad {\sqrt[{3}]{1.061208}}$

R1	R2	T	$(1|061|208)$
$1$	$\longrightarrow 1$	$\Rightarrow 0$
$2$	$\longrightarrow 3$
$3$			1  soustraction pour la tranche
			.  point décimal avant la nouvelle tranche
$30$	$300$	$\,\mathbf {61}$	(pas suffisant)
			0  soustraction pour la tranche
$300$	$30000$	$61\,\mathbf {208}$
$301$	$\longrightarrow 30301$	$\Rightarrow 30907$
$302$	$\longrightarrow 30603$
$303$
$304$	$\longrightarrow 30907$	$\Rightarrow 0$	2  soustractions pour la tranche

On a descendu deux tranches après la virgule ; on divise donc le résultat final par 100 :

$\textstyle {{\frac {304+3-1}{3*100}}={\frac {306}{300}}={\frac {102}{100}}=1.02\;;\quad 1.02^{3}=1.061208}$